第2节　函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值课标要求1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义.3.掌握函数单调性的简单应用.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

函数的单调性（1）单调性的定义定义要求x1，x2一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如

果

x1，x2∈I，当x1＜x2时要求f（x1）与f（x2）都有

⁠

⁠都有

⁠∀

f（x1）＜f

（x2）

f（x1）＞f（x2）

定义结论函数f（x）在区间I

上

；若

函数f（x）在定义域

D上单调递增，则称f

（x）为增函数函数f（x）在区间I上

⁠

；若函数f（x）在定义域

D上单调递减，则称f（x）为减

函数单调递增

单调递

减

图象描述

自左向右看图象

是

⁠

自左向右看图象是

⁠上升的

下降的

（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上

⁠

或

，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单

调性，

叫做y＝f（x）的单调区间.提醒：（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义

域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不

同的概念，显然N⊆M.

单调递增

单调递减

区间I

2.

函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D，都有

⁠

⁠；②∃x0∈D，使得

⁠

⁠①∀x∈D，都有

⁠

⁠；②∃x0∈D，使得

⁠

⁠结论M是函数y＝f（x）的

⁠

⁠值M是函数y＝f（x）的

⁠

值f（x）

≤M

f（x0）

＝M

f（x）

≥M

f（x0）＝

M

最

大

最小

提醒：（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭

区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一

定存在最大值或最小值.

3.

函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则：

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.

（

×

）（3）若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调

递增区间是[1，＋∞）.

（

×

）×××（4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f

（x）在区间（1，3）上单调递增.

（

×

）（5）若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上一

定有最值.

（

√

）×√

C.

－1D.

不存在√

3.

已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为

（

）A.

[－1，2]∪[4，5]B.

[－1，2]和[4，5]C.

[－3，－1]∪[2，4]D.

[－3，－1]和[2，4]√解析：

由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，

故选B.

4.

〔多选〕下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（

）A.

f（x）＝－2x＋1B.

f（x）＝x2＋1D.

f（x）＝｜x｜√√√

（－∞，－2]

02PART研透核心考点函数的单调性（师生共研过关）

（1）〔多选〕下列说法中正确的是（

）B.

若f（x），g（x）都是R上的增函数，则h（x）＝f（x）＋g（x）

也是R上的增函数C.

函数y＝2｜x＋1｜的单调递减区间是（－∞，－1]√√√

1.

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.

函数单调性的判断方法（1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导

数法.提醒：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或

“和”连接，不能用“∪”.训练1

（1）（2026·山西临汾适应性考试）下列函数中，满足“对任意

x1，x2∈（0，＋∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的是

（

B

）A.

y＝x2－xB.

y＝lg（x2＋1）C.

y＝3｜x－1｜B

B.

（0，1）D.

（1，＋∞）

A函数单调性的应用（定向精析突破）考向1

比较函数值的大小

A.

c＞a＞bB.

c＞b＞aC.

a＞c＞bD.

b＞a＞c√

利用单调性比较函数值大小的方法

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用

函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中

间值法比较大小.考向2

解不等式

考向3

求参数的值（范围）

A.

（－∞，0]B.

[－1，0]C.

[－1，1]D.

[0，＋∞）√

利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法（1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或

先得到其图象的升降，再结合图象求解；（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.训练2

（1）若f（x）是定义在（－∞，0]上的减函数，则不等式f（2x＋

3）≤f（x＋1）的解集为（

A

）

A（2）（2026·四川外国语大学附中模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3

在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围为

⁠.解析：因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递减，在

（a，＋∞）上单调递增.又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单调，所

以a＞1.（1，＋∞）

函数的值域（最值）（师生共研过关）

〔多选〕下列函数的值域正确的是（

）A.

当x∈[0，3）时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6）√√√解析：

对于A，y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），

再结合函数的图象（如图1所示），可得函数的值域为[2，6）.

求函数最值（值域）的常用方法（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）数形结合法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出

最值；（3）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题；（4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行“变量代

换”；（5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把

函数分离成一个常数和一个分式和（差）的形式.

B

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（

）A.

y＝－x2＋1D.

y＝3－x123456789101112131415√

2.

若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）

的大小关系是（

）A.

f（m）＜f（1）B.

f（m）＞f（1）C.

f（m）≤f（1）D.

f（m）＝f（1）√解析：

因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1

＜0，得m＜1，所以f（m）＞f（1）.故选B.

1234567891011121314153.

函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的单调递增区间是（

）A.

[1，＋∞）B.

（－∞，1]C.

[1，2]D.

[2，＋∞）√

123456789101112131415

B.1D.2√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

（－∞，1）B.

（－∞，1]√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，则

下列说法正确的是（

）A.

y＝－f（x）在R上是减函数B.

y＝f（x）－g（x）在R上是增函数D.

y＝[f（x）]2在R上是增函数√√123456789101112131415

123456789101112131415

3

1234567891011121314158.

已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3，1）是其图象

上的两点，则｜f（x＋1）｜＜1的解集为

⁠.解析：由题意可知，f（0）＝－1，f（3）＝1，因为函数f（x）是R上的

增函数，所以由｜f（x＋1）｜＜1得－1＜f（x＋1）＜1，即f（0）＜f

（x＋1）＜f（3），因此0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2，即｜f（x＋

1）｜＜1的解集为（－1，2）.（－1，2）

123456789101112131415

123456789101112131415（2）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，并判断f（x）在

（1，＋∞）上的单调性.

123456789101112131415

B.

a≤0C.

a≥－3D.

a≥1√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

[－1，2]B.

[－1，0]C.

[0，2]D.

[1，2]√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

单调递减B.

单调递增C.

有最小值D.

有最大值√√123456789101112131415

123456789101112131415

1