第3节　空间直线、平面的平行

第3节空间直线、平面的平行课标要求1.

了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明.2.

能用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形平行关系的简单命题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面

⁠一条直线与此平

面

的一条直线平行，那么该直

线与此平面平行（简记为“线线平行

⇒线面平行”）

外

内

文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，如果

过该直线的平面与此平面

⁠

，那么该直线与交线平行

（简记为“线面平行⇒线线平

行”）

相

交

2.

平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两

条

⁠与另一个

平面平行，那么这两个平

面平行（简记为“线面平

行⇒面面平行”）

相交直线

2.

平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面平行，如果另一

个平面与这两个平面

⁠

，那么

⁠

平行

相

交

两条交线

1.

平行于同一平面的两个平面平行.2.

两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.3.

夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.4.

两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若一条直线和一个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面

平行.

（

×

）（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.

（

×

）（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平

行.

（

×

）（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异

面.

（

√

）×××√2.

（2026·安徽宿州月考）平面α∥平面β，直线l∥α，则（

）A.

l∥βB.

l⊂βC.

l∥β或l⊂βD.

l，β相交解析：

因为平面α∥平面β，直线l∥α，所以直线l可能和平面β平行，也

可能在平面β内.故选C.

√3.

平面α与平面β平行的充分条件可以是（

）A.

α内有无穷多条直线与β平行B.

直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C.

直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD.

α内的任何一条直线都与β平行√解析：

对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两

条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；

对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于

平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B

错误；对于C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不

能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平

行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故

D正确.4.

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面

ACE的位置关系为

.

解析：连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE（图略），则OE∥BD1，

OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.

平行

5.

如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边

形EFGH的形状为

⁠.解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，所以四

边形EFGH是平行四边形.平行四边形

02PART研透核心考点直线与平面平行的判定与性质（定向精析突破）考向1

直线与平面平行的判定

〔一题多解〕如图，四边形ABCD为矩形，AF∥ED.

求证：BF∥平面

CDE.

证明：法一

如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接

NC，NF，因为AF∥DN，且AF＝DN，所以四边形ADNF为平行四边形，所以AD∥FN，且AD＝FN，又四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC且AD＝BC，所以FN∥BC且FN＝BC，所以四边形BCNF为平行四边形，所以BF∥NC，因为BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，所以BF∥平面CDE.

法二

因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE.

又AF∥ED，AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，所以AF∥平面CDE.

因为AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE.

线面平行的证明方法考向2

直线与平面平行的性质

（1）如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的

中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是（

A

）A.

平行B.

相交C.

异面D.

不确定A解析：

因为F，G分别为BC，CD的中点，所以FG∥BD，因为EH∥平面CBD，平面ABD∩平面BCD＝BD，EH⊂平面ABD，所以EH∥BD，由平行的传递性可知EH∥FG.

故选A.

（2）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M

是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.

求证：

PA∥GH.

证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.

线面平行性质的应用

证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已

知平面的交线平行.提醒：应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条

件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.

（1）求证：MN∥平面PDC；

（2）若平面PAB∩平面PCD＝l，试问直线l是否与直线CD平行，请说

明理由.解：假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB，又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB，这与CD与AB不平行矛盾，所以直线l与直线CD不平行.平面与平面平行的判定及性质（师生共研过关）

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.（1）求证：平面A1BD∥平面CD1B1；证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，

AD∥BC，AD＝BC，所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.

又因为A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.同理，A1D∥平面CD1B1.又因为A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平

面CD1B1.（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝B1D1，所以B1D1∥l.

1.

证明面面平行的常用方法（1）利用面面平行的判定定理；（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）；（3）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这

两个平面平行（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）.2.

面面平行条件的应用（1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；（2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内

的两条直线是相交直线.训练2如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：（1）BE∥平面DMF；证明：如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，

因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.

（2）平面BDE∥平面MNG.

证明：因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以

DE∥NG，又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.

因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.

平行关系的综合应用（师生共研过关）

（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；

三种平行关系的转化训练3如图，在正四面体S-ABC中，AB＝4，E，F，R分别是SB，SC，SA的中点，取SE，SF的中点M，N，Q为平面SBC内一点.（1）求证：平面MNR∥平面AEF；解：

证明：因为R，M，N分别是SA，SE，SF的中点，所以MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MN∥平面AEF.

同理，MR∥平面AEF，又因为MR∩MN＝M，MN，MR⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面AEF.

（2）若RQ∥平面AEF，求线段RQ的最小值.

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α与β平行的是

（

）A.

l∥α，l∥βB.

α内不共线的三点到β的距离相等C.

l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD.

l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β123456789101112131415√解析：

对于A，α和β可能平行也可能相交；对于B，必须是α内不共线

的三点，且在β的同侧到β的距离相等，才可判定平面α与平面β平行，故B

错误；对于C，当l，m是平面α内的两条平行直线时，α与β可能相交，故C

错误；对于D，过直线l，m分别作平面与平面α，β相交，设交线分别为

l1，m1与l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，则l1∥β，同理

m1∥β，因为l1与m1相交，所以α∥β.故选D.

1234567891011121314152.

在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝

CF∶FB＝1∶2，则直线AC和平面DEF的位置关系是（

）A.

平行B.

相交C.

在平面内D.

不能确定√

1234567891011121314153.

（2026·安徽皖南八校第三次联考）设l1，l2，l3是三条不同的直线，α，

β是两个不同的平面，且α∩β＝l1，l2⊂α，l3⊂β，则“l2∥l3”是“l1∥l2”

的（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√123456789101112131415解析：

当l2∥l3时，l3⊂β，l2⊄β，所以l2∥β，又l2⊂α，α∩β＝l1，所以

l1∥l2成立；当l1∥l2时，若l1与l3相交，则l2与l3异面，不能推出l2∥l3，所以

“l2∥l3”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.

1234567891011121314154.

如图，P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝

（

）A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.4∶25√解析：

∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，

∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝

2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.123456789101112131415

√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，

D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平

行的是（

）√√123456789101112131415解析：

对于A，AB∥DE，AB⊄平

面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线

AB与平面DEF平行，故A正确；对于

B，如图1所示，作平面DEF交正方体

的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则直线AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，所以直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图2所示，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，所以AB∥OD，因为OD与平面DEF相交，所以直线AB与平面DEF相交，故D错误.故选A、C.

1234567891011121314157.

设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β

＝m，n⊂γ，且

，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，

使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有

⁠.解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在

同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.①③

1234567891011121314158.

如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱

CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及

其内部运动，则M只需满足条件

⁠

时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的一个条

件即可，不必考虑全部可能情况）.点M与点H重合（点M只要在线段FH

上即可）

解析：连接HN，FH，FN（图略），则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.1234567891011121314159.

（13分）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.（1）证明：MN∥平面PAD；解：

证明：取CD中点Q，连接MQ，NQ.

因为M，N，Q分别为AB，PC，CD的中点，故MQ∥AD，NQ∥PD，又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD.

又MQ，NQ⊂平面MNQ，MQ∩NQ＝Q，故平面MNQ∥平面PAD，又MN⊂平面MNQ，故MN∥平面PAD.

123456789101112131415（2）若平面PAD∩平面PBC＝l，判断BC与l的位置关系，并证明你的

结论.解：

BC∥l，证明如下：因为四边形ABCD为平行四边形，故AD∥BC，又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.

又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，故BC∥l.123456789101112131415

10.

（2026·广东广州模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝

2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点

E，F，则（

）A.

MF∥EBB.

A1B1∥NEC.

四边形MNEF为平行四边形D.

四边形MNEF为梯形√123456789101112131415解析：

由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，EB

不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共

面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面

直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，

∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.

又

MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.

又MN⊂平面

MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在

△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，

D正确.12345678910111213141511.

如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点，

点N在线段AB上，AB＝4BN.

若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面

边长的比值为（

）√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

AD∥BCB.

AB∥CDC.

BC∥平面PADD.