湖南省长沙市2025-2026学年高二数学下学期期中试卷含解析

2026年上学期期中考试试卷

高二数学

时量：120分钟分值：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合∣，∣或x2}，则AðB（）

AxZxx30B{xx1R

A.（0，2]B.2,3C.1,2D.1,2

【答案】D

【解析】

【详解】由xx30，解得0x3，所以A1,2，

ðð

又B{x∣x1或x2}，所以RB1,2，故ARB1,2．

2.下列命题是真命题的是（）

A.xR，x2x0；

B.xR，x2x；

C.xQ是xZ的充分不必要条件；

D.x3是x2的必要不充分条件．

【答案】B

【解析】

【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B，

利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可.

【详解】对于A，当x0，x2x0显然不成立，故A错误；

121

对于B，若取x，则x，满足x2x，故B正确；

24

11

对于C，对于xQ，如Q，但Z，即充分性不成立，故C错误；

44

对于D，由x3必能得到x2，而由x2不一定得到x3，如x2.5，

故x3是x2的充分不必要条件，即D错误.

故选：B.

3.已知随机变量XN1,2，且PX20.2，则P0X1（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【答案】B

【解析】

【详解】因为XN1,2，由正态分布的对称性可知，关于x1对称，

又因为PX20.2，所以PX00.2，

则P0X21PX2PX00.6

1

所以P0X1P0X20.3

2

4.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方

式，并制作出如等高条形图：

根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）

A.样本中多数男生喜欢手机支付

B.样本中的女生数量少于男生数量

C.样本中多数女生喜欢现金支付

D.样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量

【答案】C

【解析】

【分析】根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可.

【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；

对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；

对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；

对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.

故选：C.

a1

5.已知数列n是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（）

2n1an

3572

A.B.C.D.

711155

【答案】A

【解析】

a

【详解】n是首项为1，公差为2的等差数列，

2n1

a

n1n122n1，

2n1

an2n12n1，

11111

，

an2n12n122n12n1

1

数列的前3项和为：

an

111111111113

S31．

213235257277

6.若存在x2,1，使得不等式x2kx20成立，则实数k的取值范围为（）

A.22,B.,22C.3,D.3,

【答案】C

【解析】

x22

【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于x(2,1)，k成立，

x

2

令f(x)x，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.

x

【详解】存在x(2,1)，不等式x2kx20成立，

x22

则k，x(2,1)能成立，

x

x22

即对于x(2,1)，k成立，

x

x222

令f(x)x，x(2,1)，

xx

2x22

则f(x)1，令f(x)0x2，

x2x2

所以当x(2,2)，f(x)0，f(x)单调递增，

当x(2,1)，f(x)0，f(x)单调递减，

又f(2)f(1)3，所以，

所以k3.�(�)>−3

故选：C

7.已知P是抛物线x24y上任意一点，点P在x轴上的射影为点H，点A的坐标为12,6，则

PAPH的最小值是（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】B

【解析】

【分析】先利用抛物线定义，将“点到坐标轴的距离”转化为“点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴

的距离；再将原目标式转化为“动点到两个定点的距离和（差）”的形式，最后利用“两点之间线段最

短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可.

1

【详解】因为抛物线方程yx2的标准形式为x24y，

4

所以焦点F0,1，准线方程为l：y1，延长PH交准线于G，连接PF，如图：

根据抛物线的定义得，

当且仅当P，A，F�三�点+共线𝑃时=𝑃+𝑃−1=，𝑃+𝑃−1≥��−1

，𝑃+𝑃=��

22

∵��=12+6−1=13

PAPH的最小值为13112.

π

8.已知函数f(x)xcosxasin2x，若当x(0,)时，f(x)0，则a的最大值为（）

4

A.-1B.0C.1D.1

2

【答案】C

【解析】

【分析】等价变形给定不等式，构造函数并利用导数分类讨论此函数的单调性求出范围即可.

【详解】函数f(x)xcosxasin2x，由f(x)0，得xcosx2asinxcosx0，

ππ

由x(0,)，得cosx0，则当x(0,)时，x2asinx0，

44

π2

令函数g(x)x2asinx,x(0,)，求导得g(x)12acosx，而cosx1，

42

1π

当2a1，即a时，2acosx1，g(x)0，函数g(x)在(0,)上单调递增，

24

1

不等式g(x)0恒成立，即f(x)0恒成立，因此a；

2

1π

当a时，lingx12a0，函数g(x)在(0,)上的图象连续不断，

2x04

则存在x00，使得当0xx0时，g(x)0，函数g(x)在(0,x0)上单调递减，

当0xx0时，g(x)0，即f(x)0，不符合题意，

所以a的最大值为1.

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得

这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为yˆ0.65x1.8，若a，b，c成等差数列，则（）

x4681012

ya2bc6

A.变量x与y的样本相关系数r0B.b3

C.当x6时，残差为0.1D.当x=20时，y的预测值为11.3

【答案】ABC

【解析】

【分析】由经验回归方程为yˆ0.65x1.8即可判断A选项；根据数据先计算x,y，结合a，b，c成等

差数列，有ac2b，在根据经验回归方程一定经过样本中心x,y即可计算出b的值，即可判断B选

项，将x6代入经验回归直线方程中计算出yˆ的值，从而计算出此时的残差即可判断C选项，将x=20

代入经验回归直线方程中计算出预测值即可判断D选项.

【详解】由于经验回归方程为yˆ0.65x1.8是递增的一次函数，

所以两个变量是正相关，则样本相关系数r0，故A正确；

由表格中的数据可计算平均数：

4681012

x8，

5

a2bc68abc

y，

55

又因为a，b，c成等差数列，

83b

所以ac2b，则y，

5

根据经验回归方程为yˆ0.65x1.8必过点x,y，

83b

则0.6581.8，解得b3，故B正确；

5

当x6时，yˆ0.6561.82.1，

所以残差为22.10.1，故C正确；

当x=20时，yˆ0.65201.811.2，

所以y的预测值为11.2，故D错误，

故选：ABC.

n

2

10.已知在x的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有

x

（）

A.n8B.第4项的二项式系数最大

C.x2的系数为60D.展开式各项系数之和为64

【答案】BC

【解析】

【分析】根据二项式系数的性质可求解n246，进而根据选项即可逐一求解.

【详解】由题意得24，所以，故A错误；

CnCnn246

因为时，二项式系数最大的是3，所以第4项的二项式系数最大，故B正确；

n6C6

6

2

x的展开式的通项公式为C，

�

x�6−�2��6−2�

��+1=C6��=26�0≤�≤6,�∈N

令，得，所以2的系数为22，故C正确；

62r2r2x2C660

展开式各项系数之和为，故D错误.

66

11.下列说法正确的有（1+2）=3=729

A.4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种

B.4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种

C.盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直

7

到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是

30

D.把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记X为装有球的盒子的个数，则X的期望值为

65

EX

27

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据列举法或者排列组合即可求解AB，由全概率公式即可求解C，列出分布列或者利用分布列的性

质即可求解D.

【详解】对于A,选一个盒子装2个小球，剩余两个盒子各装一个小球，故共有3种方法，A选项正确；

对于B,由于小球和盒子都不一样，故选一个盒子装两个小球，剩余两个盒子各装一个小球，共有

212种方法，故B选项不正确；

C4C3A236

C选项，法一：相当于把5个球排序，共有22种方法.黄球最先被全部取出，最后一个黄球最晚在

C5C330

第三次被取出，前两次都是黄球共有3种情况，前两次中有一个红球一个黄球，第三次是黄球共有4种情

7

况，故总共有7种，所以概率为.

30

法二：记“最后一次取出球是红球”为事件B，“最后一次取出球是黑球”为事件C，

显然事件B，C互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件D，则.

当事件B发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑�球�，=���+���

则.

212

当事�件��C=发�生�时，�只�∣需�考=虑5取×出3=所1有5黄球和红球时最后取出的是红球，

则.所以.

121217

D选�项��，法=一�：�X�的�∣可�能=取5×值4为=11，02，3，�4�个=球�随�机�放+入�3�个�盒=子1共5+有1081=种30方法，

223

，C3，C4×A3，

4

31⋅2−2144

��=1=81=27�14�=24=6581=27��=3=81=9

EX123

2727927

法二：定义Xi1时，表示第i个盒子中有球，Xi0时，表示第i个盒子中没有球，

其中i1,2,3，则XX1X2X3，

又，，故，

14166565

��

���=0=1−3=81��=1=81��=81

所以

65

123

三、填�空�题=：�本�题共+�3小�题+，�每�小题=52分7，共15分.

11

12.已知a0，b0，1，则ab的最小值是________.

ab

【答案】4

【解析】

【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解.

11baba

【详解】所以abab2224，

ababab

当且仅当ab2时取等号.

则ab的最小值是4.

13.若命题“xR,x2xm0”为假命题，则实数m的取值范围是__________．

1

【答案】,

4

【解析】

【分析】由命题“xR,x2xm0”为假命题，可得“xR,x2xm0”为真命题利用判别

式可求得答案.

【详解】已知命题“xR,x2xm0”为假命题，

则该命题的否定：“xR,x2xm0”为真命题.

此时二次函数的判别式满足Δ0.

即Δ1241m0，

1

化简可得：m

4

1

综上，实数m的取值范围是,.

4

1

故答案为：,

4

22

14.已知双曲线xy的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线

C:1a0,b0F1F2F1

a2b2

的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率

AF13F1B

e为______.

1

【答案】6##6

22

【解析】

【分析】设F1OB，利用算两次思想计算tan2即可.

【详解】如图，由题意可知BF=b，则AF3b，2222，

11OBOF1F1Bcba

b2tanAB4b

设FOB，则tan，于是tanAOBtan2，

1a1tan2OBa

2b

4b222

ab1ca6

即2，则，解得离心率e.

aba2a22

1

a

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.若函数fxaxlnx．

（1）当a2时，求函数fx在点1,f1处的切线方程；

1

（2）已知a（e为自然对数函数的底数），若fx在区间0,e上的最小值为3，求实数a的值．

e

【答案】（1）yx1

（2）ae2

【解析】

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出f1，进而求出切线方程；

（2）求导，利用导数分析函数的单调性及极值，进而求出a．

【小问1详解】

1

ln，其中x0，则fx2，

x

∵��=2�−�

由导数的几何意义可得f11，

又f12，

fx在点1,f1处的切线方程为yx1．

【小问2详解】

1ax1

ln，其中x0，则fxa，

xx

∵��=��−�

11

a，则0e，

ea

11

由fx0可得0x，由fx0可得x，

aa

11

函数fx在0,上单调递减，在,e上单调递增，

aa

2

minlnln，解得ae，符合题意．

11

∴��=��=1−�=1+�=3

综上，ae2．

1

16.如图所示，已知多面体ABCDEP中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，DEAP.

2

（1）证明：CE//平面PAB；

（2）设ABAP2，求平面BPC与平面PCE的夹角.

【答案】（1）证明见解析

π

（2）

6

【解析】

【分析】（1）利用面面平行推导线面平行

（2）采用空间向量法求解两平面的夹角：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再通过向量夹角

公式计算平面夹角

【小问1详解】

1

∵DEAP且DE与AP无公共点

2

∴DE//AP

∵AP平面PAB，DE平面PAB

∴DE//平面PAB.

∵四边形ABCD是正方形

∴CD∥AB

∵AB平面PAB，CD平面PAB

∴CD//平面PAB，

∵CDDED，CD，DE平面CDE

∴平面CDE//平面PAB，

又CE平面CDE

∴CE//平面PAB.

【小问2详解】

因为PA平面ABCD，AB，AD平面ABCD，

所以PAAB，PAAD，因为ABAD，所以AB，AD，AP两两垂直，

所以以点A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所

示.

则B2,0,0，C2,2,0，P0,0,2，E0,2,1，所以BC0,2,0，CP2,2,2，

CE2,0,1，

设平面BPC的一个法向量为mx,y,z，

则，取x1,得y0,z1，故可取m1,0,1；

��⋅�=2�=0

设平�面�⋅P�C=E−的2一�−个2法�向+量2�为=n0a,b,c，

则，取b1,得a1,c2，故可取n1,1,2.

��⋅�=−2�+�=0

则c�o�s⋅�=−2�−2�+2�=0，

�⋅�33

�,�=�⋅�=2×6=2

π

所以平面BPC与平面PCE的夹角为.

6

17.随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.

（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方

式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还

是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：

选择新能源汽车选择传统汽车总计

40岁以下7030100

40岁及以上4060100

总计11090200

（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为P，求P的估计值；

（ii）依据小概率值0.001的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.

（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽

车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程y4.7x9495.2，且销售量y的方差为

2，年份的方差为2.求y与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量y

sy50xsx2xr

与年份x的线性相关性强弱.

n

xixyiy

附：（i）在线性回归方程中，bi1，；

ybxan2aybx

xix

i1

n

xixyiy

（ii）样本相关系数ri1，若r0.9，则可判断y与x线性相关性很强；

n2n2

xixyiy

i1i1

2

nadbc

（iii）2，其中nabcd.

abcdacbd

0.10.050.010.001

x2.7063.8416.63510.828

7

【答案】（1）（i）P（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系

11

（2）0.94，y与x线性相关性很强

【解析】

【分析】（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算2根据临界值表判断即可；

（2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断.

【小问1详解】

707

（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为，

11011

7

由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率P.

11

（ii）零假设为H0：选择新能源汽车与年龄无关，

2

20070603040200

由列联表中数据代入计算得：218.18210.828，

1001001109011

所以依据小概率值0.001的独立性检验，推断H0不成立，

即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过0.001.

【小问2详解】

n

n

xxyy

iixixyiy

i1i1

因为r，bn，

n2n22

xix

xixyiy

i1

i1i1

n2

xix2

nss4.72

所以rbi1bxbx0.940.9，

n22s

nsyy50

yiy

i1

故y与x线性相关性很强.

18.雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答

21

错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.

33

（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；

（2）设小王答4道题后积分为X，求EX；

（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为ii0,1,2,,12时，最终积分为

12的概率为Pi，请直接写出P0和P12的值，并求出P6的值.

7

【答案】（1）

27

22

（2）

3

64

（3）P0，P1，P

012665

【解析】

【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得

到答案；

（2）设小王答对的题数为Y，得到关系式X2Y2，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到

答案；

（3）首先需对边界条件进行直接判断，即P00和P121，再求出Pi的递推公式，分析可知数列

1

PPi0,1,2,,11为等比数列，求得PPP，再利用累加法和等比数列求和即可得到答

i1ii1i2i1

案.

【小问1详解】

小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题.

32

3题都答错的概率为11；答对1题，答错2题的概率为：1212.

C3

327339

127

所以小王答3道题后积分小于6的概率为：

27927

【小问2详解】

法一：设小王答对的题数为Y，则他答错的题数为4Y，所以X6Y4Y2Y2.

228

由题意知YB4,，所以EY4，所以

333

822

EXE2Y22EY222.

33

法二：X的可能取值为2，4，6，8，10.

43

则：11；1218；

PX2PX4C4

3813381

22

221248；

PX6C4

338127

34

32132；216

PX8C4PX10

3381381

1824321622

所以，EX246810.

81818181813

【小问3详解】

当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故P00；

当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故P121.

（i）当小王的积分为ii1,2,,11时，

若小王接下来一题答对，则积分变为i+1，若小王接下来一题答错，则积分变为i1.

21311

由全概率公式有PPP，即PPP，整理可得PPPP.

i3i13i1i12i2i1i1i2ii1

又P1P0P10，所以Pi1Pii0,1,2,,11为等比数列.

1

（ii）由（i）可得PPP，

i1i2i1

111

所以P12P12P11P11P10P2P1P1P11

2112102

1

P1112

21221

P，

1111

12

2

211

又P121，所以P.

12121

所以P6P6P5P5P4P2P1P1

1

P1

16116126

11122212264.

P11

54112512

22212122165

2

22

xy1

19.已知椭圆C:1ab0的右顶点为D2,0，离心率为，过C的左焦点F的直线与C

a2b22

交于异于点D的A，B两点.

（1）求椭圆C的方程.

（2）记直线AB的斜率为k，直线AD与直线BD的斜率分别为k1,k2，

（i）若k1k22，求k；

42

（ii）若tanADB，求△ABD的面积.

3

x2y2

【答案】（1）1

43

1

（2）（i）k；（ii）182

27

【解析】

【分析】（1）根据条件可求a,b，得到椭圆方程.

（2）设直线AB的方程为ykx1，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得x1x2，x1x2.

（i）化简k1k2，结合k1k22，可求k.

（ii）化简，结合42，表示出，再利用22，求的

k1k2tanADBk1k2k1k2k1k24k1k2k