高考数学一轮复习（培优版） 第六章　6.1　数列的概念

第六章数列§6.1数列的概念考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1.数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an+1>an其中n∈N*递减数列an+1<an常数列an+1=an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列.(√)(2)数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an=1+(-1)n+12.((3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(×)(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.(√)2.下列关于星星的图案中星星的数量构成一个数列，则该数列的一个通项公式是()A.an=n2-n+1 B.an=nC.an=n(n+1)2 D.答案C解析方法一由题图可知，当n=1时，有1颗星星，排除B，D，当n=3时，有6颗星星，排除A.方法二从题图中可观察星星的构成规律，当n=1时，有1颗星星；当n=2时，有3颗星星；当n=3时，有6颗星星；当n=4时，有10颗星星…，所以an=1+2+3+4+…+n=n(3.在数列{an}中，a1=2，an=1-1an-1(n≥2)，则a2026等于A.-12 B.12 C.-1 D答案D解析由a1=2，an=1-1an-1(n≥2)可得a2=1-1a1=12，a3=1-1a2=-1，a4=1-1a3=2，a5=1-1a4=12，故数列{an}为周期数列，每3项一循环，而24.(2025·乌鲁木齐模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=3n+2n+1，则数列{an}的通项公式an=.

答案6,解析由Sn=3n+2n+1，可得当n=1时，a1=S1=3+2+1=6；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n+2n+1-3n-1-2(n-1)-1=2·3n-1+2.又a1=6不符合上式，所以an=6,1.灵活应用三个常用结论(1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an=S(2)若数列{an}的前n项积为Tn(Tn≠0)，则an=T(3)在数列{an}中，若an最大，则an≥an-1,an≥an+1;若an2.掌握数列的函数性质由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：(1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an).(2)周期性——若an+k=an(k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期.题型一由an与Sn(积Tn)的关系求通项公式例1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=1，则an=.

答案1解析∵2Sn+an=1，∴当n=1时，2S1+a1=1，即2a1+a1=1，∴a1=1当n≥2时，2Sn+an=1，则2Sn-1+an-1=1，两式相减得2Sn-2Sn-1+an-an-1=0，∴3an-an-1=0，∵an≠0，∴ana∴数列{an}是首项为13，公比为1则an=13·1(2)设Sn为数列{an}的前n项和，已知∀n∈N*，an>0，an2+1=2anSn，则an=答案n-n解析因为Sn为数列{an}的前n项和，∀n∈N*，an>0，an2+1=2an则当n=1时，a12+1=2a1S即a12-1=0，又a1>0，得a1当n≥2时，由an2+1=2anS得(Sn-Sn-1)2+1=2(Sn-Sn-1)Sn，得Sn2-S则数列Sn2是首项为S12=1，所以Sn2=1+(n-1)=因为∀n∈N*，an>0，则Sn>0，则Sn=n.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-n又a1=1满足an=n-n故an=n-n-1(3)记正项数列{an}的前n项积为Tn，且满足3Tn+4an=3anTn，则an=.

答案4解析当n=1时，3T1+4T1=3T又T1>0，所以T1=73当n≥2时，由3Tn+4an=3anTn，得3Tn+4Tn又Tn>0，所以3+4Tn所以3Tn-1+4=3Tn，即Tn-Tn-1=43，n≥所以数列{Tn}是首项为73，公差为4所以Tn=73+43(n-1)=当n≥2时，an=TnTn-1当n=1时，a1=T1=73，所以an=4n思维升华an与Sn(积Tn)的关系问题的求解思路(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.(3)利用an=TnTn-1(n≥跟踪训练1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，2Sn=an+1，则数列{an}的通项公式为.

答案an=1,解析当n≥2时，2Sn=an+1⇒2Sn-1=an，作差得an+1=3an，即当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列，而a2=2S1=2，则an=2×3n-2，n≥2，又a1=1不符合上式，故an=1,(2)已知数列{an}的前n项积为Tn=2n2-2n，则a答案22n-3解析数列{an}的前n项积Tn=2所以当n≥2时，an=TnTn-1=2n当n=1时，a1=T1=12符合上式所以an=22n-3.题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2(2025·常德模拟)已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=2nanan+1，则an=.

答案1解析若an+1=0，则an-an+1=0，即an=an+1=0，这与a1=1矛盾，所以an+1≠0，由an-an+1=2nanan+1，两边同时除以anan+1，得1an+1-1则1an-1an1an-1-1a…1a3-1a1a2-1上面的式子相加可得1an-1a1=2+22+23+…+2n-1=2(1-2n-1)1-2所以an=12n-1(n≥又a1=1符合该式，所以an=12命题点2累乘法例3已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3Sn=(n+2)an，则an=.

答案n解析因为3Sn=(n+2)an，所以当n≥2时，3Sn-1=(n+1)an-1，两式作差可得3an=(n+2)an-(n+1)an-1，整理得(n-1)an=(n+1)an-1，因为a1=1，3Sn=(n+2)an，令n=2，则3(a1+a2)=4a2，所以a2=3，所以an≠0，所以anan-1=n+1n则an=anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2a当n=1时，a1=1也符合上式，综上，an=n(命题点3隔项等差、等比型例4在数列{an}中，a1=1，a2=4，an=an-2+2(n≥3)，则an=.

答案n,n=2k解析因为an=an-2+2(n≥3)，所以a1，a3，a5，…，a2n-1是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a4，a6，…，a2n是首项为4，公差为2的等差数列.当n=2k-1(k∈N*)时，an=a2k-1=1+2(k-1)=1+2×n+12-1当n=2k(k∈N*)时，an=a2k=4+2(k-1)=4+2×n2-1=n综上所述，an=n,n=2k-1,思维升华(1)形如an+1-an=f(n)的数列，利用累加法，即可求数列{an}的通项公式.(2)形如an+1an=f(n)的数列，利用累乘法，即可求数列{a(3)隔项等差型：an+2-an=d，an=a隔项等比型：an+2an=q，跟踪训练2(1)(多选)在数列{an}中，下列结论正确的是()A.若a1=2，且an-an-1=n(n≥2)，则an=nB.若a1=1，且an+1an=nnC.若a1=1，a2=2，且an+2=3an+1-2an，则an=2n-1D.若a1=1，anan+1=2n，则an=2答案ABC解析A选项，若a1=2，且当n≥2时，an-an-1=n，an-1-an-2=n-1，…，a2-a1=2，累加可得(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=n+(n-1)+…+2，即an-a1=(n-1)(n+2)2，则an=n2+n+22，当B选项，由a1=1，an+1an=nn+2，累乘可得an+1即an+1=2a1(n+1)(n+2)=2(n+1)(n当n=1时，也符合上式，所以an=2n(nC选项，由已知an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an)，可知数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项，2为公比的等比数列，即an+1-an=2n-1，即当n≥2时，an-an-1=2n-2，an-1-an-2=2n-3，…，a2-a1=20，等式左右分别相加可得an-a1=2n-2+2n-3+…+20=20(1-2n-1又a1=1，则an=2n-1(n≥2)，当n=1时，也符合该式，所以an=2n-1，故C正确；选项D，方法一因为anan+1=2n， ①所以an+1an+2=2n+1， ②由②÷①得an+2故该数列的所有的奇数项、偶数项均为公比q=2的等比数列.当n=2k-1(k∈N*)时，an=a2k-1=1·qk-1=1·2n+12当n=2k(k∈N*)时，由a1=1，anan+1=2n，得a1a2=2，a2=2，则an=a2k=2·qk-1=2·2n2综上，an=2n-12,方法二当n=1时，2n2=212≠1=a1(2)设{an}是首项为1的正项数列，(n+1)an+12+anan+1-nan2=0(n∈N*)，则a答案1解析由{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+anan+1=0(n可得n(an+12-an2)+(an+12+即n(an+1-an)(an+1+an)+an+1(an+1+an)=0，由{an}是首项为1的正项数列，可得(n+1)an+1=nan，即an+1a方法一(累乘法)则当n≥2时，an于是an=a1×a2a1×a3=1×12×23×…×n-2n-1×n-1n=又a1=1符合上式，所以an=1n方法二(迭代法)则nan=(n-1)an-1=…=2a2=a1=1，可得an=1n题型三数列的性质命题点1数列的单调性例5已知数列{an}的各项均为正数，数列an+n2n是常数列，则数列{A.是递增数列 B.是递减数列C.先递增后递减 D.先递减后递增答案A解析设an+n2n=k所以an=k·2n-n，因为an>0，所以k>n令bn=n则bn+1bn=n+12n+1n即bn+1≤bn，所以{bn}单调递减，则n2n所以k>1则an+1-an=k·2n+1-(n+1)-k·2n+n=k·2n-1>12×21-1=0所以an+1>an，故数列{an}是递增数列.命题点2数列的周期性例6(2025·重庆模拟)已知数列{an}满足an+1=22-an，且a1=3，则a2026A.3 B.12 C.-2 D.答案C解析∵an+1=22-an，且∴a2=22-a1=a3=22-a2=22-(-2)=12，a4a5=22-a4=22-43=3，a6=∴数列{an}的周期为4，∵2026=506×4+2，∴a2026=a2=-2.命题点3数列的最值例7数列{bn}满足bn=3n-72n-1，则当n=时，答案45解析方法一∵bn+1-bn=3n-42n∴当n≤3时，bn+1>bn，{bn}单调递增，当n≥4时，bn+1<bn，{bn}单调递减，故当n=4时，(bn)max=b4=58方法二令bn≥解得103≤n≤又n∈N*，∴n=4，故当n=4时，(bn)max=b4=58思维升华(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(2)数列的单调性与最值问题有关数列最大项、最小项的问题可借助数列的单调性来解决.数列{an}递增的充要条件是对任意正整数n都有an<an+1，递减的充要条件是对任意正整数n都有an+1<an.跟踪训练3(多选)在数列{an}中，下列结论正确的是()A.若a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2026=1B.若an+1=2an，则数列{an}一定是递增数列C.已知an=an-7,n≤8,12-an+2,n>8,n∈N*，若对于任意n∈D.若an=2n-112n-13，n∈N*，则数列{答案CD解析A选项，因为a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，所以a3=a2-a1=4，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-5，a6=a5-a4=-4，a7=a6-a5=1，a8=a7-a6=5，故数列{an}的一个周期为6，所以a2026=a6×337+4=a4=-1，故A错误；B选项，不一定是递增数列，也可能是常数列an=0，故B错误；C选项，由对任意n∈N*都有an>an+1知，数列{an}为递减数列，所以只需满足12-a<0,0<a<1,a8D选项，由an=2n-112n-13=1+2当1≤n≤6时，2n-13<0，即an<1，当n≥7时，2n-13>0，即an>1，当1≤n≤6或n≥7时，数列{an}单调递减，a6=-1<0，所以最小项为a6，故D正确.课时精练[分值：100分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2025·青岛检测)数列1，-22，12，-2A.an=-B.an=-C.an=(-1)n-D.an=(-1)n+12答案D解析由于数列的正负项间隔出现，故符号为(-1)n+1，且每项的绝对值为22n-1，故数列的通项公式为an=(-1)2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于()A.-5 B.5 C.7 D.8答案B解析因为Sn=n2-1，所以a3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5.3.记Tn为数列{an}的前n项积，已知1Tn+3an=3，则T10A.163 B.154 C.133答案C解析当n=1时，T1=43，又Tn=a1a2a3…an，则an=TnTn-1(n≥2)，化简得Tn-Tn-1=13(n≥2)，则{Tn}是以T1=43为首项，13为公差的等差数列，即所以T10=1334.已知a1=1，an=n(an+1-an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为()A.an=2n-1 B.an=nC.an=n2 D.an=n答案D解析由an=n(an+1-an)，得(n+1)an=nan+1，方法一即an+1则anan-1an-2an-3=n-2n-3由累乘法可得ana1=n，所以an=n，n又a1=1符合上式，所以an=n.方法二因为an+1n+1=a所以ann=a11，所以an=5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2，bn=an+110-an，则A.-16 B.-15 C.-13 D.-11答案C解析因为Sn=n2，所以a1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n当n=1时，a1=1也符合上式，所以an=2n-1，n∈N*.则bn=an+110-an=2n+111-2n当n≤5时，bn>0，当n≥6时，bn<0，又y=1211-2x-1在[6，+∞)所以数列{bn}的最小值为b6=1211-12-1=-136.(2026·江门模拟)物理学家法兰克·本福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logbn+1n.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若80Σn=kP10(n)=log4811+log25A.7 B.8 C.9 D.10答案C解析80Σn=kP10(n)=P10(k)+P10(k+1)+…+P10(80)=lgk+1k+lgk而log4811+log25=lg81lg4所以81k=9，故k=9二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=nn+1，则下列说法正确的是A.数列{an}的首项为a1=1B.数列{an}的通项公式为an=1C.数列{an}为递减数列D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn=1答案ABC解析对于A，数列{an}的首项为a1=S1=11+1=12，对于B，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1)，对于C，因为an+1-an=1(n+2)(n+1)-1n(n+1)=-2(n+2)(对于D，Tn=12×23×34×…×nn+1=1n+1，所以数列{Sn}的前n项积8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn-an=(n-1)2，bn=2anSnA.Sn=n2B.an=2nC.数列{bn}是递减数列D.数列{bn}的最小值为32答案AD解析∵an=Sn-Sn-1(n≥2)，∴Sn-an=Sn-1，则Sn-1=(n-1)2，即Sn=n2(n∈N*)，∴a1=1，当n≥2时，an=n2-(n-1)2=2n-1，又a1=1满足上式，∴an=2n-1(n∈N*)，故A正确，B错误；易知bn>0，∵bn=22n-1n4∴bn+1bn当2nn+1>1时，n>∴当1≤n<3时，bn>bn+1，当n≥3时，bn<bn+1，∴数列{bn}不是递减数列，且当n=3时，bn取得最小值3281，故C错误，D三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·福州模拟)数列{an}满足an+1=11-an(n∈N*)，a2026=-1，若m∈N*，则a3m+2=答案1解析因为数列{an}满足an+1=11-an(n∈N*)，a2026=-1，则a所以a2025=1-1a2026=2，a2024=1-1a2025=12，a2所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a3m+2=a2=a3×674+2=a2024=1210.九连环是中国传统民间智力玩具，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.现假设有n个圆环，用an表示按照某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数，且数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an-2+2n-1(n≥3，n∈N*)，则解开九连环最少需要移动次.

答案341解析由题意，an=an-2+2n-1，故a3-a1=22，a5-a3=24，…a2n-1-a2n-3=22n-2，以上各式相加，可得a2n-1-a1=22+24+…+22n-2=41+42+…+4n-1，即a2n-1=1+41+42+…+4n-1=1-4n所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a9=45-1四、解答题(共27分)11.(13分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2Sn+1(1)求a2的值；(5分)(2)求数列{an}的通项公式.(8分)解(1)∵a1=1，an+1=2Sn+1∴a2=2S1+1=2a1(2)方法一由an+1=2Sn+1得Sn+1-Sn=2Sn+1，故Sn+1=(Sn+1)∵an>0，∴Sn>0，∴Sn+1=S即Sn+1-S∴数列{Sn}是首项为S1=a1=1，公差为1的等差数列，Sn=1+(n∴Sn=n2.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，又a1=1适合上式，∴an=2n-1.方法二由an+1=2Sn+1得(an+1-1)2=4Sn，当n≥2时，(an-1)2=4Sn-1，∴(an+1-1)2-(an-1)2=4(Sn-Sn-1)=4an.∴an+12-an2-2an+1即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.∵an>0，∴an+1-an=2(n≥2).又∵a2-a1=2，∴{an}为等差数列，且公差为2，∴an=1+(n-1)×2=2n-1.12.(14分)已知数列{an}的前n项和Sn=2nn+1an，且a(1)求数列{an}的通项公式；(6分)(2)若不等式2n2-n-3<(5-λ)an对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.(8分)解(1)由题意得S①-②得Sn-Sn-1=2nn+1an-2(n即an=2nn+1an-2(n-1)na则an=anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1=2×n+1n×2×n又a1=4符合此式，所以an=2n(n+1).(2)由题意知2n2-n-3=(n+1)(2n-3)<(5-λ)(n+1)2n对任意n∈N*恒成立，即5-λ>2n-32n对任意n∈记bn=2n-32n，故b当n≥2时，bn>0，bn所以b3b2=32，即b当n≥3时，bn+1bn=12+12n即随着n的增大，bn减小，所以bn的最大值为b3=3所以5-λ>38，即λ<故λ的取值范围为-∞[13，14，16题每小题5分，15题6分，共21分]13.(2025·天津模拟)若数列{an}满足a1=2，a2=1，且an+2=an+1-an,an+1≥an,A.1350 B.1352C.2025 D.2026答案B解析由题意可得a3=a1-a2=1，因为a3=a2，所以a4=a3-a2=0，因为a4<a3，所以a5=a3-a4=1，因为a5>a4，所以a6=a5-a4=1，因为a6=a5，所以a7=a6-a5=0，…，所以数列{an}从第二项起是以3为周期的数列，则S2025=a1+674(a2+a3+a4)+a2024+a2025=2+674×2+1+1=1352.14.(2025·烟台模拟)设[x]和{x}分别表示正实数x的整数部分、小数部分，例如[1.2]=1，{1.2}=0.2.已知数列{an}满足a1=2+2，an+1=[an]+1{an}，n∈N*，则a2A.2025+2 B.2026+2C.4050+2 D.4052+2答案C解析已知a1=2+2因为1<2<2，所以[a1]=[2+2]=3，{a1}=2+2-3=2-1.根据an+1=[an]+1可得a2=[a1]+1{a1}=3+所以[a2]=[4+2]=5，{a2}=4+2-5=2-1.同理可得a3=[a2]+1{a2}=5+通过前面的计算，可以发现数列的规律，an=2n+2(n∈N*).故a2025=2×2025+2=4050+2.15.(多选)(2026·宁波模拟)任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=an2,an为偶数,3an+1,an为奇数(n∈N*).若a5=1，记数列A.m=2或m=16 B.a2027=1C.S2027=4728 D.a3n+1=2答案ABD解析因为a5=1，可得a4=2，a3=4，①若a2为偶数，则a3=a22=4，所以a2当a1为偶数时，a2=a12所以a1=16，即m=16，当a1为奇数时，a2=3a1+1=8，解得a1=73(舍去)②若a2为奇数，则a3=3a2+1=4，解得a2=1，当a1为偶数时，a2=a12所以a1=2，即m=2，当a1为奇数时，a2=3a1+1=1，解得a1=0(舍去)，综上所述，m=2或m=16，故A正确；当m=2时，由an+1=a得a1=2，a2=1，a3=4，a4=2，a5=1，a6=4，…，所以数列{an}从第三项起