2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版微专题4　同构思想在函数中的应用

第三章微专题4

同构思想在函数中的应用一元函数的导数及其应用视角1变量分离同构

(1)已知x＞0，y＞0，且e2x－ey＞sin2x－siny，则 (

)A．2x＜y

B．2x＞yC．x＞y

D．x＜y1【解析】

设f(t)＝et－sint，t＞0，f′(t)＝et－cost，当t＞0时，f′(t)＞0恒成立，所以f(t)在(0，＋∞)上是增函数．原不等式变形为e2x－sin2x＞ey－siny，即f(2x)＞f(y)，所以2x＞y．B

(2)若当0＜x1＜x2＜a时，x2lnx1－x1lnx2≤x1－x2恒成立，则实数a的最大值为

(

)1【解析】B1【解析】【答案】A变量分离同构策略：(2)|f(x1)－f(x2)|≤m|x1－x2|(x1＜x2)型：讨论f(x)的单调性，去掉绝对值，若f(x)在其定义域内单调递减，则有f(x1)＋mx1≤f(x2)＋mx2，研究g(x)＝f(x)＋mx；【解析】【答案】D视角2指、对跨阶同构

(1)已知函数f(x)＝ex－alnx(其中a为参数)，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(x)＞alna恒成立，则正实数a的取值范围是_________．【解析】2－1令g(t)＝et＋t，则g(x－lna)＞g(lnx)．因为g(t)为增函数，所以x－lna＞lnx，即lna＜x－lnx．(0，e)

(2)若函数f(x)＝xex－x－lnx＋a－2有两个零点，则实数a的取值范围是

(

)A．(－∞，1]

B．(－∞，0]C．(－∞，0)

D．(－∞，1)【解析】

令f(x)＝xex－x－lnx＋a－2＝0，所以xex－x－lnx＝ex＋lnx－(x＋lnx)＝2－a．令F(x)＝ex＋lnx－(x＋lnx)，定义域为(0，＋∞)，y＝2－a，令t＝x＋lnx，易知t(x)在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R，所以F(x)＝g(t)＝et－t，则函数f(x)有两个零点转化为函数g(t)＝et－t的图象与直线y＝2－a有两个交点．又g′(t)＝et－1，当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0，所以g(t)＝et－t在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(t)≥g(0)＝e0－0＝1，当t→－∞时，g(t)→＋∞；当t→＋∞时，g(t)→＋∞，则y＝2－a＞1，解得a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1)．D2－1

已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(e为自然对数的底数)．(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；【解答】2－2

已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(e为自然对数的底数)．【解答】2－2方法二：令g(x)＝xex－2－lnx－x＋1＝elnx＋x－2－(lnx＋x－2)－1．令t＝lnx＋x－2，则t∈R，令k(t)＝et－t－1，则k′(t)＝et－1，当t＜0时，k′(t)＜0；当t＞0时，k′(t)＞0，所以k(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以k(t)≥k(0)＝0，即g(x)≥0，所以f(x)≥lnx－x2－x－2．变式2

(1)若不等式ex＋a≥lnx－a恒成立，则实数a的取值范围是 (

)A．[0，＋∞)

B．[－1，＋∞)【解析】由g′(x)＞0得0＜x＜1，此时g(x)单调递增，由g′(x)＜0得x＞1，此时g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－1，所以a≥－1．B变式2

(2)已知实数x，y满足ex＝ylnx＋ylny，则满足条件的整数y的最小值为

(

)A．1

B．3 C．5

D．7【解析】

由实数x，y满足ex＝ylnx＋ylny，可得ex＝yln(xy)(x＞0，y＞0，xy＞1)，即xex＝xyln(xy)＝ln(xy)·eln(xy)．令g(x)＝xex(x＞0)，g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．又e∈(2，3)，所以满足条件的整数y的最小值为3．B变式2

(3)已知函数f(x)＝xex－a(x＋lnx)有两个零点，则实数a的取值范围是____________．【解析】

f(x)＝xex－a(x＋lnx)＝ex＋lnx－a(x＋lnx)，令t＝x＋lnx，t∈R，显然该函数单调递增，即et－at＝0有两个根，即et＝at有两个根，如图，作出函数y＝et的图象及其过原点的切线y＝et，由图可知，当a＞e时有两个交点，即et＝at有两个根．(e，＋∞)配套精练一、单项选择题A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】B【解析】B3．已知函数f(x)＝eax－2lnx－x2＋ax，若f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为 (

)C．(2e，＋∞)

D．(0，2e)【解析】【答案】A4．已知f(x)＝x(ex－1)，g(x)＝lnx，与y轴平行的直线l与f(x)和g(x)的图象分别交于A，B两点，则AB的最小值是 (

)【解析】

由题意设A(a，f(a))，B(a，g(a))，则AB＝|f(a)－g(a)|，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x(ex－1)－lnx＝ex＋lnx－(x＋lnx)．下证：ex－x≥1，设t(x)＝ex－x－1，则t′(x)＝ex－1，t′(0)＝0，当x∈(－∞，0)时，t′(x)＜0，t(x)为减函数；当x∈(0，＋∞)时，t′(x)＞0，t(x)为增函数，所以t(x)min＝t(0)＝0，即ex－x≥1，当且仅当x＝0时等号成立，所以h(x)＝ex＋lnx－(x＋lnx)≥1，当且仅当x＋lnx＝0时等号成立．【答案】A【解析】【答案】B二、多项选择题6．若0＜x1＜x2＜1，则下列结论错误的是 (

)【解析】【答案】ABD7．已知函数f(x)＝etx－lnx＋(t－1)x，若f(x)≥0恒成立，则实数t的可能的取值为 (

)【解析】

由f(x)＝etx－lnx＋(t－1)