湖南大学高数2教材答案

湖南大学高数2教材答案湖南大学高等数学2试题。一、选择题（每题5分，共25分）。1.向量→a=(1,-2,3)与向量→b=(2,k,6)平行，则k的值为（）。A.-4B.4C.-1D.1.2.二次曲面x^2+y^2-z^2=1是（）。A.椭球面B.双叶双曲面C.单叶双曲面D.圆锥面。3.函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微的充分条件是（）。A.f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。B.f_x(x,y)与f_y(x,y)在点(x_0,y_0)处存在。C.limlimits_ρto0(Δzf_x(x_0,y_0)Δxf_y(x_0,y_0)Δy)/(ρ)=0（其中ρ=√((Δx)^2+(Δy)^2)）.D.f_x(x,y)与f_y(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。4.设D是由x=0，y=0，x+y=1所围成的闭区域，则∬_Dxydσ的值为（）。A.(1)/(24)B.(1)/(12)C.(1)/(6)D.(1)/(8)5.下列级数中，收敛的是（）。A.∑_n=1^∞(1)/(√(n))B.∑_n=1^∞(n)/(n+1)C.∑_n=1^∞frac{(-1)^n1}{n}D.∑_n=1^∞nsin(1)/(n)二、填空题（每题5分，共25分）。1.已知向量→a=(2,1,-1)，→b=(1,-1,2)，则→a·→b=__________。2.曲线x=t，y=t^2，z=t^3在点(1,1,1)处的切线方程为__________。3.函数z=x^2y+3x在点(1,2)处的全微分dz=__________。4.交换二次积分∫_0^1∫_x^1f(x,y)dydx的积分次序后为__________。5.幂级数∑_n=0^∞frac{x^n}{n!}的收敛半径R=__________。三、解答题（每题10分，共50分）。1.求过点(1,2,3)且与平面2x3y+z=4垂直的直线方程。2.设z=f(x^2y^2,xy)，其中f具有连续偏导数，求(∂z)/(∂x)和(∂z)/(∂y)。3.计算二重积分∬_D(x+y)dσ，其中D是由y=x，y=x^2所围成的闭区域。4.求函数f(x,y)=x^2+y^2-xyxy的极值。5.将函数f(x)=(1)/(x)展开成(x3)的幂级数，并指出收敛区间。答案及解析。一、选择题。1.答案：A。解析：两向量平行，则对应坐标成比例。因为→a与→b平行，所以(1)/(2)=(-2)/(k)=(3)/(6)，由(-2)/(k)=(1)/(2)可得k=-4。2.答案：C。解析：二次曲面x^2+y^2-z^2=1符合单叶双曲面的标准方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}-frac{z^2}{c^2}=1（这里a=b=1，c=1）的形式，所以是单叶双曲面。3.答案：D。解析：函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微的充分条件是f_x(x,y)与f_y(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。选项A连续是可微的必要条件；选项B偏导数存在只是可微的必要条件；选项C是可微的定义，不是充分条件。4.答案：A。解析：积分区域D为0≤x≤1，0≤y≤1x，则∬_Dxydσ=∫_0^1dx∫_0^1xxydy=∫_0^1x[frac{y^2}{2}]_0^1xdx=(1)/(2)∫_0^1x(1x)^2dx=(1)/(24)。5.答案：C。解析：选项A，∑_n=1^∞(1)/(√(n))是p级数，p=(1)/(2)<1，发散；选项B，limlimits_nto∞(n)/(n+1)=1≠0，由级数收敛的必要条件可知该级数发散；选项C，∑_n=1^∞frac{(-1)^n1}{n}是交错级数，满足莱布尼茨定理，收敛；选项D，limlimits_nto∞nsin(1)/(n)=limlimits_nto∞(sinfrac{1)/(n)}{(1)/(n)}=1≠0，级数发散。二、填空题。1.答案：-1。解析：→a·→b=2×1+1×(-1)+(-1)×2=212=-1。2.答案：(x1)/(1)=(y1)/(2)=(z1)/(3)解析：首先求曲线在该点的切向量，x^′=1，y^′=2t，z^′=3t^2，当t=1时，切向量→T=(1,2,3)，所以切线方程为(x1)/(1)=(y1)/(2)=(z1)/(3)。3.答案：7dx+dy解析：先求偏导数，z_x=2xy+3，z_y=x^2，在点(1,2)处，z_x(1,2)=2×1×2+3=7，z_y(1,2)=1^2=1，所以dz=z_x(1,2)dx+z_y(1,2)dy=7dx+dy。4.答案：∫_0^1∫_0^yf(x,y)dxdy解析：根据原积分的积分限确定积分区域，再交换积分次序。原积分区域为0≤x≤1，x≤y≤1，交换后为0≤y≤1，0≤x≤y，所以积分次序交换后为∫_0^1∫_0^yf(x,y)dxdy。5.答案：+∞解析：对于幂级数∑_n=0^∞a_nx^n，收敛半径R=limlimits_nto∞|(a_n)/(a_n+1)|，这里a_n=(1)/(n!)，a_n+1=(1)/((n+1)!)，则R=limlimits_nto∞|(frac{1)/(n!)}{(1)/((n+1)!)}|=limlimits_nto∞(n+1)=+∞。三、解答题。1.解：已知平面2x3y+z=4的法向量→n=(2,-3,1)，因为所求直线与该平面垂直，所以直线的方向向量→s与平面的法向量→n平行，即→s=(2,-3,1)。又直线过点(1,2,3)，根据直线的点向式方程可得直线方程为(x1)/(2)=(y2)/(-3)=(z3)/(1)。2.解：令u=x^2y^2，v=xy。则z=f(u,v)。根据复合函数求导法则，(∂z)/(∂x)=(∂f)/(∂u)(∂u)/(∂x)+(∂f)/(∂v)(∂v)/(∂x)。因为(∂u)/(∂x)=2x，(∂v)/(∂x)=y，所以(∂z)/(∂x)=2xf_1^′+yf_2^′。同理，(∂z)/(∂y)=(∂f)/(∂u)(∂u)/(∂y)+(∂f)/(∂v)(∂v)/(∂y)，(∂u)/(∂y)=-2y，(∂v)/(∂y)=x，所以(∂z)/(∂y)=-2yf_1^′+xf_2^′。3.解：先求两曲线y=x与y=x^2的交点，联立方程y=xy=x^2，解得x=0y=0和x=1y=1。积分区域D为0≤x≤1，x^2≤y≤x。则∬_D(x+y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x+y)dy=∫_0^1[xy+frac{y^2}{2}]_x^2^xdx=∫_0^1(x·x+frac{x^2}{2}-x·x^2-frac{(x^2)^2}{2})dx=∫_0^1(x^2+frac{x^2}{2}-x^3-frac{x^4}{2})dx=∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-frac{x^4}{2})dx=[(3)/(2)×frac{x^3}{3}-frac{x^4}{4}-frac{x^5}{10}]_0^1=(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(3)/(20)。4.解：先求函数的一阶偏导数，f_x=2xy1，f_y=2yx1。令f_x=0f_y=0，即2xy1=02yx1=0，解方程组得x=1y=1，所以驻点为(1,1)。再求二阶偏导数，f_xx=2，f_xy=-1，f_yy=2。在驻点(1,1)处，A=f_xx(1,1)=2，B=f_xy(1,1)=1，C=f_yy(1,1)=2。因为ACB^2=2×2(-1)^2=3>0且A=2>0，所以函数在点(1,1)处取得极小值，极小值为f(1,1)=1^2+1^2-1×111=-1。5.解：已知f(x)=(1)/(x)=(1)/(3+(x3))=(1)/(3)·(1)/(1