第6节　二项分布、超几何分布与正态分布

第6节二项分布、超几何分布与正态分布课标要求1.

通过具体实例，理解（课标变化：了解→理解）伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.

通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.

通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解正态分布的均值、方差及其含义.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

伯努利试验与二项分布（1）伯努利试验：只包含

可能结果的试验叫做伯努利试验；将

一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为

⁠

⁠；

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分

布，记作

⁠.两个

n重伯努利

试验

X～B（n，p）

提醒：超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征为：

①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考

查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的

小球等概率模型，其实质是古典概型.3.

正态分布

（1）正态曲线的特点①曲线位于x轴

，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线

对称；

④曲线与x轴之间的面积为

⁠；上方

x＝μ

1

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体

的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.（2）正态分布的三个常用数据①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682

7；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954

5；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997

3.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.

（

√

）（2）若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从

二项分布.

（

√

）（3）超几何分布的总体里只有两类物品.

（

√

）（4）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化

的.

（

×

）（5）正态分布是对连续型随机变量而言的.

（

√

）√√√×√2.

已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X

＜c＋3），则c＝（

）C.1√

5.

若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，

则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是

⁠.

0.291

6

02PART研透核心考点二项分布（定向精析突破）考向1

n重伯努利试验及其概率

（1）下列事件是n重伯努利试验的是（

D

）A.

运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B.

甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C.

甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射

中目标”D.

在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标D解析：

选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽然

是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不

一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击中

与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验.（2）机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽

查的200个机械元件情况如表：使用时间/

天10～2021～3031～4041～5051～60个数1040805020若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元

件的使用寿命在30天以上的概率为（

D

）D

A.5B.6C.7D.8B

n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略（1）符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相

同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验

相互独立；

考向2

二项分布

（1）求智能客服的回答被采纳的概率；

（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设X表示智能客

服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差.

X0123P

所以X的分布列为

二项分布问题的解题关键（1）定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的

事件是相互独立的；③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与

不发生；（2）定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验

中事件发生的概率.训练1

（2025·浙江台州二模）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展

了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1

000名市

民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人

口的情况.调查结果如下：了解情况非常了解一般了解不了解人数（名）580320100（1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的

概率；

（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.

假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50％转变为“一般了解”，

有20％转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成

年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，

求X的分布列及数学期望.

X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B（3，0.6），根据二项分布的数学期望公式可得E（X）＝

3×0.6＝1.8.超几何分布（师生共研过关）

（2026·广东广州模拟）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从

收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5

组：[360，380），[380，400），[400，420），[420，440），[440，

460]，得到如下频率分布直方图.（1）用样本估计总体，估计该品种石榴质量的平均数；（同一组中的数

据用该组区间的中点值作代表）解：

由题意知这50个软籽石榴质量的平均数为20×[370×0.005＋（390

＋410＋450）×0.010＋430×0.015]＝416（g），所以估计该品种石榴质量的平均数为416

g.②记这3个石榴中质量在区间[420，440）上的个数为X，求X的分布列与

数学期望.（2）在样本中从质量在区间[380，400），[400，420），[420，440）上

的石榴中按分层随机抽样抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进

一步检测.①已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区

间的概率；解：由题意知这7个石榴中，质量在区间[380，400），[400，420），

[420，440）上的频率之比为0.010∶0.010∶0.015＝2∶2∶3，所以抽取的质量在区间[380，400），[400，420），[420，440）上的石

榴个数分别为2，2，3.

X0123P

求超几何分布的分布列的步骤训练2

（2026·山东济宁模拟）为了解高三（一）班和高三（二）班的数学

建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛

（满分100分），成绩如下：数据Ⅰ（高三（一）班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；数据Ⅱ（高三（二）班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95.（1）求数据Ⅰ（高三（一）班）的第80百分位数；

（2）从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽

到的3人中来自于高三（二）班的学生人数为X，求X的概率分布列和数学

期望.

X123P

所以X的概率分布列为正态分布（师生共研过关）

（1）（2021·新高考Ⅱ卷6题）某物理量的测量结果服从正态分布N

（10，σ2），下列结论中不正确的是（

D

）A.

σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大B.

σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.

σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.

σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，

10.3）的概率相等D解析：

对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称

轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显

然B、C正确.D显然错误.故选D.

A.

P（X＞2）＞0.2B.

P（X＞2）＜0.5C.

P（Y＞2）＞0.5D.

P（Y＞2）＜0.8BC

解决正态分布问题有三个关键点（1）对称轴x＝μ；（2）标准差σ；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间

的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注

意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.

BCDA.

μ1＝μ2＞μ3B.

σ1＝σ2＜σ3

A.8B.16C.32D.64C

二项分布与超几何分布的辨析

超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取

是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大

时可以近似地看作二项分布.

在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中

8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连

续摸4次，记随机变量X为小张摸出白球的个数.（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E（X）和D

（X）；解：

由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且

每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以X～B（4，0.8），所以E（X）＝4×0.8＝3.2，D（X）＝4×0.8×（1－0.8）＝0.64.（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列

和E（X）.

X234P

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：99分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

123456789101112131415√

√

1234567891011121314153.

某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从

正态分布

N（100，σ2），已知

P（90＜X≤100）＝0.1，则该校高一学生

数学成绩在110分以上的人数大约为（

）A.784B.490C.392D.294√解析：

因为X～N（100，σ2），且P（90＜X≤100）＝0.1，所以P

（100＜X≤110）＝P（90＜X≤100）＝0.1，所以P（X＞110）＝0.5－

P（100＜X≤110）＝0.5－0.1＝0.4，又因为高一有学生980人，所以该

校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980×0.4＝392.故选C.

1234567891011121314154.

数学教师从6道习题中随机抽3道让学生自我检测，规定至少要解答正确

2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是

（

）√

1234567891011121314155.

〔一题多解〕〔多选〕（2026·浙江台州模拟）下列选项正确的是

（

）B.

若随机变量X～N（6，4），则E（X）＝6√√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是

（

）√√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

（2026·浙江台州模拟）若随机变量X～N（1，σ2），且P（X＜0.9）

＝0.3，则P（｜X－1｜＜0.1）＝

⁠.解析：由｜X－1｜＜0.1可得－0.1＜X－1＜0.1，即0.9＜X＜1.1，因为

随机变量X～N（1，σ2），且P（X＜0.9）＝0.3，故P（｜X－1｜＜

0.1）＝P（0.9＜X＜1.1）＝1－2P（X＜0.9）＝1－2×0.3＝0.4.0.4

1234567891011121314158.

（2025·全国Ⅰ卷14题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，

从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的

球的个数，则X的数学期望E（X）＝

⁠.

123456789101112131415所以X的分布列为X123P

1234567891011121314159.

（15分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养

成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，

提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，

得到如下表格.序号i12345678910成绩xi（分）38414451545658647480123456789101112131415

123456789101112131415（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记

体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；

X0123P123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

√123456789101112131415

12345678910111213141511.

（2025·山师附中一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人

手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的

点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点

数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时

停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（

）