高考数学一轮复习 新思路 2.3 基本初等函数

2.3基本初等函数考向1幂指对函数知识点1指对的混合运算1.指数式运算（1）有理数指数幂的分类①正整数指数幂;②零指数幂；③负整数指数幂；④0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂的性质①；②；③；④.（3）根式的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中叫做根式,叫做根指数,叫被开方数.（4）对于根式记号，要注意以下几点:①，且；②当是奇数，则；当是偶数，则；③负数没有偶次方根；④零的任何次方根都是零.（5）指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式:例:.（6）指数的逆运算过程:.2.对数式的运算（1）对数的定义:一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作,读作以为底的对数,其中叫做对数的底数,叫做真数.（2）对数的性质:①特殊对数:;其中且;②对数恒等式:（其中且）；③对数换底公式:,如:.（3）对数的运算法则:①外和内乘原理:;②外差内除原理:;③提公次方法:;④指中有对，没心没肺:和，如:，.（4）换底公式和对数运算的一些方法:①常用换底:，如:；②倒数原理:，如:；③约分法则:，如:；④归一法则:.例（2022·浙江）已知，，则（）A.25B.5 C.D.题型1函数的指对运算例1若,则（）A.-1B.C.1D.例2设,则（）A.B.C.D.例3已知,则_____.例4化简的值为（）A.1B.2C.4D.6例5（2026·黄骅市期末）若，则的化简结果是（）A.1B.-1C.D.例6（）A.16B.C.32D.知识点2幂指对函数的图像及其性质1.指数函数的定义及图像图像性质①定义域，值域②，即时，，图像都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时,时,⑥既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论；（2）当时，，；的值越小，图像越靠近轴，递减的速度越快；当时，，；的值越大，图像越靠近轴，递增速度越快；（3）函数与的图像关于轴对称；函数①;②;③;④的图像如下左图所示，则；即（底大幂大）;时,;（4）特殊函数:函数的图像如下右图所示.2.对数函数的定义及图像（1）对数函数的定义:函数叫做对数函数，它是指数函数的反函数.对数函数的图像:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图像只须由相应的指数函数图像作关于的对称图形,即可获得.同样也分与两种情况归纳:以与为例图像性质定义域:值域:R过定点,即时,在上增函数在上是减函数当时,,当时,当时,,当时,（2）底数变化与图像变化的规律在同一坐标系内,当时,随的增大,对数函数的图像愈靠近轴;当时,对数函数的图像随的增大而远离轴.（见下图）3.幂函数及其性质（1）幂函数的定义一般地,（为有理数）的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数.（2）幂函数的特征:同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1;②的底数是自变量;③指数为常数.（3）常见的幂函数图像及性质:函数图像定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上递减，在上递增在上单调递增在上递增在和上递减公共点（1,1）（4）在区间上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近轴（简记为“指大图低”），在区间上，幂函数中指数越大，函数图像越远离轴；（5）幂函数在第一象限内图像的画法如下（单调性）:①当时，其图像可类似画出；②当时，其图像可类似画出；③当时，其图像可类似画出.幂函数在第二（三）象限内图像的画法如下（奇偶性）:①无奇偶性，如只在第一象限有图像；②奇函数，则补充第三象限图像，如；③偶函数，则补充第二象限图像，如.例（2019·浙江）在同一直角坐标系中，函数（且）的图像可能是（）题型2指对幂函数的图像及其性质例7（2025·上海卷）设.下列各项中,能推出的一项是（）A.,且B.，且C.，且D.，且例8（2026·丽江校级二模）若指数函数的图像与射线相交，则A. B.C. D.例9（多选・2026・云南模拟）已知函数为偶函数，,其中.若函数与的图像有且只有一个公共点,则A.B.C.D.例10（2026·长沙一模）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点,若函数的图像上存在点,使得为等边三角形,则这样的直线（）A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条例11（多选·2026·安徽模拟）设，是曲线上两个不同的点，则（）A. B.C. D.例12（2026·和平区校级模拟）已知正实数满足,则（）A.B.2C.D.3例13（2026·广州模拟）设方程的两根为,方程的两根为,则的取值范围为_____.例14（2026·宝鸡校级模拟）已知且，若函数与在区间上都单调递增,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.例15（2026·上海模拟）已知，其中是常数.（1）若是奇函数，求的值；（2）求证:的图像上不存在两点、，使得直线平行于轴.题型3指对互为反函数例16（2026·沈阳校级模拟）若函数与其反函数的图像有交点，则实数的值可以是（）A.1B.C.2D.例17（多选·2026·锦江区校级模拟）如图,由函数与的部分图像可得一条封闭曲线,则（）A.有对称轴B.的弦长的最大值为C.对内任意一点,均存在过且平分围成区域的面积的直线D.的面积大于题型4指对幂函数与实际应用例18（2025·北京卷）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间（单位:小时）,其中为常数.在此条件下,已知训练数据量从个单位增加到1.024个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位:小时）（）A.2B.4C.20D.40例19（2024北京）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标,其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化,生物个体总数由变为,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则（）A.B.C.D.例20（2019·新课标II）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行.点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为,月球质量为,地月距离为点到月球的距离为,根据牛顿运动定律和万有引力定律,满足方程:.设.由于的值很小,因此在近似计算中,则的近似值为（）A.B.C.D.例21（多选・2023・新高考I）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则（）A.B.C.D.考向2比大小问题题型5单调性法比较大小例22（2024·天津卷）若，则的大小关系为__________A.B.C.D.例23已知,则（）A.B.C.D.例24（2026新疆土土家馆），若，则（）A.B.C.D.例25（2026·宝山区校级模拟）关于下列两个命题的正确的判断是（）甲:log 乙:A.甲乙都不成立B.仅甲成立C.仅乙成立D.甲乙都成立例26（2026·沙坪坝区校级模拟）已知,则（）A.B.C.D.题型6中间值法比较大小例27（2021·天津）设,则三者大小关系为（）A.B.C.D.例题28（2020·新课标Ⅲ）设,则（）A.B.C.D.,例29（多选・2026・湖南模拟）若，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.题型7结合函数单调性及奇偶性比较大小例30（2019·新课标III）设是定义域为的偶函数，且在（），+∞）单调递减，则（）A.B.C.D.例31（2026·江苏三模）已知函数,若,则实数的大小关系为（）A.B.C.D.题型8特值法比大小例32（芜湖期末）若,则大小关系正确的是（）A.B.C.D.拓展思维●拓展1糖水不等式比较大小定理:若,则一定有,或者;通俗的理解就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;证明:.例1已知,则（）A.B.C.D.例2（2020新课标III）已知,设,则有（）A.B.C.D.拓展２常用估值弧度制:例3设,则（）A.B.