第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式

1/1第3节和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式1.会推导两角差的余弦公式.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式提醒：（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α22.半角公式sinα2＝±1cosα2＝±1+costanα2＝±1－cosα1+cosα.（依据二倍角公式，用α代替2α3.辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin（α＋φ）（其中a2＋b2≠0，sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝1.降幂公式cos2α＝1+cos2α2；sin2α＝1－cos22.升幂公式1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；1±sin2α＝（sinα±cosα）2.3.公式的常用变形sinα±cosα＝2sin（α±π4）sin2α＝2sinαcoscos2α＝cos2αtanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan若α＋β＝π4，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角.（√）（2）存在实数α，β，使等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立.（√）（3）存在实数α，使tan2α＝2tanα.（√）（4）32sinα＋12cosα＝sin（α＋π3）.（2.sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（）A.－32 B.C.－12 D.解析：D原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝sin30°＝123.若2cosα－sinα＝0，则tan（α－π4）＝（A.－13 B.C.－3 D.3解析：B因为2cosα－sinα＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2，因此，tan（α－π4）＝tanα－tanπ4.已知sin（α－π）＝35，则cos2α＝（A.15 B.C.625 D.解析：Dsin（α－π）＝－sinα＝35，故sinα＝－35，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×（－35）25.求值：cos15°＝2＋6解析：cos15°＝cos（60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝2＋公式的直接应用（师生共研过关）（1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cosα2＝55，则sin（α－π4）＝（DA.210 B.C.3210 D解析：cosα＝2cos2α2－1＝2×15－1＝－35，因为0＜α＜π，所以sinα＝45，所以sin（α－π4）＝22（sinα－cosα）＝（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α－β）＝（A）A.－3m B.－mC.m3 D.3解析：因为cos（α＋β）＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，即sinαsinβcosαcosβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3cosαcosβ三角函数公式的应用策略（1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；（2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.训练1（1）已知cosαcosα－sinα＝3，则tan（α＋πA.23＋1 B.23－1C.32 D.1－解析：根据题意有cosα－sinαcosα＝33，即1－tanα＝33，所以tanα＝1－33，所以tan（α＋π4）＝tanα（2）（2026·山东济宁月考）计算：cos55°＋sin25°cos60A.12 B.C.32 D.解析：cos55°＋sin25°cos60°cos25（3）（2026·浙江台州模拟）已知tanα＝2，则cos2α＝（B）A.－45 B.－C.35 D.解析：因为tanα＝2，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2公式的逆用及变形用（师生共研过关）（1）在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C的值为（C）A.π6 B.C.π3 D.解析：由已知可得tanA＋tanB＝3（tanAtanB－1），∴tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3.又0＜A＋B＜π.∴（2）（2025·T8联考）若cosα＋cosβ＝12，cos（α－β）＝－14，其中α，β∈（0，π），则sinα＋sinβ＝（AA.52 B.C.54 D.解析：令sinα＋sinβ＝t（t＞0）①，∵cosα＋cosβ＝12②，∴由①2＋②2，得2＋2cos（α－β）＝t2＋14，又cos（α－β）＝－14，故t2＝54.又t＞0，∴t＝5三角函数公式的活用技巧（1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用公式；（2）注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”（3）tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.训练2（1）（2025·浙江绍兴一模）已知sin（α＋β）＝12，sin（α－β）＝13，则tanαtanβA.15 B.C.－15 D.－解析：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝13，两式相减得2cosαsinβ＝16，两式相加得2sinαcosβ＝56，所以2sinαcosβ2cosαsinβ＝5（2）〔多选〕（2026·安徽合肥质检）下列各等式能够成立的是（CD）A.cos275°－sin275°＝32 B.tan15°C.3sin15°＋cos15°＝2 D.cos36°cos72°＝1解析：对于A，cos275°－sin275°＝cos150°＝cos（180°－30°）＝－cos30°＝－32；对于B，tan15°1+tan215°＝sin15°cos15°1+sin215°cos215°＝sin15°cos15°cos215°＋sin215°＝12sin30°＝14；对于C，3sin15°＋cos15°＝2（32sin15°＋1（3）tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°·tan10°＝1.解析：原式＝tan10°tan20°＋tan60°（tan20°＋tan10°）＝tan10°tan20°＋3tan（20°＋10°）（1－tan20°tan10°）＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.角的变换（师生共研过关）（1）（2025·广东深圳二模）若cos（α＋π4）＝35，α∈（0，π2），则sinα＝（AA.210 B.C.25 D.解析：因为α∈（0，π2），则π4＜α＋π4＜3π4，所以sin（α＋π4）＝1－cos2（α＋π4）＝1－（35）2＝45，因此sinα＝sin［（α＋π4）－π4］＝sin（α（2）已知sinθ＋sin（θ＋π3）＝1，则sin（θ＋π6）＝（BA.12 B.C.23 D.解析：因为sinθ＋sin（θ＋π3）＝sin（θ＋π6－π6）＋sin（θ＋π6＋π6）＝sin（θ＋π6）cosπ6－cos（θ＋π6）·sinπ6＋sin（θ＋π6）cosπ6＋cos（θ＋π6）sinπ6＝2sin（θ＋π6）cosπ6＝3sin（θ＋1.三角函数公式求值中变角的解题思路（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常用拆角、拼角技巧2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝α＋β2－α－β2＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；π4＋α＝π2训练3（1）已知tan（α＋β）＝12，tan（α－β）＝13，则tan（π－2α）＝（BA.1 B.－1C.2 D.－2解析：因为2α＝（α＋β）＋（α－β），所以tan2α＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α＋β）tan（α－β）＝1（2）已知cos（α＋π3）＝－45，α∈（0，π2），则sin（α＋π12）＝（A.210 B.C.3210 D解析：因为cos（α＋π3）＝－45，α∈（0，π2），所以α＋π3∈（π3，5π6），sin（α＋π3）＝35，所以sin（α＋π12）＝sin［（α＋π3）－π4］＝sin（α＋π3）cosπ4－cos（α＋π3）sin（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.已知cosθ＝13，则sin（2θ＋π2）＝（A.－79 B.C.23 D.－解析：A根据诱导公式与二倍角公式，得sin（2θ＋π2）＝cos2θ＝2cos2θ－1＝－79，故选2.已知sinα＝35，α∈（π2，π），则tan（π4－α）A.－7 B.－1C.17 D.解析：D因为sinα＝35，α∈（π2，π），所以cosα＝－1－（35）2＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，所以tan3.315sinx＋35cosx＝（）A.65cos（x＋π6） B.35cos（x－πC.65sin（x＋π6） D.35sin（x－π解析：C315sinx＋35cosx＝65（32sinx＋12cosx）＝65sin（x＋π6），4.（2026·甘肃高考诊断考试）已知sin（α＋π3）－sinα＝45，则sin（2α－π6）A.725 B.－C.2425 D.－解析：B因为sin（α＋π3）－sinα＝32cosα－12sinα＝cos（α＋π6）＝45，所以sin（2α－π6）＝sin［2（α＋π6）－π2］＝－cos［2（α＋π6）］＝1－2cos2（α5.（2025·广东佛山二模）若α＋β＝5π4（α≠π2＋kπ，β≠π2＋kπ，k∈Z），则（1＋tanα）（1＋tanA.－1 B.0C.1 D.2解析：D因为α＋β＝5π4，则tan（α＋β）＝tan5π4＝tan（π＋π4）＝tanπ4＝1，又tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，所以tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，所以（1＋tanα）（1＋tanβ）＝6.〔多选〕已知cosα＝13，cos（α＋β）＝－13，且α，β∈（0，π2），则A.cosβ＝79 B.sinβ＝C.cos（α－β）＝2327 D.sin（α－β）＝－解析：AC因为α∈（0，π2），cosα＝13，所以sinα＝223，又α，β∈（0，π2），所以α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝1－cos2（α＋β）＝223，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）·sinα＝－19＋89＝79，A正确.sinβ＝429，B错误.cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝2327，C正确.sin（α7.1sin10°－3sin80°＝解析：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°8.（2026·山东滨州模拟）“在△ABC中，cosAcosB＝＋sinAsinB”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是b＜a＜c.解析：由题意，得横线处的实数等于cos（A＋B），即cos（π－C），故当C是直角时，a＝cos（A＋B）＝cosπ2＝0；当C是锐角时，－1＜b＝cos（A＋B）＜0；当C是钝角时，0＜c＝cos（A＋B）＜1，故b＜a＜c9.（13分）已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan（α－β）＝－1（1）求sin（α－β）的值；（2）求cosβ的值.解：（1）因为α，β∈（0，π2），所以－π2＜α－β＜又因为tan（α－β）＝－13＜0，所以－π2＜α－β＜0，且sin（α－β）＝－13cos（α－β），sin2（α－β）＋cos2（α－β故cos（α－β）＝31010，sin（α－β）＝－（2）因为α为锐角，且sinα＝35，所以cosα＝4所以cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝45×31010＋35×（－1010.（2026·湖北武汉调研）设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则cos（2α－β）的取值范围为（）A.[0，1] B.[－1，0]C.[－1，1] D.［－22，2解析：B因为α，β∈[0，π]，所以α－β∈[－π，π].又因为sinαcosβ－sinβcosα＝sin（α－β）＝1，所以α－β＝π2，所以2α－β∈［π2，3π2］，所以cos（2α－β）∈[－1，0]11.（2025·江苏苏北四市期末）已知α，β为锐角，cos（α＋β）＝35，tanα＋tanβ＝1，则cos（α－β）＝（A.13 B.C.23 D.解析：D由α，β为锐角，得0＜α＋β＜π，又cos（α＋β）＝35，则sin（α＋β）＝1－cos2（α由tanα＋tanβ＝1，得sinαcosα＋sinβcosβ＝由①②得cosαcosβ＝45，又cos（α＋β）＝35，所以sinαsinβ＝15，则cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ12.〔多选〕已知钝角三角形ABC中，A，B为两锐角，则下列说法正确的是（）A.sinA＜cosBB.sinA＋sinB＜sinCC.tanA＋tanB＋tanC＜0D.tanAtanB＜1解析：ACD对于A，由题意，A，B∈（0，π2），A＋B＜π2，则A＜π2－B∈（0，π2），所以sinA＜sin（π2－B）＝cosB，故A正确；对于B，sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，因为A，B∈（0，π2），所以cosA∈（0，1），cosB∈（0，1），所以sinC＝sinAcosB＋cosAsinB＜sinA＋sinB，故B错误；对于C，tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝－tanA＋tanB1－tanAtanB，所以tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC，所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，又A，B∈（0，π2），C∈（π2，π），所以tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0，所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＜0，故C正确；对于D，因为A＜π2－B∈（0，π2），所以0＜tanA＜tan（π2－B）13.（2026·陕西渭南模拟）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为α，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若sinα（1－sin2α）sinα－解析：由题意可得sinα（1－sin2α）sinα－cosα＝sinα（sin2α＋cos2α－2sinαcosα）sinα－cosα＝sinα（sinα－c