随机积分试题及其标准答案展示

随机积分精选试题及其标准答案展示考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在题后的括号内。）1.设Ω是样本空间，F是Ω上的σ-代数，(Bt)t≥0是定义在(Ω,F)上的一个随机过程。若对任意的t≥0，Bt是F上的可测函数，且对任意n个时间点0≤t1<t2<...<tn，随机向量(Bt1,Bt2,...,Btn)是F上的可测向量，则称(Bt)t≥0为（）。A.一个随机变量序列B.一个适应过程C.一个鞅D.一个马尔可夫过程2.设Wt是标准布朗运动，f(t)是连续函数。下列关于Itô积分∫0tf(s)dWs的说法中，正确的是（）。A.其定义不依赖于f(t)的连续性B.∫0tf(s)dWs是一个关于Wt的线性组合C.若f(t)≥0，则∫0tf(s)dWs≥0D.∫0tf(s)dWs是一个以Wt为驱动随机变量的条件期望3.对于Itô积分，下列公式中正确的是（）。A.∫0td(Ws^2)=∫0t2WsdWs+tB.∫0tf(s)d(Ws^2)=f(t)Wt-∫0tf'(s)WsdsC.∫0td(Ws^2)=2∫0tWsdWsD.若Xs是适应过程，则E[∫0tf(s)dWs|Fs]=∫0tf(s)dWs4.设Xt=Wt+t，其中Wt是标准布朗运动。则Xt的漂移系数和扩散系数分别是（）。A.b(t)=t,σ(t)=1B.b(t)=1,σ(t)=1C.b(t)=0,σ(t)=tD.b(t)=1,σ(t)=05.Itô公式∆Xt=b(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dWs+α(t,Xt)dWt(其中Wt是标准布朗运动)适用于（）。A.任意适应过程XtB.任意随机过程XtC.仅当Xt是局部鞅时D.仅当α(t,Xt)=0时二、填空题（每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.若随机过程(Bt)t≥0满足：对任意t≥0,Bt是Ft（t时刻的信息）可测的，则称(Bt)t≥0是______过程。7.设Wt是标准布朗运动，若随机过程Xt满足E[Xt|Fs]=Xt-s,∀t>s,Fs,则称Xt是______。8.Itô积分∫0tf(s)g(s)dWs的计算常利用______公式。9.若随机过程Xt满足dXt=α(t)dt+β(t)dWs,其中Wt是标准布朗运动，且E[X0]=1,E[Xt^2|Fs]=Xs^2+(s-t)β(t)^2,Fs⊂Ft,则α(t)=______,β(t)=______。10.对于标准布朗运动Wt，∫0tWsdWs的方差是______。三、计算题（每小题8分，共24分。）11.计算Itô积分∫0sqrt(t)sin(Ws)dWs，其中Wt是标准布朗运动。12.利用Itô公式计算随机过程Xt=e^(Wt-t^2/2)的微分形式dXt，其中Wt是标准布朗运动。13.设随机过程Yt=Wt^2-t，其中Wt是标准布朗运动。证明Yt是一个鞅过程。四、证明题（每小题10分，共20分。）14.证明：若Xt是适应过程，且E[Xt^2|Fs]≤C(Xs^2+s),∀s≤t,Fs,则存在适应过程Zt，使得dZt=XtdWs且E[|Zt|^p]<∞对某个p>0成立。（提示：考虑Itô引理和停止定理）15.证明Itô积分的线性性质：设(Bt)和(Ct)是定义在(Ω,F,(Ft))上的两个适应过程，且a,b是常数，则a∫0tBtdWs+b∫0tCtdWs也是适应过程，并且有∫0t[aBt+bCt]dWs=a∫0tBtdWs+b∫0tCtdWs。试卷答案一、选择题1.B2.C3.A4.B5.D二、填空题6.停泊(或适应)7.F鞅(或停泊鞅)8.Itô(或Itô-Levy)9.0,β(t)10.t^2/2三、计算题11.解：令f(s)=sin(Ws)。由于f(s)是关于Ws的奇函数，且Ws是对称的，故E[sin(Ws)dWs]=0。由Itô积分的性质，∫0sqrt(t)sin(Ws)dWs的导数为sin(Wsqrt(t))*(1/(2sqrt(t)))*dWs-(1/2)*sin(Ws)*ds。积分此导数从0到t，并注意到∫0sqrt(t)dWs=Wsqrt(t)且E[Wsqrt(t)]=0，E[∫0sqrt(t)sin(Ws)dWs]=0。最终结果为-cos(Wsqrt(t))/2+cos(0)/2=(1-cos(sqrt(t)))/2。或者直接使用标准积分公式∫0^asin(sqrt(t))dt=-2*(sqrt(a)-1)。答案：∫0sqrt(t)sin(Ws)dWs=(1-cos(sqrt(t)))/2。12.解：利用Itô公式，令X=e^(W-t^2/2)。则dX=d(e^(W-t^2/2))=e^(W-t^2/2)d(W-t^2/2)=e^(W-t^2/2)(dW-tdt)=e^(W-t^2/2)dW-te^(W-t^2/2)dt。再利用Itô公式，d(W-t^2/2)=dW-2tdt。将其代入上式，dX=e^(W-t^2/2)dW-te^(W-t^2/2)dt=e^(W-t^2/2)dW-td(e^(W-t^2/2))=e^(W-t^2/2)dW-tdX。整理得(1+t)dX=e^(W-t^2/2)dW，即dX=(e^(W-t^2/2)/(1+t))dW-(t/(1+t))dX。最终得到dX=e^(W-t^2/2)/(1+t)dW-t/(1+t)dX。答案：dXt=e^(Wt-t^2/2)/(1+t)dWt-t/(1+t)dXt。13.解：证明Yt是Ft-停泊鞅。首先，Yt=Wt^2-t。计算dYt=d(Wt^2)-dt。利用Itô公式d(Wt^2)=2WtdWt+(dWt)^2=2WtdWt+1。因此，dYt=2WtdWt+1-dt=2WtdWt-dt。然后计算E[dYt|Fs]。由于Ws是Fs-停泊的，E[WtdWt|Fs]=E[WtdWt]=0（因为dWt是纯随机增量），且E[dt|Fs]=dt。所以，E[dYt|Fs]=E[2WtdWt-dt|Fs]=2E[WtdWt|Fs]-E[dt|Fs]=0-dt=-dt。根据停泊鞅的定义，若E[dYt|Fs]=0，则Yt是Fs-停泊鞅。这里E[dYt|Fs]=-dt≠0，但我们需要证明的是Yt是F鞅，即E[Yt|Fs]=Ys。注意到E[Yt|Fs]=E[Wt^2-t|Fs]=E[Wt^2|Fs]-E[t|Fs]=Ws^2-s（因为Ws^2是Fs-可测的，t是常数）。而Ys=Ws^2-s。因此，E[Yt|Fs]=Ys，证明Yt是F鞅。答案：见解析。四、证明题14.证明：令Zt=∫0tXsdWs。首先证明Zt是适应的。由于Xs是适应的，且dWs是Ft-适应的，故Zt是Ft-适应的。接下来计算E[Zt^2|Fs]。利用Itô公式dZt=XtdWs，则E[dZt^2|Fs]=E[2ZtdZt|Fs]=2E[ZtXtdWs|Fs]。由于Fs⊂Ft，dWs在Fs下不可测，所以E[XtdWs|Fs]=0。因此，E[dZt^2|Fs]=0。由Itô引理，E[Zt^2]=E[Z0^2]+∫0tE[dZt^2|Fs]df=0+0=0。这与题目条件矛盾。因此，需要引入停止时间。令T=inf{t≥0:|Xt|>C},T=∞保留。则E[T]<∞。定义Yt=Zt如果0≤t<T，否则Yt=0。则Yt是适应的。计算E[Yt^2|Fs]，t<T时E[Yt^2|Fs]=E[Zt^2|Fs]=E[Zs^2]+∫sTE[dZu^2|Fs]du=E[Zs^2]+∫sT0du=E[Zs^2]=E[∫sTXudWs|Fs]=0。t≥T时Yt=0。所以E[Yt^2|Fs]=0。由Itô引理，E[Yt^2]=E[Y0^2]+∫0tE[dYu^2|Fs]df=0+0=0。由于Yt=Zt当t<T且E[Yt^2]<∞，故存在适应过程Zt使得dZt=XtdWs且E[|Zt|^p]<∞对某个p>0成立（例如p=2时已证明E[Zt^2]<∞）。答案：见解析。15.证明：证明线性性质需要分两部分：1)证明a∫0tBtdWs+b∫0tCtdWs是适应过程。由于Bt和Ct是适应过程，dWs是Ft-适应的。根据适应过程的乘积定义，(Bt*dWs)和(Ct*dWs)都是F(t)-适应的。由适应过程的可加性，(aBt*dWs)和(bCt*dWs)也是F(t)-适应的。再由适应过程的可加性，(aBt*dWs+bCt*dWs)是F(t)-适应的。两边积分，∫0t(aBt+bCt)dWs=a∫0tBtdWs+b∫0tCtdWs是F(t)-适应的。2)证明积分的线性关系。利用Itô积分的定义（通过停泊引理或直接从定义出发）。对于任意适应过程Xt，根据Itô引理（或停泊引理的应用），∫0tXtdWs可以表示为E[X0]+∫0tE[dXt|Fs]df。若E[dXt|Fs]=aBt+bCt，则E[∫0tXtdWs]=E[X0]+∫0tE[aBt+bCt]df=E[X0]+a∫0tE[Bt]df+b∫0tE[Ct]df。如果X0=0且B