第4节　列联表与独立性检验

1/1第4节列联表与独立性检验1.掌握分类变量的含义.2.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.3.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.知识梳理1.分类变量与列联表（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量；（2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，X表示相互对立的两个事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互对立的两个事件{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝0，1）的频数，n是样本量，其样本频数列联表（称为2×2列联表）如表所示：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d2.等高堆积条形图（1）等高堆积条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征；（2）如果通过直接计算或等高堆积条形图发现aa＋b和cc3.独立性检验（1）概念：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验；（2）χ2的计算公式：χ2＝n（ad（3）基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立（其中xα为α的临界值）；（4）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828提醒：独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断，χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握越大.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.（√）（2）事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.（×）（3）χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.（√）（4）在2×2列联表中，若｜ad－bc｜越小，则说明两个分类变量之间关系越强.（×）2.一个2×2列联表如表所示，则表中a，c处的值分别为（）y1y2合计x1a2573x221bc合计d49A.98，28 B.28，98C.48，45 D.45，48解析：C由2×2列联表知，a＋25＝73，b＋25＝49，b＋21＝c，解得a＝48，b＝24，c＝45.3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为（）A.男性喜欢参加体育活动B.女性不喜欢参加体育活动C.喜欢参加体育活动与性别有关D.喜欢参加体育活动与性别无关解析：D独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两个变量无关，即应提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关.4.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，正确的结论为（）参考值：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635A.x与y不独立B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x与y独立D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05解析：C零假设为H0：x与y独立，由χ2＝2.826＜3.841，依据α＝0.05的独立性检验，可得H0成立，故可以认为x与y独立.分类变量与列联表（基础自学过关）1.〔多选〕根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是（）A.吸烟患肺病的频率约为0.2B.吸烟不患肺病的频率约为0.8C.不吸烟患肺病的频率小于0.05D.吸烟与患肺病无关系解析：ABC从等高堆积条形图上可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率，D错误.A、B、C都正确.2.在某次独立性检验中，得到如下列联表：AA合计B2008001000B180a180＋a合计380800＋a1180＋a最后发现，两个分类变量没有关联，则a的值可能是（）A.200B.720 C.100D.180解析：B∵两个分类变量没有关联，∴2001000≈180180+a，解得a≈3.假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：XY合计y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为（）A.a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B.a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D.a＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析：D对于同一样本，｜ad－bc｜越小，说明X与Y相关性越弱，而｜ad－bc｜越大，说明X与Y相关性越强，通过计算知，对于A，B，C，都有｜ad－bc｜＝｜10－12｜＝2；对于D，有｜ad－bc｜＝｜15－8｜＝7，显然7＞2.故选D.分类变量的两种统计表示形式（1）2×2列联表：用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱；（2）等高堆积条形图：能更直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.分类变量关联性的判断（师生共研过关）（2026·江苏盐城模拟）根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则（）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.变量Ⅰ与Ⅱ相关B.变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1C.变量Ⅰ与Ⅱ不相关D.变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1解析：B零假设为H0：变量Ⅰ与Ⅱ不相关，因为χ2＝2.954＞2.706，依据α＝0.1的独立性检验可知，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1.故选B.如果χ2＞xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”.训练1（1）某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算得χ2＝6.023，则市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是（B）A.90％ B.95％C.99％ D.99.5％解析：结合选项，由临界值表，得6.023＞3.841＝x0.05，所以断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为95％.（2）根据分类变量X和Y的样本观察数据的计算结果，有不少于95％的把握认为X和Y有关，则χ2的值不可能为（A）α0.1500.1000.0500.0100.005xα2.0722.7063.8416.6357.879A.2.819 B.5.512C.6.635 D.8.243解析：因为有不少于95％的把握认为X和Y有关，所以χ2≥3.841，只有A不满足要求.故选A.独立性检验的应用（师生共研过关）（2025·全国Ⅰ卷15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：组别超声波检查结果合计正常不正常患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；解：由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人，所以由样本估计总体得p＝180200＝0.9（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.解：零假设为H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关.χ2＝1000×（20×20所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.独立性检验的一般步骤（1）提出零假设H0：X和Y相互独立；（2）根据样本数据制成2×2列联表；（3）根据公式χ2＝n（ad（4）比较χ2与临界值的大小关系，根据检验规则得出推断结论.训练2（2026·山东聊城模拟）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于130分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组[90，100）的频数为10.（1）求a的值和样本容量；解：由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1可得（a＋0.01×2＋0.005＋0.015＋0.025）×10＝1，解得a＝0.035，样本容量为100.01（2）估计所有参赛学生的平均成绩；解：所有参赛学生的平均成绩为x＝95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120.（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为12.5％，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？解：由题意可知，获奖人数为100×（0.015＋0.005）×10＝20，零假设为H0：男生与女生的获得情况无差异.由题意可计算得如下2×2列联表：性别奖励合计获奖未获奖男154560女53540合计2080100所以χ2＝100×（15×35－45×5）2所以，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即男生与女生的获奖情况无差异.（时间：45分钟，满分：72分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.在研究打鼾与患心脏病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）A.100个吸烟者中至少有99人打鼾B.1个人患有心脏病，那么这个人有99％的概率打鼾C.在100个心脏病患者中一定有打鼾的人D.在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人也没有解析：D在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，其意义就是我们有99％的把握认为打鼾与患心脏病有关，在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人也没有，故C错误，D正确；对于A，题设中没有给出吸烟与打鼾相关性判断，故A错误；对于B，独立性检验是对分类变量相关性的判断，不能具体到个体，故B错误.故选D.2.为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：药物流感患流感未患流感服用218未服用812根据表中数据，计算χ2，若由此认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过（）A.0.05 B.0.1C.0.01 D.0.005解析：A由题意知，χ2＝40×（2×12－18×8）220×20×10×30＝4.8＞33.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表：优秀非优秀合计甲班10b乙班c30合计105已知在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（A.列联表中c的值为30，b的值为35B.列联表中c的值为15，b的值为50C.根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”D.根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，不能认为“成绩与班级有关系”解析：C由题意知，在105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，故成绩优秀的学生人数是105×27＝30，成绩非优秀的学生人数是105－30＝75，所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，优秀非优秀合计甲班104555乙班203050合计3075105故A、B错误；根据列联表中的数据，得到χ2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109＞3.841＝x0.05，因此依据小概率值4.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据小概率值α＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据小概率值α＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2的值可能为（）A.4.238 B.4.972C.6.687 D.6.069解析：D由题知χ2∈[5.024，6.635），结合选项，χ2的值可能为6.069.5.已知某独立性检验中，由χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），n＝a＋b＋c＋d计算出χ2＝χ12，若将2×2列联表中的数据a，b，cA.χ22＝χ12 B.C.χ12＝2χ22 D.解析：B因为χ12＝n（ad－bc）2（a＋b)(c6.〔多选〕每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲、乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：公司文史男文史女理工男理工女甲10102010乙1520105分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的χ2的值χ1≈1.010；分析毕业生的选择意愿与专业的关联关系时，对应的χ2的值χ2≈9.091，则下列说法正确的是（）A.有99.9％的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联B.毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿与专业的关联性比与性别的关联性更大一些C.理工科专业的毕业生更倾向于选择甲公司D.女性毕业生更倾向于选择乙公司解析：BCD由题知χ2≈9.091，所以有1－0.005＝99.5％的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联，所以A不正确；由χ2＞χ1，易知B正确；根据题中的数据表可知，理工科专业的毕业生更倾向于选择甲公司，女性毕业生更倾向于选择乙公司，所以C、D均正确.故选B、C、D.7.如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400人（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为15.解析：根据等高堆积条形图可知：喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为300460×23＝158.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程，采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有50名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过0.001.解析：由题意，可得如下2×2列联表：考试情况培训方式合计集中培训分散培训一次考试通过503080一次考试未通过52025合计5550105则χ2＝105×（50×20－5×30）255×50×80×25≈13.793＞9.足球是一项大众喜爱的运动，某机构为了解喜爱足球是否与性别有关联，随机抽取了若干人进行调查，已知抽取的女性人数是男性的2倍，男性中喜爱足球的人数占男性人数的56，女性中喜爱足球的人数占女性人数的13.若本次调查得出“根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为是否喜爱足球与性别有关联”的结论，则被调查的男性人数至少为（A.10B.11 C.12D.13解析：C设被调查的男性人数为x，则女性人数为2x，根据题意可得列联表如表：态度性别合计男女喜爱足球523不喜爱足球x43合计x2x3x则χ2＝3x（5x6·4x3－2x3·x6）23x2·3x2·x·2x＝2x3，因为根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为是否喜爱足球与性别有关联10.〔多选〕晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，某高中M的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中N的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息.有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中高中M有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（）A.高中M的前50名学生中有60％的学生学习效率高B.高中N的前50名学生中有40％的学生学习效率高C.有99.9％的把握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关D.认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关的犯错概率超过0.05解析：AC高中M的前50名学生中有30人学习效率高，即3050×100％＝60％，A正确；高中N的前50名学生中有10人学习效率高，即1050×100％＝20％，B错误；这100名学生中学习效率高的学生有100×0.4＝40（人），学校学习效率高低合计学习效率高学习效率不高高中M302050高中N104050合计4060100χ2＝100×（30×40－10×20）240×60×50×50＝503≈16.667＞10.828＝x0.001，有99.911.为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80％喜欢网络课程，女生中有40％不喜欢网络课程，且有95％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99％的把握认为喜欢网络课程与性别有关.已知被调查的男、女学生的总人数为20k（k∈N*），则k＝5