26.抛物线教学课件

1/126.抛物线1.（2021·新高考Ⅱ卷3题）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为2，则p＝（）A.1 B.2C.22 D.4解析：选B抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为p2，0，它到直线y＝x＋1的距离为d＝p2+12＝2，解得p＝2或p＝－2.（2025·全国Ⅱ卷6题）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则｜AF｜＝（）A.3 B.4C.5 D.6解析：C根据直线y＝－2x＋2得F（1，0），所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B（－1，4），所以A（4，4），所以｜AF｜＝｜AB｜＝5.3.（2020·全国Ⅲ卷5题）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A.14，0 C.（1，0） D.（2，0）解析：B将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2p，不妨设D（2，2p），E（2，－2p），由OD⊥OE，可得OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为124.（2022·全国乙卷5题）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝（）A.2 B.22C.3 D.32解析：B法一如图，由题意可知F（1，0），设Ay024，y0，则由抛物线的定义可知｜AF｜＝y024＋1.因为｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得y024＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），则｜法二由题意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以｜AB｜＝22＋22＝8＝225.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－3（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A.p＝2 B.｜MN｜＝8C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形解析：AC由于y2＝2px的焦点为（p2，0），直线y＝－3（x－1）过焦点，所以－3（p2－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立y2=4x，y＝－3（x－1),消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝103，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝163.B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为x1＋x22＝53，圆心到准线l的距离d＝53＋1＝83＝12｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝13，x2＝3，所以y1＝233，y2＝－23，所以｜ON｜＝6.〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷10题）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点EA.｜AD｜＝｜AF｜B.｜AE｜＝｜AB｜C.｜AB｜≥6D.｜AE｜·｜BE｜≥18解析：ACDA.直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，故A正确；法一（通解）B.当AB⊥x轴时，A（32，3），B（32，－3），E（－32，0），｜AB｜＝6，｜AE｜＝32，此时｜AE｜≠｜AB｜，故B错误；C.易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋32，A（x1，y1），B（x2，y2），由x＝my＋32，y2=6x，得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；D.当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝32，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－1my＋32，E（－32，3m），｜EF｜＝9+9m2，S△AEB＝12｜AE｜｜BE｜·sin∠AEB＝12｜AB｜·｜EF｜＝12（6＋6m2）·9+9m2＝9（1＋m2）32＞9，所以｜AE｜法二（优解）B.以焦点弦为直径的圆与准线相切，AB为直径，AE为弦，所以｜AB｜＞｜AE｜，故B错误；C.抛物线的焦点弦中通径最短，p＝3，则｜AB｜≥2p＝6，故C正确；D.由选项B可知AE⊥BE，如图，设∠AFx＝θ，由S△AEB＝12｜AE｜·｜BE｜＝12｜AB｜·｜EF｜，可得｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜＝2psin2θ·pcos（π2－θ）＝2p27.（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为.答案：x＝－3解析：法一（通解）由题易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以｜OF｜｜PF｜＝｜PF｜｜FQ｜，即p2p＝p法二（优解）由题易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－7.（2019·全国Ⅰ卷19题）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若｜AF｜＋｜BF｜＝4，求l的方程；（2）若AP＝3PB，求｜AB｜.解：设直线l：y＝32x＋t，A（x1，y1），B（x2，y2（1）由题设得F34，0，故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2又｜AF｜＋｜BF｜＝4，所以x1＋x2＝52由y＝32x＋t，y2=3x，可得9x2＋12（则x1＋x