2026年陕西省人教版高一数学第4课数列练习题

2026年陕西省人教版高一数学第4课数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_n+1=3a_n-1，则该数列的通项公式a_n等于（）A.3^n+1B.3^n-1C.2×3^(n-1)+1D.2×3^(n-1)-1解析：由递推关系a_n+1=3a_n-1，整理得a_n+1-1=3(a_n-1)，设b_n=a_n-1，则b_n+1=3b_n，即{b_n}是首项为1、公比为3的等比数列，b_n=1×3^(n-1)=3^(n-1)，故a_n=b_n+1=3^(n-1)+1，选B。2.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则a_5的值为（）A.16B.32C.48D.64解析：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，a_5=2^(5-1)=16，选A。3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.n×2^nB.(n-1)×2^n+1C.n×2^(n-1)+nD.n×2^n-1解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，整理得a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，即{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，b_n=2×2^(n-1)=2^n，故a_n=b_n-1=2^n-1，S_n=1+3+5+…+(2^n-1)=n^2，选C。4.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=7，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，得2a_5=12，即a_5=6，又a_5=7，矛盾，故需重新列式：a_3+a_7=2a_5→12=2×7→a_5=6，由a_5=a_1+4d=7→a_1=7-4d，a_3=a_1+2d=7-2d，a_3+a_7=2a_5→(7-2d)+(7-2d+4d)=12→d=2，选B。5.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则a_4的值为（）A.24B.30C.36D.42解析：当n=1时，a_1=S_1=4；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-3(n-1)^2-(n-1)=6n-2，验证n=1时成立，故a_n=6n-2，a_4=6×4-2=22，选D。6.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=na_n+1，则该数列的通项公式a_n等于（）A.n!B.(n+1)!C.n!/(n-1)!D.(n-1)!解析：由递推关系a_n+1=na_n+1，整理得a_n+1+1=n(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=n×b_n，b_n=1×2×…×n=n!，故a_n=b_n-1=n!-1，选A。7.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列性质b_4=b_2q^2→54=6q^2→q^2=9→q=±3，若q=3，b_1=b_2/q=6/3=2，符合b_4=b_1q^3=2×27=54；若q=-3，b_1=b_2/q=-6/(-3)=2，符合b_4=b_1q^3=2×(-27)=-54，故q=±3，选A。8.已知数列{c_n}的前n项和T_n=2^n-1，则c_3的值为（）A.4B.6C.8D.10解析：当n=1时，c_1=T_1=1；当n≥2时，c_n=T_n-T_(n-1)=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故c_n=2^(n-1)，c_3=2^(3-1)=4，选A。9.在等差数列{d_n}中，若d_1=-5，d_6=11，则该数列的通项公式d_n等于（）A.2n-7B.3n-8C.-2n+7D.-3n+8解析：由等差数列性质d_6=d_1+5d→11=-5+5d→d=3，d_n=d_1+(n-1)d=-5+(n-1)×3=3n-8，选B。10.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1，则该数列的前n项和R_n等于（）A.n×2^nB.(n-1)×2^n+1C.n×2^(n-1)+nD.n×2^n-1解析：由递推关系e_n+1=2e_n+1，整理得e_n+1+1=2(e_n+1)，设f_n=e_n+1，则f_n+1=2f_n，即{f_n}是首项为2、公比为2的等比数列，f_n=2×2^(n-1)=2^n，故e_n=f_n-1=2^n-1，R_n=1+3+5+…+(2^n-1)=n^2，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，则该数列的通项公式a_n等于_________。解：由递推关系a_n+1=3a_n+2，整理得a_n+1+1=3(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=3b_n，即{b_n}是首项为2、公比为3的等比数列，b_n=2×3^(n-1)，故a_n=b_n-1=2×3^(n-1)-1。2.在等差数列{b_n}中，若b_3=7，b_5=11，则该数列的公差d等于_________。解：由等差数列性质b_5=b_3+2d→11=7+2d→d=2。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，则c_4的值为_________。解：当n=1时，c_1=S_1=1；当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=8n-7，验证n=1时成立，故c_n=8n-7，c_4=8×4-7=25。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于_________。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2→54=6q^2→q=±3。5.若数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=2e_n-1，则该数列的通项公式e_n等于_________。解：由递推关系e_n+1=2e_n-1，整理得e_n+1+1=2(e_n+1)，设f_n=e_n+1，则f_n+1=2f_n，即{f_n}是首项为3、公比为2的等比数列，f_n=3×2^(n-1)，故e_n=f_n-1=3×2^(n-1)-1。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=2^n-1，则f_3的值为_________。解：当n=1时，f_1=T_1=1；当n≥2时，f_n=T_n-T_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故f_n=2^(n-1)，f_3=2^(3-1)=4。7.在等差数列{g_n}中，若g_1=-3，g_6=9，则该数列的通项公式g_n等于_________。解：由等差数列性质g_6=g_1+5d→9=-3+5d→d=2，g_n=g_1+(n-1)d=-3+(n-1)×2=2n-5。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=nh_n+1，则该数列的前n项和R_n等于_________。解：由递推关系h_n+1=nh_n+1，整理得h_n+1+1=n(h_n+1)，设k_n=h_n+1，则k_n+1=n×k_n，k_n=1×2×…×n=n!，故h_n=k_n-1=n!-1，R_n=1+2!-1+3!-1+…+n!-1=n!-n。9.在等比数列{i_n}中，若i_3=8，i_5=32，则该数列的首项i_1等于_________。解：由等比数列性质i_5=i_3q^2→32=8q^2→q=±2，若q=2，i_1=i_3/q^2=8/4=2；若q=-2，i_1=i_3/q^2=8/4=2，故i_1=2。10.已知数列{j_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则j_4的值为_________。解：当n=1时，j_1=S_1=1；当n≥2时，j_n=S_n-S_(n-1)=6n-5，验证n=1时成立，故j_n=6n-5，j_4=6×4-5=19。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。解：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，但该数列不是等比数列（公比不为常数），错误。2.在等差数列{b_n}中，若b_1=5，b_4=11，则该数列的公差d等于3。解：由等差数列性质b_4=b_1+3d→11=5+3d→d=2，错误。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，则该数列的通项公式c_n=2^n-1。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，整理得c_n+1+1=2(c_n+1)，设d_n=c_n+1，则d_n+1=2d_n，即{d_n}是首项为2、公比为2的等比数列，d_n=2×2^(n-1)=2^n，故c_n=2^n-1，正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于3。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2→54=6q^2→q=±3，正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。解：当n=1时，e_1=T_1=1；当n≥2时，e_n=T_n-T_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故e_n=2^(n-1)，但该数列不是等比数列（公比不为常数），错误。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=-3，f_6=9，则该数列的通项公式f_n=2n-5。解：由等差数列性质f_6=f_1+5d→9=-3+5d→d=2，f_n=f_1+(n-1)d=-3+(n-1)×2=2n-5，正确。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n-1，则该数列的通项公式g_n=3^n+1。解：由递推关系g_n+1=3g_n-1，整理得g_n+1+1=3(g_n+1)，设h_n=g_n+1，则h_n+1=3h_n，即{h_n}是首项为3、公比为3的等比数列，h_n=3×3^(n-1)=3^n，故g_n=3^n-1，错误。8.在等比数列{i_n}中，若i_3=8，i_5=32，则该数列的首项i_1等于2。解：由等比数列性质i_5=i_3q^2→32=8q^2→q=±2，若q=2，i_1=i_3/q^2=8/4=2；若q=-2，i_1=i_3/q^2=8/4=2，故i_1=2，正确。9.已知数列{j_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则j_4的值为16。解：当n=1时，j_1=S_1=1；当n≥2时，j_n=S_n-S_(n-1)=6n-5，验证n=1时成立，故j_n=6n-5，j_4=6×4-5=19，错误。10.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。解：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，但该数列不是等比数列（公比不为常数），错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=8n-7，验证n=1时成立，故a_n=8n-7。2.在等差数列{b_n}中，若b_1=5，b_4=11，求该数列的通项公式b_n。解：由等差数列性质b_4=b_1+3d→11=5+3d→d=2，b_n=b_1+(n-1)d=5+(n-1)×2=2n+3。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_n+1=3c_n-1，求该数列的通项公式c_n。解：由递推关系c_n+1=3c_n-1，整理得c_n+1+1=3(c_n+1)，设d_n=c_n+1，则d_n+1=3d_n，即{d_n}是首项为3、公比为3的等比数列，d_n=3×3^(n-1)=3^n，故c_n=3^n-1。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2→54=6q^2→q=±3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，求该数列的通项公式e_n。解：当n=1时，e_1=T_1=1；当n≥2时，e_n=T_n-T_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故e_n=2^(n-1)。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=-3，f_6=9，求该数列的公差d。解：由等差数列性质f_6=f_1+5d→9=-3+5d→d=2。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=2g_n+1，求该数列的前n项和R_n。解：由递推关系g_n+1=2g_n+1，整理得g_n+1+1=2(g_n+1)，设h_n=g_n+1，则h_n+1=2h_n，即{h_n}是首项为2、公比为2的等比数列，h_n=2×2^(n-1)=2^n，故g_n=2^n-1，R_n=1+2+…+2^(n-1)=2^n-1。8.在等比数列{i_n}中，若i_3=8，i_5=32，求该数列的首项i_1。解：由等比数列性质i_5=i_3q^2→32=8q^2→q=±2，若q=2，i_1=i_3/q^2=8/4=2；若q=-2，i_1=i_3/q^2=8/4=2，故i_1=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求第5年的产量。解：设第n年的产量为a_n，则a_n=a_1×(1+10%)^(n-1)，a_5=100×(1+0.1)^(5-1)=100×1.1^4≈146.41万吨。2.在等差数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=15，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质b_4=b_1+3d→15=3+3d→d=4，S_10=10×(b_1+b_{10})/2=10×(3+3+9×4)/2=420。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2+n，求该数列的第4项c_4。解：c_4=T_4-T_3=48-12=36。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2→54=6q^2→q=±3，若q=3，S_5=6×(3^5-1)/2=378；若q=-3，S_5=6×((-3)^5-1)/2=-378。5.已知数列{e_n}的前n项和R_n=2^n-1，求该数列的前8项和R_8。解：R_8=2^8-1=255。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=-5，f_6=11，求该数列的前20项和S_20。解：由等差数列性质f_6=f_1+5d→11=-5+5d→d=2，S_20=20×(f_1+f_{20})/2=20×(-5+35)/2=300。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n-1，求该数列的前5项和R_5。解：由递推关系g_n+1=3g_n-1，整理得g_n+1+1=3(g_n+1)，设h_n=g_n+1，则h_n+1=3h_n，即{h_n}是首项为3、公比为3的等比数列，h_n=3×3^(n-1)=3^n，故g_n=3^n-1，R_5=1+8+27+64+125=225。8.在等比数列{i_n}中，若i_3=8，i_5=32，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质i_5=i_3q^2→32=8q^2→q=±2，若q=2，S_6=8×(2^6-1)/2=120；若q=-2，S_6=8×((-2)^6-1)/2=120。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.C4.B5.A6.A7.A8.A9.B10.C解析：2.递推关系a_n+1=3a_n+2→a_n+1+1=3(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=3b_n，即{b_n}是首项为3、公比为3的等比数列，b_n=3×3^(n-1)=3^n，故a_n=3^n-1，选B。3.S_n=2^n-1→a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，a_5=2^(5-1)=16，选A。4.递推关系a_n+1=2a_n+1→a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，即{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，b_n=2×2^(n-1)=2^n，故a_n=2^n-1，S_n=1+3+5+…+(2^n-1)=n^2，选C。5.a_3+a_7=2a_5→12=2×7→a_5=6，a_5=a_1+4d=7→a_1=7-4d，a_3=a_1+2d=7-2d，a_3+a_7=2a_5→(7-2d)+(7-2d+4d)=12→d=2，选B。6.S_n=3n^2+n→a_n=S_n-S_(n-1)=6n-7，验证n=1时成立，故a_n=6n-7，a_4=6×4-7=17，选D。7.递推关系a_n+1=na_n+1→a_n+1+1=n(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=n×b_n，b_n=1×2×…×n=n!，故a_n=n!-1，选A。8.b_4=b_2q^2→54=6q^2→q=±3，若q=3，b_1=b_2/q=6/3=2，符合b_4=b_1q^3=2×27=54；若q=-3，b_1=b_2/q=-6/(-3)=2，符合b_4=b_1q^3=2×(-27)=-54，故q=±3，选A。9.S_n=2^n-1→a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，a_3=2^(3-1)=4，选A。10.d_6=d_1+5d→11=-5+5d→d=3，d_n=d_1+(n-1)d=-5+(n-1)×3=3n-8，选B。11.递推关系e_n+1=2e_n-1→e_n+1+1=2(e_n+1)，设f_n=e_n+1，则f_n+1=2f_n，即{f_n}是首项为3、公比为2的等比数列，f_n=3×2^(n-1)，故e_n=3×2^(n-1)-1，R_n=1+3+5+…+(2^n-1)=n^2，选C。二、填空题1.2×3^(n-1)-1解：递推关系a_n+1=3a_n+2→a_n+1+1=3(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=3b_n，即{b_n}是首项为3、公比为3的等比数列，b_n=3×3^(n-1)=3^n，故a_n=3^n-1。2.2解：由等差数列性质b_5=b_3+2d→11=7+2d→d=2。3.25解：S_n=4n^2-3n→a_n=S_n-S_(n-1)=8n-7，验证n=1时成立，故a_n=8n-7，a_4=8×4-7=25。4.±3解：由等比数列性质d_4=d_2q^2→54=6q^2→q=±3。5.3×2^(n-1)-1解：递推关系e_n+1=2e_n-1→e_n+1+1=2(e_n+1)，设f_n=e_n+1，则f_n+1=2f_n，即{f_n}是首项为3、公比为2的等比数列，f_n=3×2^(n-1)，故e_n=3×2^(n-1)-1。6.4解：S_n=2^n-1→a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，a_3=2^(3-1)=4。7.2n-5解：由等差数列性质g_6=g_1+5d→9=-3+5d→d=2，g_n=g_1+(n-1)d=-3+(n-1)×2=2n-5。8.n!-n解：递推关系h_n+1=nh_n+1→h_n+1+1=n(h_n+1)，设k_n=h_n+1，则k_n+1=n×k_n，k_n=1×2×…×n=n!，故h_n=n!-1，R_n=1+2!-1+3!-1+…+n!-1=n!-n。9.2解：由等比数列性质i_5=i_3q^2→32=8q^2→q=±3，若q=2，i_1=i_3/q^2=8/4=2；若q=-2，i_1=i_3/q^2=8/4=2，故i_1=2。10.19解：S_n=3n^2-2n→a_n=S_n-S_(n-1)=6n-5，验证n=1时成立，故a_n=6n-5，a_4=6×4-5=19。三、判断题1.错误解：S_n=2^n-1→a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，但该数列不是等比数列（公比不为常数）。2.错误解：由等差数列性质b_4=b_1+3d→11=5+3d→d=2。3.正确解：递推关系c_n+1=2c_n-1→c_n+1+1=2(c_n+1)，设d_n=c_n+1，则d_n+1=2d_n，即{d_n}是首项为3、公比为2的等比数列，d_n=3×2^(n-1)，故c_n=3×2^(n-1)-1。4.正确解：由等比数列性质d_4=d_2q^2→54=6q^2→q=±3。5.错误解：S_n=2^n-1→a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，但该数列不是等比数列（公比不为常数）。6.正确解：由等差数列性质f_6=f_1+5d→9=-3+5d→d=2，f_n=f_1+(n-1)d=-3+(n-1)×2=2n-5。7.错误解：递推关系g_n+1=3g_n-1→g_n+1+1=3(g_n+1)，设h_n=g_n+1，则h_n+1=3h_n，即{h_n}是首项为3、公比为3的等比数列，h_n=3×3^(n-1)=3^n，故g_n=3^n-1。8.正确解：由等比数列性质i_5=i_3q^2→32=8q^2→q=±2，若q=2，i_1=i_3/q^2=8/4=2；若q=-2，i_1=i_3/q^2=8/4=2，故i_1=2。9.错误解：S_n=3n^2-2n→a_n=S_n-S_(n-1)=6n-5，验证n=1时成立，故a_n=6n-5，a_4=6×4-5=19。10.错误解：S_n=2^n-1→a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，但该数列不是等比数列（公比不为常数）。四、简答题1.解：S_n=4n^2-3n→a_n=S_n-S_(n-1)=8n-7，验证n=1时成立，故a_n=8n-7。2.解：由等差数列性质b_4=b_1+3d→11=5+3d→d=2，b_n=b_1+(n-1)d=5+(n-1)×2=2n+3。3.解：递推关系c_n+1=3