第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征

第5节离散型随机变量及其分布列、数字特征课标要求1.

通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列.2.

理解离散型随机变量的均值、方差的概念.3.

能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

离散型随机变量及其分布列（1）离散型随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都

有

的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有

限个或可以

的随机变量称为离散型随机变量；唯一

一一列举

（2）离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值

为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，

2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn（3）离散型随机变量分布列的性质①pi≥

，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝

⁠.0

1

2.

离散型随机变量的数字特征设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn

x1p1＋x2p2＋…＋xnpn

平均水

平

提醒：（1）D（X）越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反

之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近；（2）方差是一个常

数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.标准差

偏离程度

1.

若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则（1）E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数；（2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）；（3）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；（4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2；（5）若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.2.

若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）离散型随机变量是指某一区间内的任意值.

（

×

）（2）若随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）＝1－P（X＝0）.

（

√

）（3）方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.

（

√

）（4）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.

（

√

）×√√√

ξ0123P0.1mn0.1A.

－0.2B.0.2C.0.1D.

－0.1√

3.

在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某篮球运动员罚球

命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为（

）A.0.2B.0.4C.0.8D.1√解析：

X的取值可能为0，1，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝

1）＝0.8，E（X）＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.

X123P

X1234Pab

02PART研透核心考点离散型随机变量的分布列（基础自学过关）1.

若离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则a的值为（

）ξ－11P4a－13a2＋aB.

－2√

√

3.

随机变量X的分布列如表：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P（｜X｜＝1）＝

，公差d的取值范

围是

⁠.

离散型随机变量的分布列性质的应用（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个

值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.离散型随机变量的均值与方差（定向精析突破）考向1

均值与方差的性质

（1）设随机变量X的分布列如下（其中0＜p＜1），D（X）表示X

的方差，则当p从0增大到1时（

D

）X012PA.

D（X）增大B.

D（X）减小C.

D（X）先减后增D.

D（X）先增后减D

（2）〔多选〕已知随机变量X的分布列如下，则下列说法正确的是（

ABD

）X－2－112PmnABD

X214P

与均值、方差性质有关问题的解题思路

若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思

路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋

b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分

布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相

等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）.考向2

离散型随机变量的均值与方差

（2026·江苏南京模拟）有A，B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为

0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金x元.（1）猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率；

（2）若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求x的

值，使得张某先猜谜语A和先猜谜语B所获得的奖金期望相同.解：设张某先猜A谜语获得的奖金为ξ1元，先猜B谜语获得的奖金为ξ2元，则ξ1的取值分别是0，10，10＋x，ξ2的取值分别是0，x，10＋x，P（ξ1＝0）＝0.2，P（ξ1＝10）＝0.8×0.5＝0.4，P（ξ1＝10＋x）＝

0.8×0.5＝0.4，所以E（ξ1）＝0×0.2＋10×0.4＋（10＋x）×0.4＝0.4x＋8；P（ξ2＝0）＝0.5，P（ξ2＝x）＝0.5×0.2＝0.1，P（ξ2＝10＋x）＝

0.5×0.8＝0.4，所以E（ξ2）＝0×0.5＋0.1x＋（10＋x）×0.4＝0.5x＋4.由E（ξ1）＝E（ξ2）得0.4x＋8＝0.5x＋4，解得x＝40.

求离散型随机变量X的均值与方差的步骤（1）理解X的意义，写出X可能的全部值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列；（4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）.训练1小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位数密码的最后一位数

字，他决定从0～9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或

者输错三次银行卡被锁定为止.（1）求小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、均值及

方差.

X123P

均值与方差在决策中的应用（师生共研过关）

（2026·浙江温州模拟）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法.其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性.假设一个小型的互联网由A，B，C，D四个网

页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网

页A开始浏览（记为第1次停留）.（1）求该用户第3次停留在网页D上的概率；

（2）某广告公司准备在网页B，C中选择一个投放广告，以用户前4次在

该网页上停留的平均次数作为决策依据.试问该公司应该选择哪个网页？

请说明理由.

利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概

率模型的差异性，不能混淆；（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特

征；（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方

案，做出决策.训练2猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，一局游戏中

有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，且可自主选择猜歌顺序，

只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励

基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对

时获得相应的奖励基金如表：歌曲ABC猜对的概率0.80.50.5获得的奖励基金金额/元1

0002

0003

000（1）求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

解：甲决定按“A，B，C”的顺序猜歌名，获得的奖金数记为X，则X的所有可能取值为0，1

000，3

000，6

000，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝1

000）＝0.8×（1－0.5）＝0.4，P（X＝3

000）＝0.8×0.5×（1－0.5）＝0.2，P（X＝6

000）＝0.8×0.5×0.5＝0.2，（2）甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你

计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基

金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.所以E（X）＝0×0.2＋1

000×0.4＋3

000×0.2＋6

000×0.2＝2

200；甲决定按“C，B，A”的顺序猜歌名，获得的奖金数记为Y，则Y的所有可能取值为0，3

000，5

000，6

000，P（Y＝0）＝0.5，P（Y＝3

000）＝0.5×（1－0.5）＝0.25，P（Y＝5

000）＝0.5×0.5×（1－0.8）＝0.05，P（Y＝6

000）＝0.5×0.5×0.8＝0.2，所以E（Y）＝0×0.5＋3

000×0.25＋5

000×0.05＋6

000×0.2＝2

200.参考答案一：由于D（X）＝（0－2

200）2×0.2＋（1

000－2

200）

2×0.4＋（3

000－2

200）2×0.2＋（6

000－2

200）2×0.2＝4

560

000，D（Y）＝（0－2

200）2×0.5＋（3

000－2

200）2×0.25＋（5

000－2

200）2×0.05＋（6

000－2

200）2×0.2＝5

860

000，由于D（Y）＞D（X），所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为

0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应

该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.其他合理答案均可.03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：99分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用

ζ表示甲的得分，则{ζ＝3}表示（

）A.

甲赢三局B.

甲赢一局输两局C.

甲、乙平局二次D.

甲赢一局输两局或甲、乙平局三次123456789101112131415√解析：

因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，

故{ζ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.2.

设随机变量ξ的分布列如下表，则P（｜ξ－3｜＝1）＝（

）ξ1234Pa√

123456789101112131415

√

1234567891011121314154.

小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达

的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为

200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的

奖励为X元，则E（X）＝（

）A.176B.182C.184D.186√123456789101112131415解析：

依题意可得X的所有可能取值为200，180，160.P（X＝200）

＝0.4，P（X＝180）＝0.3，P（X＝160）＝0.3，X的分布列如下，X200180160P0.40.30.3则E（X）＝200×0.4＋（180＋160）×0.3＝182，故选B.

1234567891011121314155.

〔多选〕已知随机变量X的分布列为X－1012Pabc0.25且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（

）B.

P（｜X｜＝1）＝0.5C.

若E（aX）＝0.08，则a＝0.1D.

a－c可能等于0.1√√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根

据以往销售经验可得0＜a＜2，随机变量X的分布列为X0a2Pb下列结论正确的是（

）123456789101112131415

123456789101112131415

1234567891011121314158.

已知随机变量X的分布列为X－2－10123P

（4，9]

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415（1）设事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P（

A

）；

A123456789101112131415（2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列；

X4

0003

0002

0001

0000P123456789101112131415（3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获

得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部

奖金，试估计其需提供的奖金总额.

123456789101112131415

10.

现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随

机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则E（ξ）＝（

）√123456789101112131415

ξ1234P

12345678910111213141511.

据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公

司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以

上财产被窃，保障公司赔偿a元（a＞1

000），为确保保险公司有可能获

益，则a的取值范围是（

）A.

（100，200）B.

（200，300）C.

（1

000，20

000）D.

（2

000，30

000）√123456789101112131415解析：

设保险公司的收益为X，则X的所有可能取值有100，100－a

（a＞1

000），由已知P（X＝100）＝0.995，P（X＝100－a）＝

0.005.所以随机变量X的分布列为X100100－aP0.9950.005所以E（X）＝100×0.995＋（100－a）×0.005＝100－0.005a，令100

－0.005a＞0，解得a＜20

000，故1

000＜a＜20

000，所以为确保保险公

司有可能获益，a的取值范围是（1

000，20

000）.12345678910111213141512.

〔多选〕设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中正确的是

（

）X123456Pp1p2p3p4p5p6A.

P（X≥4）＝1－P（X≤3）B.

随机变量X的数学期望E（X）可以等于3.5√√√123456789101112131415

12345678910111213141513.

已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干

个，A盒中有m个红球与10－m个白球，B盒中有10－m个红球与m个白

球（0＜m＜10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球

的个数，则当D（ξ）取到最大值时，m＝

⁠.

5

123456789101112131415ξ012P

12345678910111213141514.

（15分）某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式

对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中

一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.（1）若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200

元，求：①员工所获得的奖励金额为1

000元的概率；②员工所获得的奖励金额的分布列及均值.123456789101112131415

X4001

000P

12