2026年陕西省人教版高三数学第4章数列综合练习题

2026年陕西省人教版高三数学第4章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的前10项和S_10等于（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得3+4d=9，解得d=3/2。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，得S_10=10/2[2×3+(10-1)×3/2]=180。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则b_6的值等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。则b_n+1=2^n，b_6=2^6-1=63。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则c_4的值等于（）A.8B.16C.32D.64解析：当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。验证n=1时，c_1=S_1=1，符合通项公式。故c_4=2^3=8。4.在等比数列{a_n}中，已知a_2=6，a_4=54，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2×3^{n-1}B.3×2^{n-1}C.2×3^{n}D.3×2^{n}解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_2=6，a_4=54，得a_1q=6，a_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3（q=-3时a_1无意义）。代入a_1q=6得a_1=2，故a_n=2×3^{n-1}。5.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则d_5的值等于（）A.25B.30C.35D.40解析：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1。验证n=1时，d_1=T_1=2，符合通项公式。故d_5=2×5-1=9。6.若数列{e_n}的前n项和S_n=3^n-1，则e_3的值等于（）A.18B.27C.54D.81解析：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时，e_1=S_1=2，符合通项公式。故e_3=2×3^2=18。7.在等差数列{f_n}中，已知f_1+f_3+f_5=27，f_2+f_4+f_6=39，则该数列的前9项和S_9等于（）A.81B.108C.135D.162解析：由等差数列性质f_1+f_5=2f_3，f_2+f_6=2f_4，得3f_3=27，3f_4=39，解得f_3=9，f_4=13。公差d=f_4-f_3=4，前9项和S_9=9/2[2f_1+(9-1)d]=9/2[2×(9-4)+32]=162。8.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=2g_n+1（n∈N），则g_10的值等于（）A.2^9+1B.2^10-1C.2^10+1D.2^9-1解析：由递推关系g_n+1=2g_n+1，变形为g_n+1+1=2(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列。则g_n+1=3×2^{n-1}，g_10=3×2^9-1=1536-1=1535。9.在等比数列{h_n}中，已知h_1=1，h_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_1=1，h_3=8，得q^2=8，解得q=2√2（q=-2√2时无意义）。前n项和公式S_n=h_1(1-q^n)/(1-q)，代入n=6，得S_6=1×(1-(2√2)^6)/(1-2√2)=63。10.已知数列{i_n}的前n项和T_n=2^n-1，则i_5的值等于（）A.16B.32C.64D.128解析：当n≥2时，i_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时，i_1=T_1=1，符合通项公式。故i_5=2^4=16。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则a_7+a_9=________。解：a_7+a_9=2a_1+12d=2×5+12×(-2)=-19。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则b_4=________。解：{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，b_4=2×3^3=54。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=1，c_3=8，则该数列的公比q=________。解：q^2=8，解得q=2√2（q=-2√2时无意义）。4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_3=________。解：d_3=S_3-S_2=9+3-(4+2)=6。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=3，e_5=9，则该数列的公差d=________。解：4d=9-3，解得d=3/2。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则f_6=________。解：{f_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，f_6=3×2^5-1=95。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_4=32，则该数列的公比q=________。解：q^3=16，解得q=2。8.若数列{h_n}的前n项和T_n=2^n-1，则h_2+h_3+h_4+h_5+h_6=________。解：h_n=2^{n-1}，求和得2^1+2^2+2^3+2^4+2^5=2^6-2=62。9.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=12，i_4+i_5+i_6=18，则该数列的公差d=________。解：3(i_1+d)+3(i_1+2d)=12，3(i_1+3d)+3(i_1+4d)=18，解得d=2。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=2j_n（n∈N），则j_5=________。解：{j_n}是首项为1，公比为2的等比数列，j_5=2^4=16。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（×）解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}，但n=1时a_1=S_1=1，不符合通项公式，故不是等比数列。2.在等差数列{b_n}中，若b_1+b_3+b_5=27，则b_3=9。（√）解：由等差数列性质b_1+b_5=2b_3，b_1+b_3+b_5=3b_3=27，解得b_3=9。3.若数列{c_n}满足c_n+1=2c_n+1（n∈N），则该数列是等比数列。（×）解：变形为c_n+1+1=2(c_n+1)，即{c_n+1}是首项为c_1+1，公比为2的等比数列，但原数列不是等比数列。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_3=8，则d_5=32。（√）解：q^2=8，q=2√2，d_5=d_1q^4=1×(2√2)^4=32。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n，符合等差数列通项公式。6.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_3+f_5=27，则f_2+f_4+f_6=39。（√）解：由等差数列性质f_1+f_5=2f_3，f_2+f_6=2f_4，得3f_3=27，3f_4=39，解得f_3=9，f_4=13。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n（n∈N），则该数列是等比数列。（√）解：{g_n}是首项为2，公比为3的等比数列。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=1，h_4=16，则h_2+h_3+h_4=31。（√）解：q=2，h_2+h_3+h_4=2+4+16=22。9.若数列{i_n}的前n项和T_n=2^n-1，则i_n=2^{n-1}。（√）解：当n≥2时，i_n=T_n-T_{n-1}=2^{n-1}，n=1时i_1=T_1=1，符合通项公式。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=3，j_5=9，则j_3=6。（√）解：由等差数列性质j_1+j_5=2j_3，2j_3=12，解得j_3=6。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=6n-2。验证n=1时，a_1=S_1=4，符合通项公式。故a_n=6n-2。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的前6项和S_6。解：q=2，S_6=2×(1-2^6)/(1-2)=126。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1（n∈N），求c_5的值。解：{c_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，c_5=3×2^4-1=47。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_4=11，求该数列的前10项和S_10。解：d=2，S_10=10/2[2×5+(10-1)×2]=140。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，求e_3的值。解：e_n=2^{n-1}，e_3=2^2=4。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，求该数列的公比q。解：q^2=8，解得q=2√2。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n（n∈N），求g_6的值。解：{g_n}是首项为2，公比为3的等比数列，g_6=2×3^5=486。8.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=12，i_4+i_5+i_6=18，求该数列的公差d。解：3(i_1+i_3)=12，3(i_4+i_6)=18，解得d=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第5年的产量。解：{a_n}是首项为100，公比为1.1的等比数列，a_5=100×1.1^4≈146.41万吨。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，a_4=10，求该数列的前8项和S_8。解：d=8/3，S_8=8/2[2×2+(8-1)×8/3]=208/3。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2+n，求该数列的第4项c_4。解：c_4=T_4-T_3=48-12=36。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=3，d_5=81，求该数列的前7项和S_7。解：q=3，S_7=3×(1-3^7)/(1-3)=3786。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n（n∈N），求该数列的前5项和T_5。解：{e_n}是首项为1，公比为2的等比数列，T_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=5，f_3=9，求该数列的第10项f_10。解：d=2，f_10=5+9×2=23。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第3项g_3。解：g_3=S_3-S_2=7-3=4。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_4=32，求该数列的第6项h_6。解：q=2，h_6=2×2^5=64。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.A5.B6.A7.D8.D9.A10.A解析：1.S_10=10/2[2×3+(10-1)×3/2]=180。2.b_6=2^6-1=63。3.c_4=2^3=8。4.a_n=2×3^{n-1}。5.d_5=2×5-1=9。6.e_5=2^4=16。7.S_9=9/2[2×(9-4)+32]=162。8.g_10=3×2^9-1=1535。9.S_6=63。10.i_5=2^4=16。二、填空题1.-192.543.2√24.65.3/26