第7节　指数与对数的运算

第7节指数与对数的运算课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算

性质.2.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数

或常用对数.目录/CONTENTS考点一指数幂的运算01考点二对数式的运算02提能点指对运算的应用03课时跟踪训练0401PART考点一指数幂的运算1.

根式（1）一般地，如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根；

x

根式

a

a

2.

有理数指数幂概念a＞0，m，n∈N*，

n＞10的正分数指数幂等于0，0的负分数指

数幂没有意义运算性质aras＝ar＋sa＞0，b＞0，r，

s∈Q（ar）s＝ars（ab）r＝arbr

题组练透1.

〔多选〕下列计算正确的是（

）√√

2.

〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（

）A.

a2＋a－2＝7√√√

0练后悟通指数幂的运算02PART考点二对数式的运算概念一般地，如果

（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以

a为底N的对数，记作x＝

，其中a叫做对数的

⁠

，N叫做

⁠性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔

⁠loga1＝

；logaa＝

⁠ax＝N

logaN

底

数

真数

x＝logaN

0

1

N

运算性质loga（MN）＝

⁠a＞0，且a≠1，

M＞0，N＞0logaMn＝

（n∈R）换底公式logaM＋logaN

logaM－logaN

nlogaM

A.1B.2C.3D.4

B

（2）（2026·广东广州模拟）若log2m＋log4n＝2，则m2n＝（

D

）A.3B.4C.9D.16D规律方法对数运算的一般思路（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的

形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的

运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算；（3）ab＝N⇔b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的

有效方法，在运算中应注意互化.

03PART提能点指对运算的应用角度1

指数式与对数式的综合运算

（1）若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（

B

）A.

－2D.1

B（2）（2024·北京高考9题）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的

图象上两个不同的点，则（

B

）

B规律方法

对于将等式logax＝logby＝logcz（或等式ax＝by＝cz）作为已知条

件，求x，y，z的值的问题，通常设logax＝logby＝logcz＝k（或ax＝by

＝cz＝k＞0），则x＝ak，y＝bk，z＝ck（或x＝logak，y＝logbk，z＝

logck）.角度2

实际应用

（2025·北京高考9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N

个单位的数据量所需时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数.在此

条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练

时间增加20个小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到

4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（

）A.2B.4C.20D.40√

规律方法解决指数、对数运算实际应用问题的步骤（1）理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系；（2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为

所求.

1604PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：88分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

12345678910111213141.

下列各式正确的是（式中字母均是正数）（

）√

A.10B.1C.2D.lg

5√

12345678910111213143.

已知a＝log35，b＝log23，则lg

3＝（

）√

12345678910111213144.

我们已经知道1

mol物质的原子个数为6.02×1023，你知道整个宇宙可观

测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为2290.下列

各数中与2290最接近的是（参考数据：lg

2≈0.301）（

）A.1085B.1086C.1087D.1088√解析：

因为lg

2290＝290lg

2≈290×0.301＝87.29，所以2290≈1087.29，

与2290最接近的是1087.12345678910111213145.

〔多选〕下列计算正确的是（

）C.log23×log34＝log67√√√1234567891011121314

12345678910111213146.

〔多选〕若10a＝4，10b＝25，则（

）A.

a＋b＝2B.

b－a＝1C.

ab＞lg22D.

b－a＞lg

6√√√

12345678910111213147.

若ex＝2

026，e－y＝1

013，则x＋y＝

⁠.

ln

212345678910111213148.

已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），若f（ln

2）·f（ln

4）＝8，则

a＝

⁠.解析：由f（ln

2）f（ln

4）＝8，可得aln

2·aln

4＝8，即aln

2＋ln

4＝aln

8＝8，

解得a＝e.e1234567891011121314

641234567891011121314

1234567891011121314

11.

已知2×3a＝5×7b＝1，则（

）A.

a＞b＞－1B.

b＞a＞－1C.

a＞－1＞bD.

b＞－1＞a√

123456789101112131412.

〔多选〕已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是

（

）B.

3x＞4y＞6zD.

xy＞2z2√√√1234567891011121314

123456789101112131413.

〔情境创新〕已知函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），定义

使f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做“企盼

数”，则区间[1，2

026]上的“企盼数”共有

个.

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