2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版微专题11　空间几何体中的截面和轨迹问题

第七章微专题11

空间几何体中的截面和轨迹问题立体几何视角1截面问题

(1)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BC，CC1的中点，则平面EFG被正方体所截得的截面面积为______．1【解析】

(2)如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，M，N分别是线段BB′，DD′上靠近B，D的三等分点．过点A′，M，N作该正方体的截面，则截面图形的周长为____________，面积为________．【解析】

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，延长A′M交AB的延长线于E，延长A′N交AD的延长线于F，连接EF交BC于G，交CD于H，连接MG，NH，则五边形A′MGHN是过点A′，M，N的该正方体的截面．1作多面体截面的方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；(2)若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点；(3)若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点；(4)同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点；(5)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线；(6)若已知点在几何体内部，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点.变式1

(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是___________，截面的面积是_____．【解析】等腰梯形变式1

(2)已知三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为棱BB1，A1C1的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交B1C1于点E，且B1E＝2，则B1C1＝_____．【解析】6视角2轨迹问题2【解析】

如图，取BB1上靠近B1的三等分点G，B1C1的中点H，连接A1H，A1G，GH，则在正方形BB1C1C中，可得GH∥PQ．又GH⊄平面APQ，PQ⊂平面APQ，所以GH∥平面APQ．同理可由A1H∥AP，得A1H∥平面APQ．【解析】24π【解析】

取AD的中点N，连接MN(图略)．因为M，N分别为A1D1，AD的中点，所以MN∥AA1，且MN＝AA1＝2．因为AA1⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD．由NP⊂平面ABCD，得MN⊥NP．2π2【解析】【答案】B2【解析】【答案】B动点轨迹问题，若不能直接判断轨迹形状，则可以通过建系的办法来计算，通过位置或长度关系得到动点在对应平面内的方程，从而结合平面几何知识确定轨迹的位置和形状．变式2

(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是CC1的中点，N是底面正方形ABCD内的动点(包括边界)，则下列说法正确的是 (

)【解析】【答案】BD配套精练一、单项选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能是

(

)A．等边三角形

B．矩形C．等腰梯形

D．正方形【解析】

当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；当点Q不与点D，D1重合时，当Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，不可能为正方形，如图(3)．图(1)

图(2)

图(3)【答案】D2．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为截面A1C1B上的动点，若DP⊥A1C，则点P的轨迹长度是 (

)【解析】

如图，连接DC1，BD，AC．由AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得BD⊥AA1．而BD⊥AC，AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C，则BD⊥平面AA1C．【答案】B3．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，用过点A1，E，C1的平面截正方体，则截面周长为 (

)【解析】【答案】A4．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠BPC，则满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹为 (

)A．圆

B．不完整的圆C．抛物线

D．抛物线的一部分【解析】【答案】B【解析】图(1)图(2)【答案】D二、填空题6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长度为______．【解析】7．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为B1C1的中点，若点Q在侧面正方形ADD1A1内(包含边界)且MQ⊥A1C，则点Q的轨迹长度为______．【解析】

以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，M(1，2，2)，C(0，2，0)．【解析】9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别为A1D，D1C的中点，则过B，M，N三点的截面面积是_______．【解析】

连接AC，如图所示，过点B作AC的平行线交DA的延长线于点E，交DC的延长线于点F，连接EM并延长，交AA1于点G，交DD1于点T，连接FN并延长，交CC1于点H，根据对称性知T在直线FN上，连接BG，BH．10．(2025·郑州二检节选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点：(1)若过A，D1，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为_________；【解析】10．(2025·郑州二检节选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点：(2)若Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则点Q的轨迹长度为______．【解析】

连接B1C，A1C，由A1B1⊥平面B1BCC1，BC1⊂平面B1BCC1，得A1B1⊥BC1，而B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，于是BC1⊥平面A1B1C．11．(2025·石家庄一检节选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中