专题2.8指数与指数函数（举一反三专项训练）（教师版）

专题2.8指数与指数函数（举一反三专项训练）【全国通用】目录第一部分题型专练TOC\o"1-3"\h\u【题型1指数幂的运算】 1【题型2指数函数的图象及应用】 2【题型3比较指数幂的大小】 5【题型4解指数不等式】 6【题型5指数（型）函数的单调性问题】 8【题型6指数（型）函数的最值（值域）问题】 10第二部分分层突破A组基础跟踪练B组培优提升练C组真题·实战演练【题型1指数幂的运算】1．（2026·四川乐山·三模）已知2lg2=m，10n=3，则10A．649 B．83 C．43【答案】B【解题思路】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.【解答过程】由2lg2=m可得10m所以103m−2n故选：B.2．（2026·河南新乡·二模）8253+A．16 B．82 C．32 D．【答案】A【解题思路】应用指数幂运算的性质化简求值.【解答过程】由82故选：A.3．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知a>0，则4a⋅3aA．a23 B．a32 C．【答案】A【解题思路】利用分数指数幂的运算法则化简.【解答过程】4a⋅故选：A.4．（25-26高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：M=M0×12tT，其中M0指初始质量，t为衰变时间，T为半衰期，M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为A．31024 B．1512 C．11024【答案】A【解答过程】由题意可得M0【解题思路】由题意可得M0即1024T1=故选：A.【题型2指数函数的图象及应用】5．（2026·辽宁·模拟预测）函数fx=9xA． B．C． D．【答案】D【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.【解答过程】由fx=9x−1且f−x=3f1当x→+∞时，f故选：D.6．（2026·天津·二模）已知函数y=fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（A．fx=ex+1ex−1 【答案】D【解题思路】根据f0【解答过程】对于A，fx=e对于B：fx=e对于C：fx=x且f−x=−x对于D，fx故选：D.7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数y=ex−A． B．C． D．【答案】A【解题思路】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据x≥0时0≤1−1【解答过程】设fx=e∴函数fx当x≥0时，fx由x≥0得，e2x∴0<1e2x故选：A.8．（2026·陕西·模拟预测）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（A．fx=exC．fx=xx 【答案】D【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入x=2判断C错误，则可得到D正确.【解答过程】根据函数f(x)的图象，知f(1)≈1，而对A选项f1对B选项fx=1−2ex则fx根据C选项的解析式，f(2)=22≈2.8，而根据函数f(x)的图象，知故选：D.【题型3比较指数幂的大小】9．（2026·河南·模拟预测）设a=1313,b=logA．a<c<b B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b【答案】A【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.【解答过程】因为y=13x因为y=log12则a,b,c的大小关系为a<c<b.故选：A.10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知a=0.750.1,b=A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b【答案】C【解题思路】根据指数函数的单调性判断即可.【解答过程】因为函数y=1.01x在R上是增函数，函数y=0.75x在所以1.013.5>1.01故选：C.11．（2026·四川成都·模拟预测）已知a>2，5a+12A．a>2>b B．a>b>2 C．b>a>2 D．b>2，但a和b的大小关系无法确定【答案】B【解题思路】利用指数函数的单调性证出b>2且b<a，得出结论即可.【解答过程】由于a>2，所以13b=5又因为13b−a=513a所以2<b<a.故选：B.12．（2026·河南许昌·模拟预测）已知a=3log23.4，b=9A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【答案】D【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.【解答过程】由题意知b=9log16又函数y=log2x在(0,+∞)又y=3x在R上单调递增，所以3log故选:D.【题型4解指数不等式】13．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知集合A=xx3<1，B=A．A∩B=xx<−1 C．A∪B=xx<−1 【答案】B【解题思路】根据幂函数、指数函数单调性解出不等式，再利用集合交并集定义即可得到答案.【解答过程】因为集合A=xx3所以A∩B=x−1<x<1，故选：B.14．（2026·河北邯郸·一模）已知集合M=x2−x<1, N=A．−∞, 1 B．1, +【答案】D【解题思路】解出指数不等式与对数不等式后利用交集与补集定义计算即可得解.【解答过程】由2−x<1，可得由logx2>0，可得则M=xx>0,则M∩∁故选：D.15．（25-26高一上·广西·期末）已知函数fx=2A．−3,0∪3,+∞C．−∞,−3∪【答案】B【解题思路】构造函数gx=fx−3=2x−2−x，可得g【解答过程】设函数gx=fx且g−x=2−x−因为y=2x是R上的增函数，y=2所以gx=2由fa2−2a即ga又因为gx是奇函数，可得g可得a2−2a>−2a+9，即a2>9，解得所以不等式的解集为(−∞故选：B.16．（2026·广东肇庆·一模）已知f(x)=ex−e−x，若fA．0,+∞ B．1,+∞ C．−1,+∞【答案】A【解题思路】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.【解答过程】函数f(x)=ex−e−x而函数y=ex,y=−不等式f(x+1)>−f(x−1)=f(−x+1)，则x+1>−x+1，解得x>0，所以x的取值范围是0,+∞故选：A.【题型5指数（型）函数的单调性问题】17．（2026·甘肃白银·模拟预测）若函数fx=5|x−a|在1,+∞上单调递增，则A．1,+∞ B．1,+∞ C．−∞【答案】D【解题思路】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出a的范围.【解答过程】函数y=5|x−a|在(1,+∞则函数y=|x−a|=x−a,x≥a−x+a,x<a在(1,+∞所以a的取值范围为−∞故选：D.18．（2026·新疆喀什·模拟预测）已知lna2−lna=1A．−∞,0 B．−∞,1 C．【答案】D【解题思路】根据给定条件求出a，再利用复合函数单调性求出递增区间.【解答过程】由lna2−lna=1，得ln函数u=x2−2x在(−而函数y=eu在R上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为故选：D.19．（2026·山东济宁·二模）若函数fx=12x2−axA．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a≥1【答案】A【解题思路】f(x)=(12)x2−ax【解答过程】f(x)=(12)x在y=(12)u中，b=因为f(x)=(12)x2−ax根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数u=x2−ax对于二次函数u=x2−ax二次函数在对称轴右侧单调递增，要使u=x2−ax则对称轴需满足a2≤1，解得故选：A.20．（2026·浙江绍兴·二模）已知函数fx=eA．当λ=1时，fx是偶函数，且在区间0,1B．当λ=1时，fx是奇函数，且在区间0,1C．当λ=−1时，fx是偶函数，且在区间0,1D．当λ=−1时，fx是奇函数，且在区间0,1【答案】D【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的λ取值，对函数进行分析，即可判断和选择.【解答过程】对AB：当λ=1时，fx=ex1+e2x又fx=ex1+因为y=t+1t在t∈(1,e)单调递增，t=ex在故fx=1对CD：当λ=−1时，fx=ex1−e2x又fx=ex1−e2x=1故fx=1故选：D.【题型6指数（型）函数的最值（值域）问题】21．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）函数fx=2x+1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解题思路】分析可知函数fx=2【解答过程】因为y=2x在区间0,1上单调递增，则函数fx所以函数fx=2x+1故选：A.22．（2026·云南昆明·模拟预测）函数fx=2A．−1,+∞ B．−1,−34 C．R【答案】A【解题思路】利用函数fx在−∞,−2、−2,+【解答过程】当x<−2时，fx=2x−1所以0<2x<当x≥−2时，因为函数fx=x2−1故fx≥f0=−1，即fx综上所述，函数fx的值域为−1,+故选：A.23．（2026高三·全国·专题练习）若函数fx=axa>0且a≠1在−1,2上的值域为3A．−4或−1 B．0或−2 C．−2或−1 D．−4或−2【答案】A【解题思路】分0<a<1和a>1两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解．【解答过程】∵函数y=ax在−1,2上的值域为当0<a<1时，y=ax在−1,2上单调递减，则a−1则3m=a当a>1时，y=ax在−1,2上单调递增，则a2=9，解得则3m=a综上，m=−4或−1．故选：A．24．（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数fx=t⋅4x+A．0,12 B．0,12 C．【答案】A【解题思路】设m=2x，将fx【解答过程】设m=2x，则m>0，fx当t<0时，二次函数gm当t=0时，gm当t>0时，若gm在0,+∞上有最小值，则对称轴−2t−1故选：A.一、单选题1．（2026·广西·三模）已知集合A={x|2<x<5}，B={xA．{x|2<x≤3}C．{x|3≤x<5}【答案】B【解题思路】先求出集合B，再根据并集的定义求解即可.【解答过程】由2x≤8=23，解得因为A={x|故选：B．2．（25-26高三上·北京·开学考试）设a=log30.4,b=A．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c【答案】A【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性可得a、b、c范围，即可得解.【解答过程】由a=log30.4<log3c=30.4>故选：A.3．（2026·湖南·模拟预测）“2026a>2026b≥1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】化简2026a>2026b≥1可得a>b≥0【解答过程】由2026a>2026b≥1反之不成立，例如a=−2,b=−1，显然2026a所以“2026a>2026故选：A．4．（2026·山东聊城·模拟预测）若c⋅2a=c⋅A．c<b<a B．a<b=c C．a=b<c D．b<c<a【答案】B【解题思路】根据题意，得到b>1,c>0，所以2a【解答过程】因为c⋅2a=c⋅log2作出函数y=2x，y=log2x(x>1)如图所示，当t取不同值时，可能得到：a<b<c,a<b=c,a<c<b,a=c<b,c<a<b，可得c<b<a,a=b<c,b<c<a均不可能成立，只有a<b=c可能成立.故选：B.5．（2026·甘肃白银·二模）已知2025m=2024,x=2024A．y<x<0 B．0<x<yC．y<0<x D．x<0<y【答案】C【解题思路】由已知可得0<m<1,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定x,y的正负，进而做出判定.【解答过程】∵2025m=2024，∴0<m<1，∴又∵2025m=2024，∴2024m又2025m2026m∴2026m<2025，∴∴y<0<x.故选：C.6．（2026·天津北辰·三模）已知a,b∈R，则“2a>2b”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解题思路】根据充分必要条件的定义、以及指数函数的性质判断即可.【解答过程】取a=−1,b=−2，满足2a>2所以“2a>2由a>b，可得a>b，又因为y=2所以2a>2b，所以“所以“2a>2故选：B.7．（2026·黑龙江佳木斯·三模）已知正数x，y满足2x⋅4y=A．22 B．9 C．92【答案】C【解题思路】由2x⋅4【解答过程】由2x⋅4y=4xy所以2x+y=2x+y当且仅当xy=y所以2x+y的最小值是92故选：C.8．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数f(x)=−x2−ax−a2,x<0A．−∞,−4 B．0,+∞ C．−4,0【答案】D【解题思路】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解.【解答过程】由函数f(x)=−x2−ax−a2,x<0所以a的取值范围是−4,0.故选：D.二、填空题9．（2026·北京丰台·二模）不等式2x<1【答案】(−【解题思路】把不等式化为2x<2【解答过程】由不等式2x<1因为函数y=2x为定义域R上的单调递增函数，所以所以不等式2x<1故答案为：(−∞10．（2026·陕西安康·三模）若2a=m,3b=n，则4a【答案】m【解题思路】由条件结合指数幂的运算性质可得4a=m【解答过程】因为2a=m,3所以4a故答案为：m211．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：y=eax+b（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度x为9℃的环境下保鲜时间y为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时.若该蔬菜运输总物流时间为87小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的1.2倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度x的最大整数数值为________.（参考数据：ln3≈1.099，ln【答案】14【解题思路】把x与y的值直接代入y=eax+b得到关于a、b的方程组，解出参数a的值；根据保鲜的实际要求列出不等式eax+b≥87×1.2；对其两边取自然对数转化为不等式，结合a的值即可解出【解答过程】已知保鲜时间y与贮藏温度x的关系为y=eax+b（a，当x=9时，y=261，代入得261=e当x=23时，y=29，代入得29=e将①÷②化简可得9=e9a+b−23a+b，即由运输要求y≥87×1.2=104.4，即eax+b又因261=e9a+b，所以即ax−9≥ln其中ln261=所以ln0.4≈4.648−5.565=−0.917代入a=−ln37可得−解得x≤14.84.所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为14℃.故答案为：14．12．（2026·河北张家口·一模）已知函数fx满足f−x=f2+x，当x∈−∞,1【答案】−【解题思路】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可.【解答过程】根据题意，因为函数fx满足f−x=f2+x，所以函数因为函数y=e2x在x∈−∞,1所以函数fx=e则函数fx在x∈由f0=0得f2=0，xfx解得0<x<2或x<0，所以不等式xfx>0的解集为故答案为：−∞一、单选题1．（2026·山东济宁·模拟预测）已知函数fx=2A．fx+2+1C．fx+2+3 【答案】B【解题思路】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD定义域关于原点对称，进而令gx=fx+1【解答过程】因为fx对于A，fx+2所以fx+2对于B，所以fx+1=2令gxg−x对于C，fx+2所以fx+2对于D，所以fx+1=2令gxg−x所以fx+1故选：B.2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数f(x)=−14x+1+2x3+3A．{a|a<45} B．{a∣a<5} C．{a|0<a<【答案】D【解题思路】结合指数函数、幂函数的单调性确定f(x)的单调性，构造函数g(x)=f(x)−1并探讨奇偶性，再利用性质求解不等式.【解答过程】函数y=−14x+1,y=2x3令g(x)=f(x)−1=−14x+1+2g(−x)+g(x)=−14−x不等式f(x+1)+f(a−⇔g(x+1)+g(a−x2)>0⇔g(x+1)>−g(a−依题意，a>x2−x−1在[−2,2]上恒成立，而当x∈[−2,2]时，x则a>5，所以实数a的取值范围是a>5.故选：D.3．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：周）的关系为y=at（aA．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值B．t=4时，浮萍面积就会超过20C．浮萍每周增加的面积都相等D．若浮萍面积为2m2，3m2，6m2时所对应的时间分别是t【答案】D【解题思路】根据题意可得y=2【解答过程】由图可得：函数y=at过点则2=a1，解得a=2，即对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为2t+1对于选项B：若t=4时，则y=2所以浮萍面积不会超过20m对于选项C：第二周比第一周增加y2−y即y2对于选项D：由题意可得：2=2t1所以t1故选：D.4．（2026·天津和平·三模）定义域为R的函数fx满足fx+4=2fx，当x∈0,4时，fx=12A．−∞,−2∪C．−2,0∪0,2 【答案】A【解题思路】结合题意求出函数fx在区间−8,−4上的最小值，根据题意得出f【解答过程】当x∈−8,−4时，fx≥因为定义域为R的函数fx满足f当x∈0,4时，f当x∈−8,−6时，x+8∈则f=1因为−1≤x+7<1，此时fx当x∈−6,−4时，x+8∈则fx因为−1≤x+5<1，则0≤x+5≤1，则13所以，函数fx在−8,−4上的最小值为f所以，m−14−1m≤fxmin=−1因此，实数m的取值范围是−∞故选：A.二、解答题5．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数f(x)=kax−a−x(a>0(1)若f(1)>0，求不等式fx(2)若f(1)=32，且g(x)=a2x+【答案】(1)(1,2](2)−2,【解题思路】(1)利用奇函数的性质确定参数k，由f(1)>0判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集；(2)由f(1)=32求出底数a，通过换元法将g(x)转化为关于t的二次函数，根据x的取值范围确定【解答过程】（1）由f(x)为定义在[−8,8]上的奇函数，得f(0)=0，即ka故k=1，f(x)=a由f(1)=a−1a>0，结合a>0，得af(x)=ax−a−x由f(x2+2x)+f(x−4)>0所以−8≤x2+2x≤8所以不等式fx2+2x（2）由f(1)=a−1a=解得a=2（a=−12舍去），故g(x)=22x+则22x+2当x∈[1,2]时，t=2x−函数y=t2−4t+2=(t−2当t=2时，ymin=−2；当t=15故函数y=g(x)在1,2上的值域为−2,176．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2x+a2(1)求实数a的值；(2)若g(x)=f(x)−2a2x，且对于∀x∈R，不等式【答案】(1)1(2)0,1,2【解题思路】（1）利用偶函数满足f(−x)=f(x)，求解a的值；（2）利用函数g(x)的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数m的条件求解.【解答过程】（1）因为fx=2得2−x+a整理得(a−1)2x+(1−a)因为∀x∈R,2x−12（2）由（1）知a=1，则g因为∀x∈R，g−x=而y=2x单调递增，故y=−12x单调递增，因此g(x)不等式g(x2−x−即g(x因为g(x)单调递增，所以x2−x−3只需左边的最小值大于右边即可，令hx这是开口向上的二次函数，其最小值为h因此−1>m2−2m−4，整理得m解得−1<m<3，又m为整数，故m的值为0,1,2整数m的取值集合是0,1,2.7．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为R的函数fx与gx满足：fx是偶函数，g(1)求函数fx、g(2)设px=3x−23x+2，hx【答案】(1)fx=3(2)m≤【解题思路】（1）根据函数奇偶性得到fx（2）px在R上的值域为hx在x∈0,+∞上的值域的子集，求出px在R上的值域为−1,1，换元得到hx=rt=t−12+2m−2，【解答过程】（1）因为fx+gxfx是偶函数，gx是奇函数，故故fx故①+②得fx=3（2）对于∀x1∈R，都有∃则px在R上的值域为hx在其中px因为3x+2>2，0<1所以px在R上的值域为−1,1h=3令3x−3−x=t所以t=3故hx当t=1时，rt=t−1故hx在x∈0,+∞所以−1,1⊆2m−2,+∞，故2m−2≤−18．（2026·辽宁沈阳·一模）已知函数f(x)=b⋅2x−1+1a⋅(1)求a,b的值；(2)用定义法证明f(x)的单调性；(3)当x∈[1,4]时，f(kx)+f(−x2−4)>0【答案】(1)a=2，b=−2；(2)减函数；(3)(−【解题思路】（1）利用奇函数性质得f0=0,f−1（2）利用定义法得到函数fx（3）利用奇函数性质得fkx>f4+x2【解答过程】（1）因为函数fx是定义域为R所以f0=b又f−1=−f1，即−则fx(2)由已知得fx=−任取x1,x2==2(2x故fx1>f（3）由题意得fkx>−f−因为fx所以fkx>f4+x2得到k<x+4x，且令g(x)=x+4又x+4x≥2得到g(x)min=4，得到k<4一、单选题1．（2026·上海·高考真题）a为不为1的任意实数，则a⋅3a=A．a32 B．a43 C．【答案】B【解题思路】根据指数运算即可得解.【解答过程】由a≠1，则a⋅3故选：B.2．（2026·天津·高考真题）已知函数f(x)=lnx，若a=f(20.3)，b=f(30.3)，c=f(3A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b【答案】A【解题思路】根据对数函数与绝对值的性质化简f(x)，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可.【解答过程】由题意可得f