第7节　对数与对数函数

第7节对数与对数函数课标要求1.

理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.

通过具体实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点.3.

知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且

a≠1）.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

对数式的运算概念如果

（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底

N的对数，记作x＝

，其中a叫做对数的

⁠

，N叫做

⁠性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔

⁠负数和0没有对数1的对数是

：loga1＝

⁠底数的对数是

：logaa＝

⁠ax＝N

logaN

底

数

真数

x＝logaN

0

0

1

1

N运算性质loga（MN）＝

⁠a＞0，且a≠1，M＞

0，N＞0logaMn＝

（n∈R）换底公式logaM＋logaN

logaM－logaN

nlogaM

2.

对数函数及其性质（1）定义：函数y＝

（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x

是自变量，定义域是

⁠；提醒：对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x

＞0；③系数为1.底数a＞10＜a＜1图象

logax

（0，＋∞）

（2）图象与性质性质定义域：

⁠值域：R图象过定点

，即恒有loga1＝0当x＞1时，恒有y＞0；当0＜x＜1时，恒有y＜0当x＞1时，恒有y＜0；当0＜x＜1时，恒有y＞0在（0，＋∞）上是

⁠在（0，＋∞）上是

⁠（0，＋∞）

（1，0）

增函数

减函数

提醒：当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情

况进行讨论.3.

反函数指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且

a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

1.

换底公式的变形

3.

对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）log2x2＝2log2x.

（

×

）（2）函数y＝log2（x＋1）是对数函数.

（

×

）（3）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数.

（

×

）（4）函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，

2）.

（

×

）

××××√

A.

（1，＋∞）B.

（1，2）∪（2，＋∞）C.

（－∞，1）D.

（0，2）∪（2，＋∞）√

3.

下列运算正确的是（

）√

4.

设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则a，b，c的大小关系为

（

）A.

a＞b＞cB.

c＞b＞aC.

b＞c＞aD.

a＞c＞b√解析：

如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，

y3＝log0.4x的大致图象，由图可知，当x＝6时，log0.26

＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c.5.

已知log0.7（2m）＜log0.7（m－1），则m的取值范围是

⁠

⁠.解析：因为y＝log0.7x的定义域为（0，＋∞），且是减函数，故2m＞m

－1＞0，解得m＞1.（1，＋

∞）

02PART研透核心考点对数的运算（基础自学过关）1.

若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（

）A.

－2D.1√

2.

（2025·山东临沂二模）已知实数x，y满足log2（log3x）＝log3

（log2y）＝1，则x＋y＝（

）A.11B.12C.16D.17√

64

4.

计算下列各式：

对数运算的一般思路（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数

指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并；（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的

运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算；（3）ab＝N⇔b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的

有效方法，在运算中应注意互化.对数函数的图象及应用（师生共研过关）

C

（2）已知函数f（x）＝｜log3x｜，若a＜b，且f（a）＝f（b），则a

＋4b的取值范围是（

D

）C.

[5，＋∞）D.

（5，＋∞）D

对数函数图象的识别及应用（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特

殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用

数形结合法求解.训练1

（1）已知函数f（x）＝loga（x－b）（a＞0且a≠1，a，b为常

数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（

D

）A.

a＞0，b＜－1B.

a＞0，－1＜b＜0C.0＜a＜1，b＜－1D.0＜a＜1，－1＜b＜0D解析：

因为函数f（x）＝loga（x－b）为减函数，所以0＜a＜1，又因

为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1，又因为函

数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D.

（0，

对数函数的性质及应用（定向精析突破）考向1

比较对数值的大小

（1）（2025·湖南长沙部分学校月考）设a＝log43，b＝log53，c＝

log45，则（

D

）A.

a＞c＞bB.

b＞c＞a

DC.

c＞b＞aD.

c＞a＞b（2）〔多选〕（2026·黑龙江龙东联盟联考）已知2a＝3b＝6，则a，b满

足（

AD

）A.

a＝log26B.

a＜bD.

a＋b＞4AD

比较对数式大小的方法（1）当底数为同一数字时，可由对数函数的单调性比较大小；（2）当底数为同一字母时，需对底数进行分类讨论；（3）当底数不同，真数相同时，先用换底公式化为同底后，再进行比较；（4）当底数与真数都不同时，可借助1，0等中间值比较大小.考向2

解简单的对数方程或不等式

求解对数不等式的两种类型及方法（1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，

需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；（2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax

的单调性求解.训练2

（1）（2025·浙江金华十校二模）已知a＝log32，b＝log54，c＝

log98，则（

D

）A.

c＜b＜aB.

a＜c＜bC.

b＜a＜cD.

a＜b＜c

D（2）不等式logx（x＋2）＞1的解集是（

B

）A.

（2，＋∞）B.

（1，＋∞）C.

（0，1）D.

（0，1）∪（1，＋∞）

B

对数型函数性质的综合问题（师生共研过关）教材母题：〔人A必修一P161复习参考题11题〕已知函数f（x）＝loga

（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1）.（1）求函数f（x）＋g（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）＋g（x）的奇偶性，并说明理由.解：函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数，理由如下：令h（x）＝f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x）.又h（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝loga（－x＋1）＋loga（1＋x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x）＝f（x）＋g（x）＝h（x），则∀x∈（－1，1），有h（－x）＝h（x）成立，故函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数.

变式1已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞

1），则函数f（x）＋g（x）的单调递增区间为

；值域

为

⁠.解析：令h（x）＝f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga

（1－x）＝loga（1－x2），定义域为（－1，1）.设t＝1

－x2，x∈（－1，1），则h（x）＝logat.函数t＝1－x2的

图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝0，所以t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.当a＞1时，对数函数y＝logat在（0，＋∞）上单调递增.根据复合函数“同增异减”的原则，h（x）＝loga（1－x2）在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.画出函数h（x）＝loga（1－x2）的大致图象，如图，由图易知h（x）的值域为（－∞，0].（－1，0）

（－∞，0]

A.

－1B.0D.1√

A.

（－1，0）B.

（0，1）C.

（－∞，0）D.

（－1，1）√

求解与对数型函数有关的综合问题时，必须弄清的三个方面：一是定

义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是

复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时

需注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.训练3

（1）（2025·江西一模）若函数f（x）＝log0.1（12－ax）在区间

（3，6）上单调递增.则a的取值范围是（

D

）A.

（－∞，0）B.

（－2，0）C.

（0，2）D.

（0，2]解析：f（x）＝log0.1（12－ax）在区间（3，6）上单调递增，令t＝12－

ax，则t＝12－ax在区间（3，6）上单调递减且恒为正，所以a＞0且12－

6a≥0，所以0＜a≤2.故选D.

D

A.

－1B.0C.1D.2

D

A.

函数f（x）的图象关于y轴对称B.

当x＞0时，f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）单调递减C.

函数f（x）的最小值是lg

2D.

当－1＜x＜0或x＞1时，f（x）单调递增ACD

互为反函数的两个函数图象间的关系通过人A必修一P135探究与发现我们知道指数函数y＝ax（a＞0，且

a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象

关于直线y＝x对称.也就是说，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象

上任意一点P（x0，y0）关于直线y＝x的对称点Q（y0，x0）在对数函数

y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象上.

（1）若关于x的方程x＋log5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m

＋n＝（

D

）A.1B.2C.3D.4解析：

由题意，可知log5x＝－x＋4，5x＝－x＋4，

且函数y＝log5x与y＝5x互为反函数，对应的图象关于

直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝－x＋4垂直，

所以两函数图象与直线y＝－x＋4的交点A，B关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋4的交点为C，则C（2，2），A，B两点的横坐标分别为m，n，因此m＋n＝4.D

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f

（2）＝1，则f（x）＝（

）A.log2xD.

2x－2123456789101112131415√解析：

由题意得，f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f（2）＝

1，所以loga2＝1，所以a＝2，所以f（x）＝log2x.2.

（2026·江苏无锡天一中学月考）下列各式运算正确的是（

）√

123456789101112131415

A.

a＜b＜cB.

c＜a＜bC.

c＜b＜aD.

b＜c＜a√

123456789101112131415

A.

（4，＋∞）√123456789101112131415

123456789101112131415

√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有

下列说法，其中正确的为（

）A.

f（x）的图象关于原点对称B.

f（x）的图象关于y轴对称C.

f（x）的最大值为0D.

f（x）在区间（－1，1）上单调递增√√123456789101112131415解析：

函数f（x）的定义域为（－1，1），关于原点对称，由f（－

x）＝log2（1－｜－x｜）＝log2（1－｜x｜）＝f（x），得f（x）＝log2

（1－｜x｜）为偶函数，图象关于y轴对称，所以A错误，B正确；根据f

（x）的图象（图略）可知D错误；因为1－｜x｜≤1，所以f（x）

≤log21＝0，故C正确.123456789101112131415

[1，17]

123456789101112131415

三、四

1234567891011121314159.

（13分）已知a＞0，a≠1且loga3＜loga2，函数y＝logax在区间[a，

3a]上的最大值与最小值之差为1.（1）求a的值；

123456789101112131415

123456789101112131415

10.

已知函数f（x）＝log2（x＋2），若a＞b＞c＞0，则（

）√123456789101112131415

12345678910111213141511.

若不等式（x－1）2＜logax（a＞0且a≠1）在x∈（1，2]内恒成立，

则实数a的取值范围为（

）B.

（0，1）解析：

若0＜a＜1，此时x∈（1，2]，logax＜0