专题2.11函数的图象（举一反三复习讲义）（教师版）

专题2.11函数的图象（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数

(2)会画简单的函数图象(3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题高考真题统计考点2024年2025年2026年函数的图象全国甲卷（文数）：第8题，5分全国甲卷（理数）：第7题，5分北京卷：第4题，4分天津卷：第3题，5分上海卷（春考）：第15题，5分天津卷：第4题，5分命题规律分析1、函数的图象函数图象是高考常考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，高考试题中主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度不大。考点1考点1函数的图象知识点1函数的图象的作法与识别1．作函数图象的一般方法(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.2．函数图象识别的解题思路(1)抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)利用函数的零点、极值点判断.(3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.知识点2函数图象的应用及其解题策略1．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.【题型1作出函数的图象】【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象：(1)y=x−|x−1|；(2)y=x【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.【解题思路】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图象.【解答过程】（1）由y=x−|x−1|=1,x≥1（2）由y=x所以函数在(−∞,−1),(0,1)上单调递减，在【变式1-1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．(1)y=x(2)y=1【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【解题思路】（1）由二次函数图象，根据函数图象的翻折变换，可得答案；（2）由指数函数的图象以及分段函数图象，根据函数图象的平移变换，可得答案.【解答过程】（1）y=x2−4x−5的图象可由函数y=将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示：（2）y=12|x−1|再向下平移1个单位长度得到，而y=1其图象可由y=12|x|的图象保留x≥0则y=1【变式1-2】（25-26高一上·重庆·期末）已知函数fx(1)求ff(2)画出函数fx的图象，并写出函数f【答案】(1)−7(2)图象见解析；(−∞,0).【解题思路】（1）根据分段函数计算函数值；（2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间.【解答过程】（1）ff（2）由图象知函数fx的单调递增区间为(−∞,0)【变式1-3】（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象：(1)y=2x−1(2)y=x(3)y=1【答案】(1)(2)(3)【解题思路】（1）结合反比例函数图象，及图象的平移变换即可作出图象；（2）写出函数的分段形式，结合二次函数图象，及图象的翻折变换即可作出图象；（3）写出函数的分段形式，结合指数函数图象，及图象的平移，翻折变换即可作出图象．【解答过程】（1）由y=2x−1其图象可看作由函数y=1所以y=2x−1（2）由y=x所以y=x（3）对于y=12x−1而y=12x=12x,x≥02【题型2函数图象的识别】【例2】（2026·江西上饶·二模）函数fx=xA． B．C． D．【答案】B【解题思路】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断.【解答过程】fx定义域为R，且f故fx又f1故函数fx故选：B.【变式2-1】（2026·安徽合肥·三模）当a<0时，函数fx=eA． B．C． D．【答案】B【解题思路】求出函数fx的定义域，结合x<a时，f【解答过程】对于函数fx，因为a<0，由x2−ax≠0可得x≠a故函数fx的定义域为−当x<a时，fx故选：B.【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数y=x2eA． B． C． D．【答案】D【解题思路】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.【解答过程】∵y=x∴e|x|−2≠0，则x≠±设fx=y=x故fx=y=x当x>ln2时，e|x|>2，e|x|所以选项D正确.故选：D.【变式2-3】（2026·陕西渭南·三模）函数fx=3x−x3A． B．C． D．【答案】B【解题思路】根据题意，求得函数fx为奇函数，排除C、D选项，再由f【解答过程】由函数fx=3x−且f−x所以函数fx是R当x≥0时，令fx>0，即3x−x可得x3−3x=x(x即x∈(0,3)时，故选：B.【题型3根据函数图象选择解析式】【例3】（2026·天津·二模）已知函数y=fx的部分图象如图，则fx的解析式可能为（A．fx=xC．fx=x【答案】A【解题思路】根据函数性质，利用排除法可得正确选项.【解答过程】由图象可知，函数f(x)定义域为R，为奇函数，且f(1)>0，因为f(x)=xex因为f(−x)=(−x)所以f(x)=x因为f(1)=−1e+因为f(−x)=−xe−x所以f(x)=xex+e故f(x)的解析式可能为f(x)=x故选：A.【变式3-1】（2026·四川成都·二模）已知函数y=f(x)(x>0)的图象如图所示，则其解析式可能为（

）A．y=2x−2 B．y=2−x−1 C．y=log【答案】C【解题思路】根据函数图像，结合函数的性质逐项判断即可求解.【解答过程】对于A，y=2x−2的图像是一条直线，故A错误；对于B，y=2−x−1的定义域为又x>0时，−x−1<0⇒2−对于C，y=log22x对于D，y=3−22−x的定义域为R，又由x>0，0<12x故选：A.【变式3-2】（2026·辽宁·模拟预测）若函数fx的部分图象如图所示，则函数fx可能为（A．fx=tanC．fx=−tan【答案】B【解题思路】由图象可知函数y=fx为奇函数，且当x∈0,1时，【解答过程】由图象可知函数y=fx为奇函数，且当x∈0,1时，A，f−x=B，f−x且当x∈0,1时，tanx>0，lnxC，函数fx=−D，当x∈0,1时，f故选：B.【变式3-3】（2026·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间−8,8上的大致图象，则该函数可能是（

）A．fx=xC．fx=x【答案】A【解题思路】利用函数图象并结合奇偶性的定义与函数值的正负逐个排除求解即可.【解答过程】根据图象可知，fx对于A，由题意得f−x则fx对于B，f−x则fx是奇函数，令g(x)=sinx−x当x∈(0,+∞)时，g(x)在则g(x)=sin对于C，由题意得f1=1则f1可得fx对于D，由题意得f1f−1则f可得fx故选：A.【题型4函数图象的变换】【例4】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数y=log24x−1的图象，只需要把A．横坐标变为原来的12B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C．向右平移1个单位（纵坐标不变）D．向上平移2个单位（横坐标不变）【答案】A【解题思路】根据题意，y=log24x【解答过程】因为y=log所以要得到y=log24x−1的图象，只需要把故选：A.【变式4-1】（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）将函数y=−x2A． B． C． D．【答案】C【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.【解答过程】∵fx∴函数的大致图象如图所示，将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，则C选项符合所得函数图象.故选：C.【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）若定义在−2,2上的函数y=fx的图象如图所示，则函数y=f2−x的图象为（A． B．C． D．【答案】C【解题思路】解法一：利用函数对称和平移直接求解即可；解法二：先求出y=f2−x的定义域即可排除BD，再结合特殊值f【解答过程】解法一：将函数y=fx的图象关于y轴对称，可得函数y=f再向右平移2个单位长度得函数y=f−x−2的图象，即解法二：由y=fx的定义域可知，−2≤2−x≤2，则0≤x≤4即y=f2−x的定义域是[0,4]由题图可知f2>0，所以在f2−x中，x=0排除A，而C满足题意.故选：C．【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）将函数gx=2x+22x2+8x+9的图象向右平移2个单位长度得到函数A．

B．

C．

D．

【答案】B【解题思路】由题求得fx的解析式，判断奇偶性可排除AC；当x>0时，由对勾函数的性质可判断f【解答过程】因为gx=2其定义域为R，且f−x=2又x>0时，fxfx在0,22故选：B.【题型5根据实际问题作函数图象】【例5】（25-26高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【解题思路】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项.【解答过程】当两车同时相向出发时，相遇时间t1此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项；相遇时，快车已经行驶的路程为100×4=400千米，还需要行驶1000−400÷100=6特快车相遇时已经行驶的路程为150×4=600千米，只需要再行驶1000−600÷150=所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项.故选：C.【变式5-1】（2026·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1的正方形ABCD的边上沿A→B→C→D运动，x表示动点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y=fx的大致图像是（

A． B．C． D．【答案】A【解题思路】分x∈0,1，x∈1,2，【解答过程】当x∈0,1时，y=当x∈1,2时，y=12当x∈2,3时，y=故选：A．【变式5-2】（2026·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点A处出发，沿箭头方向经过点B、C、D返回到点A，共用时80秒，他的同桌小陈在固定点O位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为t（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为y（单位：米），若y=ft，则ft的图象大致为（

A．

B．

C．

D．

【答案】D【解题思路】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.【解答过程】由题图知，小李从点A到点B的过程中，y的值先增后减，从点B到点C的过程中，y的值先减后增，从点C到点D的过程中，y的值先增后减，从点D到点A的过程中，y的值先减后增，所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即y的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D.【变式5-3】（25-26高一上·广东梅州·期末）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程s一时间t”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解题思路】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案.【解答过程】由于兔子睡了一下，所以所有选项中S有一段不发生变化的折线为兔子的“路程s一时间t”的图像一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项CD，最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合.故选：B.【题型6函数图象的应用】【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）函数y=11−x的图像与函数y=2sinπ(x+2026)（−2≤x≤4）的图像所有交点的横坐标记作xA．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解题思路】在同一坐标系中画出两个函数的图像，利用函数的图像的对称性求得所有交点的横坐标之和.【解答过程】fx=y=2sinπ(x+2026)=2在同一个直角坐标系中分别画出它们的图像的示意图，f13=2sinπ又f12=2sinπ2=2又函数y=2sinπx结合函数图像可知在0,1上函数fx与函数g由图像可知在−2,0上函数fx与函数g所以函数fx与函数gx在结合两函数关于点(1,0)对称，可得在−2,4上两函数共有8个交点，则i=1故选：D.【变式6-1】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数fx=x2+4x+3,x≤01+log13A．−1,3 B．0,3 C．−1,0 D．3,+【答案】A【解题思路】转化为函数y=fx与y=a的图象有3个交点，结合f【解答过程】若函数gx即函数y=fx与y=afx当x=0时，fx=3，当x=−2时，函数y=fx结合图象可得−1<a≤3.故选：A.【变式6-2】（2026·山西临汾·二模）已知函数fx=2x−1,x≤2,3A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．1,3【答案】A【解题思路】解方程fx2−a+5fx+5a=0得fx=a或fx=5【解答过程】由fx2−a+5f当x≤0时，fx当0<x≤2时，fx当x>2时，fx作出函数fx、y=5、y=a由图可知，直线y=5与曲线y=fx有0个交点，即方程f所以由题方程fx=a有3个不同的解，即直线y=a与曲线y=fx有3故选：A.【变式6-3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数fx=2x−2,x≥0−2x−2,x<0，若存在实数x1<A．−2log32,0C．−34log【答案】B【解题思路】根据分段函数的解析式作出函数fx的图象，然后根据已知条件确定x【解答过程】作出函数fx的图象，如图所示，设f所以−2x1−2=k，解得：x解得：x2=log所以x1fx令gk=−kk+22，则gk在令hk=log22+k−log所以0<hk≤log所以x1fx故选：B．一、单选题1．（2026·山东枣庄·三模）函数fx=xA． B．C． D．【答案】B【解题思路】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.【解答过程】定义域为xx≠±1，f则fx当x>0时，e2x>1，则当0<x<1时，x2−1<0，则当x>1时，x2−1>0，则故选B.2．（2026·天津北辰·三模）函数f(x)=xcos2xA． B．C． D．【答案】A【解题思路】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得fx为奇函数，再结合f(1)<0【解答过程】由函数f(x)=xcos2x且满足f−x所以函数fx又由f(1)=cos故选A.3．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（

）A．y=sin2xx2+1 B．y=x【答案】B【解题思路】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可；D选项，判断所给函数的定义域即可.【解答过程】A选项，取fx=sin2xx2+1，则令fx=0B选项，取gx=xx2+1，则g′x=1−x故gx在−∞,−1和1,+又因为gx=xx2+1，所以当x→+∞C选项，取hx=cosxx2+1D选项，ux=ex+故选B.4．（2026高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中d轴表示该学生离家的距离，t轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解题思路】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案.【解答过程】依题意可知，d关于t的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误；由于该同学是先走后跑，所以d关于t的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确.故选：C.5．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数fx的定义域是0,3，其图象如图所示，则不等式2x−4A．0,1 B．1,2C．0,2 D．1,3【答案】B【解题思路】由2x−4fx<0【解答过程】因为函数fx的定义域为0,3，由2x−4fx解不等式组2x−4<0fx>0解不等式组2x−4>0fx<0综上所述，不等式2x−4f故选：B.6．（2026·北京顺义·二模）把函数fx=axa>0,a≠1的图象C1向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的14倍，得到图象C2，若此时图象A．4 B．2 C．12 D．【答案】C【解题思路】首先根据平移变换求出图象C2的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出a【解答过程】把函数fx=a得到函数表达式为y=a再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的14得到图象C2的函数表达式为y=因为图象C1与C2重合，所以即14a−2=1，解得故选C.7．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（

）A．y=ex+C．y=ex+【答案】A【解题思路】设图象对应函数为fx，由图可得fx奇偶性，结合【解答过程】设图象对应函数为fx，由图可得f注意到y=ex+则y=e又由图可得fπ=0，故选A.8．（2026·山东·模拟预测）若函数fx=xexA．4e2,+C．−∞,0∪【答案】A【解题思路】将问题转化为函数gx=x2ex，【解答过程】fx定义域为−∞,0等价于方程xex−即函数gx=x2eg′x=x2−x则gx在−∞,0则gx在x=2时取得极大值g又x→−∞时，x2→+∞，x→+∞时，x2→+∞，ex→+∞据此可得gx则由图可得为使函数gx=x2ex，故选：A.二、多选题9．（2026·山西临汾·二模）函数fx=aeA． B．C． D．【答案】ABD【解题思路】对a=0，a<0，a>0三种情况讨论判断即可.【解答过程】当a=0是，fx当a<0时，fx=aex−当a>0时，由f′x=a令f′x=0，则a因为y=ex⋅x，可得y′=所以y=ex⋅x>e0当0,x0时，f′x<0所以函数fx在0,x0故选：ABD.10．（2026·广西·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx在x∈−∞,0A．

B．

C．

D．

【答案】AC【解题思路】令gx=fx+1+1，其中【解答过程】令gx=fx+1则g−1−xg−1+x=f−1+x+1故函数gx=fx+1因为函数fx是定义在R上的奇函数，且函数fx在故函数fx在0,+故当x>−1时，x+1>0，此时gx=fx+1+1，故函数排除D选项.故选：AC.11．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点Bx,y满足函数关系式y=fx，则下列判断正确的有（A．fB．函数y=fx图象的对称轴方程为C．不等式fx≥D．直线y=27x【答案】ACD【解题思路】根据题意作出函数y=fx【解答过程】如图，B在图中一段一段的扇形上运动，对于选项A：初始时A在原点，当x=1时，y=3所以f1对于选项B：由图可知：fx的一条对称轴为x=1，周期为6，每经过半个周期均为f所以函数fx的对称轴方程为x=1+3k,k∈Z对于选项C：如图所示，若fx≥3所以不等式fx≥3对于选项D：令27x=2，解得结合图象可知：直线y=27x故选：ACD.三、填空题12．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知直线y=a与函数y=lnxx的图象有两个交点，则实数a【答案】0,【解题思路】利用导数求出函数y=ln【解答过程】由函数y=lnxx令y′=0得，x=e，当x∈0,e时，y所以函数y=lnxx在0,函数在x=e处取得最大值1且x→0时，lnxx→−作出函数y=ln由图可知当直线y=a与函数y=ln则实数a的取值范围为0,1故答案为：0,113．（2026·海南·模拟预测）已知f(x)=g(x+3)为奇函数，若y=g(x)与y=1x−3的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为x1,【答案】30【解题思路】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点(3,0)对称，结合对称性即可得结果.【解答过程】因为f(x)=g(x+3)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，又g(x)的图象可由g(x+3)的图象向右平移3个单位长度得到，所以g(x)的图象关于点(3,0)对称.又y=1x−3的图象也关于点所以y=g(x)与y=1x−3的图象的交点关于点所以x1故x1+x故答案为：30.14．（2026·上海闵行·一模）已知函数fx=x−2,x≥02x+1,x<0，若函数g(x)=fx−a【答案】0,【解题思路】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到x3的取值范围.由等量关系化简x2⋅fx1【解答过程】函数fx若x1<x2所以x∵x3+8x3当x3=2时，x3+8由双勾函数的单调性可知x3即42∴x2故答案为：0,3四、解答题15．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象：(1)y=x(2)y=log【答案】(1)(2)【解题思路】（1）结合二次函数的图象，及图象的翻折即可作出图象；（2）结合对数函数的图象，及图象的平移，翻折即可作出图象．【解答过程】（1）y=x2−4x−5的图象可由函数y=x2−4x−5的图象保留

（2）y=log2x+1，其图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留

16．（25-26高一上·宁夏银川·期末）若y=fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(1)画出函数fx的图象并求出函数f(2)若关于x的方程fx=m有2个不同的实数解，求实数【答案】(1)fx(2){−1}∪(0,+∞【解题思路】（1）结合二次函数对称轴及偶函数性质作图即可；求出当x<0时对应的函数解析式，结合y=f(x)是定义在R上的偶函数，以分段函数形式写出解析式即可；（2）将方程f(x)=m有2个不同的实数解转化为函数图象交点