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2025–2026考研数学一线代【特征值与特征向量】综合测试卷2025–2026考研数学一线代【特征值与特征向量】综合测试卷适用：数一，满分34分；考试时长：70分钟

考点：特征值/特征向量定义、性质、相似、可对角化、实对称矩阵、矩阵多项式特征值、迹与行列式、正交对角化一、单项选择题（每题5分，共20分）设A,B为n阶方阵，若A∼B，则下列不一定成立的是（）

A.|A|=|B|

B.r(A)=r(B)

C.A,B有相同特征多项式

D.A,B有相同特征向量设三阶矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=0，则A∗（伴随矩阵）的特征值为（）

A.0,0,2设A为n阶实对称矩阵，则下列命题错误的是（）

A.A不同特征值对应的特征向量相互正交

B.A一定可以相似对角化

C.A的特征值全为实数

D.A的特征向量一定两两正交设A是3阶方阵，满足A2=E，且A≠±E，则（）

A.A必有特征值1，无特征值−1

B.A必有特征值−1，无特征值1

C.A的特征值只能为1或−1，且1,−1都存在

D.A二、填空题（每题4分，共8分）已知ξ=(1,−1,1)T是矩阵

A=2三阶矩阵A特征值λ1=1,λ2=−1,三、解答题（满分6分）设矩阵

A=322232223

参考答案与详细解析一、选择题答案：D

解析：相似矩阵有相同行列式、秩、特征多项式、特征值；但特征向量一般不同。若Aξ=λξ，B=P−1AP，则答案：A

解析：|A|=λ1λ2λ3=0；伴随矩阵性质：若Aξ=λξ,λ≠0，则A∗ξ=|A|λξ。

λ=1⇒答案：D

解析：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交；同一特征值下多个特征向量不一定正交，需要施密特正交化。答案：C

解析：A2=E⇒(λ2−1)ξ=0⇒λ2=1，特征值只能λ=1或λ=−1。

若只有二、填空题答案：a=−3,b=0

解析：Aξ=λξ

2−125a3✅修正：第三行：−1×1+b×(−1)+(−2)×1=−1−b−2=−b−3=λ⋅1=5⇒−b−3=5⇒b=−8

重新计算：

Aξ=(2+1+2,5−a+3,−1−b−2)T=(5,8−a,−3−b)T=λ(1,−1,1答案：−7

解析：矩阵多项式：若Aξ=λξ，则B=A3−2A+E的特征值μ=λ3−2λ+1三、解答题7A=3222322λ=1：(E−A)x=0

E−A=−2−2−2\-2λ=7：(7E−A)x=0

7E−A=4−2−2(2)正交矩阵P

对ξ1,ξ2施密特正交化：

β1=ξ1核心考点小结（数一）Aξ

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