高考数学一轮复习 新思路 1.1 集合

1.1集合考向1集合的概念知识点1元素与集合关系1.集合与元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集,通常用大写字母表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,通常用小写字母表示.2.元素与集合之间的关系元素与集合之间用“”或“”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系.3.集合表示方法:自然语言法、列举法、描述法、图像法.①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法:具有的性质，其中为集合的代表元素.④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.4.常用集合符号R:实数集;:整数集;:自然数集(含有0);或:正整数集(没有0);:有理数集.例1(2023·上海)已知,若,则()A.B.{2}C.{3}D.知识点2集合的三要素1.集合中元素的性质对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性.2.集合的分类集合按元素多少可分为:有限集(元素个数有限)、无限集(元素个数无限)、空集()(不含任何元素)；也可按元素的属性分，如:数集(元素是数)，点集(元素是点)等.例2若,则()A.-1B.0C.1D.0或1题型1元素与集合关系的判断例3(2025新高考I)设全集是小于9的正整数,集合,则中元素个数为()A.2B.3C.5D.8例4(多选，聊城期末)已知非空集合满足，且，则()A.B.C.D.例5(2025·北京)集合,则()A.B.C.D.例6(2025·福州模拟)设集合,若,且则()A.B.C.D.例7(2026·深圳模拟)已知是8个正整数,记,其中,若,则这8个正整数中的最大数与最小数的和为_____.考向2集合的关系知识点1集合关系1.集合与集合之间的关系名称记号意义性质示意图子集(或)中的任一元素都属于(1)(2)(3)若且，则(4)若且，则真子集(或),且中至少有一元素不属于(1)(为非空子集)(2)若且,则集合相等中的任一元素都属于中的任一元素都属于(1)(2)注意:1.元素与集合的关系:.2.德摩根公式:.3.包含关系:例8已知,若集合,则的值为()A.-2B.-1C.1D.2知识点2子集/真子集数量集合元素数量与子集、真子集和非空真子集数量之间的关系(集合含有个元素)(1)子集的数量:(2)真子集的数量:(3)非空真子集的数量:题型2集合与集合关系的判断例9(2025·上海卷)已知全集，集合，则_____.例10.(2025·新课标II卷)设集合，，则()A.B.C.D.例1已知全集，集合，则().A.B.C.D.{4}例12(2026·梁山县校级一模)下列表达式中不正确的是()A. B.C.D.例13(2023·甲卷)设集合为整数集,则()A. B.C.D.考向3集合的运算:知识点1交集、并集、补集及其混合运算集合之间的运算性质(1)交集:.(2)并集:.(3)补集的运算性质:.例14(2024·甲卷)集合,则()A.B.C.D.题型3利用集合关系求参例15(2026·白山二模)设集合,若，,则()A.-3B.-1C.1D.3例16(2026·潮阳区校级一模)已知集合，若为的真子集，则的取值范围是()A.B.C.D.例17(2025·徐汇区校级期中)已知集合，,则的取值范围是()A.B.C.D.例18(2026·双桥区校级一模)已知集合，若中任意元素均在曲线的下方,则符合条件的整数的最大值是()A.0B.1C.2D.2025例19(2026·红旗区校级期末)已知集合，关于的不等式的解集为,若中恰有三个正整数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.知识点2韦恩图1.Venn图:用平面上一条封闭的曲线(通常情况下是矩形)的内部代表集合,这个图形就叫做韦恩图.集合中图形语言具有直观形象的特点,将集合问题图形化,利用Venn图的直观性,可以深刻理解集合有关概念、运算公式,而且有助于显示集合间的关系.子集集合相等真子集读法包含于(或包含)等于真包含于(或真包含)图示自然语言符号语言图形语言一般地,由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合,称为集合与的并集,记作(读作“”并“”).或一般地,由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合,称为集合与的交集,记作(读作“”交“”).且自然语言对一个集合,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集,简称为集合的补集,记作.符号语言,且图形语言①，利用Venn图表示如图1所示.(有限集的混合运算可用Venn图解决)②，利用Venn图表示如图2所示.题型4韦恩图表达集合的关系及运算例20(2023·厦门模拟)全集,能表示集合和关系的Venn图是()例21(2024·修武县校级四模)向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果:赞成的人数是全体的五分之三,其余的不赞成;赞成的比赞成的多3人,其余的不赞成;另外,对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是()A.赞成的不赞成的有9人 B.赞成的不赞成的有11人C.对都赞成的有21人 D.对都不赞成的有8人题型5集合中的新定义问题例22(多选・2026・济宁一模)对于一个有限集合,定义集合的模为该集合中所有元素的和,记作,即,则下列说法中正确的是()A.若集合,则B.若集合，则C.若集合，则D.记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为,则例23(2025·浦东新区校级期末)设集合，都至少含有两个元素，且，同时满足:条件1:对任意,若则;条件2:对任意，若，则.给出下列说法:①若只有2个元素，则这2个元素互为相反数；②若只有2个元素，则必有3个元素；③若只有2个元素，则可能有4个元素；④存在含有3个元素的集合，满足有4个元素.其中所有正确说法的序号是_____.例24(2026·随州二模)定义集合.例如:若,则.把集合中满足条件的元素组成的集合记为,即,.已知集合，则中的元素个数为_____.例25(2026·扬州一模)定义:是不大于的最大整数，是不小于的最小整数，设函数在定义域上值域为,记元素个数为,则_____.

拓展思维拓展容斥问题两个集合的容斥原理，可以用下面的韦恩图表示:为了计算具有性质或性质的元素个数，我们使用下面的公式:三个集合的容斥原理,画成韦恩图如下所示:为了计算至少具有性质之一的元素个数,我们使用下面的公式:例1(教材阅读与思考改编)我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,用card表示有限集合中元素的个数.例如,,则.容斥原理告诉我们,如果被计数的事物有,三类,那么,.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问:三项都参加的有多少人?()A.2B.3C.4D.5例2(2019·新课标III)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《