2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版微专题10　空间几何体的外接球与内切球

第七章微专题10

空间几何体的外接球与内切球立体几何策略1外接球补形法1【解析】B

(2)(鳖臑模型)(2025·黄山一模)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝4，AC＝6，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为

(

)A．12π

B．24πC．32π

D．52π【解析】1D【解析】18补形法适用的三种常见三棱锥(1)墙角模型——三条棱两两垂直，如图(1)；(2)鳖臑模型——四个面都是直角三角形，如图(2)；(3)对棱相等模型——三组对棱分别相等，如图(3)．图(1)

图(2)

图(3)策略2外接球底面外心定球心法2【解析】A【解析】2【答案】A

图(1)图(2)变式2

(2025·蚌埠一模)已知在三棱锥P－ABC中，△PAC是边长为3的正三角形，AB⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，则该三棱锥的外接球体积为 (

)【解析】C策略3外接球解析法定球心法3【解答】图(1)图(2)方法二：因为P，B，C，D在同一个球面上，所以球心到四个点的距离相等．在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，作出BC和CD的垂直平分线，如图(3)所示．图(3)

图(4)

策略4内切球等体积法4【解析】变式4在正四棱锥P－ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该正四棱锥内切球的表面积是 (

)【解析】【答案】C策略5内切球截面法4【解析】【答案】D

(2)(2025·太原一模)已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球O与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球O的表面积为________．5【解析】

设圆台的高为h，球O的半径为R．作出圆台的轴截面，如图所示．已知圆台的上、下底面半径分别为r＝1，R0＝3，设圆台母线长为l，圆台的轴截面(等腰梯形)的高h等于球O的直径2R．因为球与圆台侧面相切，所以OE⊥AD，则△DOE≌△DOO2，△AOE≌△AOO1，所以ED＝O2D，AE＝AO1，所以l＝AE＋ED＝AO1＋DO2＝r＋R0＝3＋1＝4，同时h＝2R．由勾股定理可得h2＋(R0－r)2＝l2，即(2R)2＋22＝42，可得R2＝3．故球O的表面积S＝4π×3＝12π．12π内切球独立截面法(1)画出过球心和切点的大圆的截面图；(2)在截面中，找到和球半径相关的直角三角形；(3)利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径．微探究多球内置问题

(1)(2025·新高考Ⅱ卷)如图，一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_______cm．6【解析】

已知圆柱的底面半径为4cm，设铁球的半径为rcm，且r＜4，当铁球半径最大时，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，因为r＜4，所以r＝2.5．2.56【解析】【答案】A配套精练一、单项选择题【解析】DA．20π

B．25π C．26π

D．34π【解析】CA．9π

B．27πC．18π

D．48π【解析】BA．100π

B．128πC．144π

D．192π【解析】A5．(2025·芜湖期末)在封闭的圆锥内有一个表面积为S的球，若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则该球表面积S的最大值为 (

)【解析】B6．(2025·苏锡常镇一模)已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为 (

)【解析】CA．12π

B．24π C．40π

D．52π【解析】D8．(2025·安庆三模)已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2．若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为

(

)【解析】【答案】B【解析】【答案】D二、填空题10．(2025·吕梁期末)若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r1r2＝2，则该圆台内切球的表面积为_______．【解析】

如图，AB为圆台的母线长，D，C分别为上、下底面的圆心，O为内切球的球心，E为球O与圆台侧面相切的一个切点．8π11．(2025·南京二模)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，它的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为______．【解析】

设正三棱柱ABC－A1B1C1的上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，如图，连接O1O2，则O为O1O2的中点，连接OB，则OB为球O的半径R．【解析】

设球O的半径为R．由题意，球O的表面积S＝4πR2＝100π，所以R＝5．设圆台的上底面圆的半径为3r，则下底面圆的半径为4r，圆台的高为h．图(1)图(2)13．(2025·晋城一模)如图，现有一个半球形容器(有盖)，其表面积为300πdm2，忽略容器的厚度，若在该容器内放入两个半