梁弯曲时的位移051

在工程中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。§5-1

梁的位移─挠度及转角

摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。

但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。挠度w：横截面形心处的铅垂位移。转角

：横截面绕中性轴转过的角度。xy挠曲线挠曲线(deflectioncurve):变形后的轴线。(弹性曲线)

规定：向下的挠度为正顺时针的转角为正工程实例控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移工程中测量挠度的方法、仪器精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、光电方法等1、挠曲线方程(deflectionequation)梁纯弯曲时中性层的曲率：

曲线

w=f(x)的曲率为§5-2

挠曲线近似微分方程考虑上式中的正负号问题。——

梁的挠曲线近似微分方程M<0w``>0MMOyxM>0w``<0MMOyx式中C,

D

由梁支座处的已知位移条件即位移边界条件确定。2、积分法求弯曲变形弯矩方程分n段时，积分常数个数为2n个由边界条件确定的方程需要2n个方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大AFB边界条件：wA=0θA=0wA=0wB=0边界条件：AF光滑连续条件：PC例1:一悬臂梁在自由端受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为EI。解：x边界条件:积分：FABlxywmaxθmax例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。xylABqwmax解:10x边界条件得:θAθB例3：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程及wmax

。xyABFlxabCD解:2°分段求弯矩方程及w′、w。AD段：1°DB段：xwA=0;边界条件：wB=0连续条件：x=a，

w1′=w2′

w1=w2

xAD段：DB段：xyABFlxabCD受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。xyABFlxabCD例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：由对称性，只考虑半跨梁ACD由连续条件：由边界条件：由对称条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求A端的挠度解：ABP2IICAC段xCB段由边界条件：由连续条件：得：AC段挠度方程为：令得

（）

在材料服从虎克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。梁在多个载荷作用下的变形（挠度和转角）等于各个载荷单独作用所产生的变形的总和。§5-3

用叠加法计算梁的变形例6：用叠加法求qPmABCl/2l/2解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加

（）（）（）mABCqPl/2l/2ABCql/2l/2ABCPl/2l/2ABCml/2l/2解:mqABCl/2l/2例7：简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中点挠度和左端截面的转角。设梁抗弯刚度为EI。qABCl/2l/2mABCl/2l/2逐段刚化法：变形后：AB

AB`

BC

B`C`C点的位移为：wc变形后AB部分为曲线，但BC部分仍为直线。解：CxqABF=qaaaay（a）wCFABFC（b）θBFθCF例8：已知F、q、EI。求θc和Wc。ABqaC（e）qa2/2CqAB（c）CqB（d）例9：求外伸梁C点的位移。laCABP解：将梁各部分分别引起的位移叠加ABCP刚化EI=

PCfc11、BC部分引起的位移fc1、θc1θc12、AB部分引起的位移fc2、θc2CABP刚化EI=

fc2θB2PPaθB2例10：欲使AD梁C点挠度为零，求P

与q的关系。qPACBDaaa解：qPACBDɑ

ɑ

ɑqACBDɑ

ɑ

ɑPACBDɑ

ɑ

ɑPPɑACBDɑ

ɑ

ɑ例11：若图示梁B端的转角θB=0，

则力偶矩m

等于多少？

PmACBaa解：PmACBɑ

ɑ

PACBɑ

ɑ

mACBɑ

ɑ

例12：求图示梁B、D两处的挠度fB、fD2a

a

aq2qaACBD解：qa:B处约束力qABqɑ2qɑCBD2ɑɑɑq2qɑACBD例13：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度fB

、fC

。PEI2EIaaABC解：EIC2EIABɑɑPCEIBPEIP2EIABPPɑ例14：求图示梁C、D两处的挠度。ABCDaa2aqq解：ABCDaa2aqqABCDaa2aqq例15：求图示梁C处的挠度，B处的转角。ABCa/2qa/2解：a/2a/2ABCqABq/2ABq/2q/2例16：用叠加法求图示梁跨中的挠度fC和B点的转角θB（k为弹簧系数）。

qABCEIkl

/2l/2解：弹簧缩短量kqEIl/2l

/2ABCqkABCq/2ABCq/2q/2ABC例17：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度

求C端挠度fC。

qEIka2aABC解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为(3)C点总挠度为qka2aABCqka2aABCqka2aABCEI例18：图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力P作用。已知该杆各段的横截面面积均为A，抗弯刚度均为EI。试按叠加原理求截面C的水平位移和铅垂位移。ACBPaa解：ABaPM=PaBCPaABaPM=Pa()()()BCPa()水平位移：()铅垂位移：()例19：由梁和刚架组成的结构，试求梁AB中点E的挠度。lABl/2EFlEIEAEIEICDl/2解：E点的挠度与下列各部分的变形有关：1.AB梁自身的变形；2.刚架横梁BC的变形；3.

立柱CD的压缩变形和弯曲变形；为求上述三种变形对E处挠度的贡献，采用逐段刚化法。第一，将AB在B处的支承刚化为铰支座，FABE查表得E点的挠度为：第二，将梁AB和立柱刚化为刚体，计算横梁BC对E点处挠度的贡献，F/2CBwB1第三，将梁AB和横梁BC刚化为刚体，计算立柱CD变形对E点处挠度的贡献，（立柱压缩引起B处的挠度）（立柱顶端C处转角

C引起的B处的挠度）F/2DwB2wB3CFl/2于是有：由叠加法得E处的总挠度为：AlBq§5-4

静不定梁的解法

用“多余”反力代替“多余”约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。

基本静定系可不止一个l

qABqABRBqBAMA例20：求图示静不定梁的支反力。

qABl

解法一：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：ABql

ABqRB

解法二：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：ABql

qBAMA例21：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，

用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求

(1)二梁接触处的压力；

(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值；

(3)加固前后B点挠度的比值。PABCDaa解：(1)变形协调条件为：(2)(3)自行完成！PBACDRDD如何得到？例22：梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。

qABCaa解：变形协调条件为：其余自行完成！！！qABBCRB例23：图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA。求CD杆所受的拉力。PABCDa解：变形协调条件为：DaCPABC其中wmax——梁的最大挠度，

θmax——一般是支座处的截面转角。

[w]、[θ]——规定的容许挠度和转角。梁的刚度计算包括：①校核刚度②截面设计③求容许荷载梁的刚度条件为：θmax≤[θ]wmax≤[w],§5-5

梁的刚度校核一、刚度条件例24：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[w]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。PABl/2l/2zI20a解：由刚度条件

例25

：一简支梁受力如图。已知F1=120KN，F2=30KN，F3=40KN,，F4=12KN。梁横截面由两个槽钢组成。[σ]=170MPa，[τ]=100MPa，[w]=l/400，E=2.1×105MPa。试由强度条件和刚度条件选择槽钢型号。

解：1°求支座反力2°画剪力图和弯矩s（kN）（b）M（kNm）55.262.45438.4（c）2.40F10.4ABF2F3F40.40.70.30.6FAyFBy（a）tzdbh/2h/2（d）3°由正应力强度条件选择槽钢型号查表，选两个20a号槽钢Wz=178×2=356cm3∴满足正应力强度条件。4°校核切应力强度20a号槽钢：Iz=1780.4cm4，h=200mm，b=73mm，d=7mm，t=11mm。=57.4MPa＜[τ]满足切应力强度条件要求5°校核刚度∵[w]=2.4/400=6×10-3m=6mm

∴选20a号槽钢也能满足刚度要求。例26：某船厂用45a号工字钢制成吊车大梁，材料的许用应力，弹性模量E=200GPa，跨度L=10m，荷载P=50kN，梁的挠度许用值。考虑自重，试校核梁的强度和刚度。PCBA解：考虑自重，相当于梁上加一均布荷载q查表qPCBA＜梁跨中点C挠度最大()＜梁满足强度和刚度要求q二、

提高弯曲刚度的措施

影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。