鲁教版九年级数学上册《第一章直角三角形的边角关系》单元测试卷（带答案）

第页鲁教版九年级数学上册《第一章直角三角形的边角关系》单元测试卷（带答案）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在△ABC中AB=AC=5，sinB=45，则BC的长是(

)

B.6 C.8 D.92.在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA−32|+(1−tanB)2=0，且A.45∘ B.60∘ C.75∘3.如图是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点A，B，C都在格点上，若∠ADB=60°，则tan∠BAC的值为(

A.13 B.3C.12D.4.如图，6个全等的小正方形放置在△ABC中，则tanA的值是(

)A.2

B.12

C.3

D.15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，连接CE.若BE=BC，AB=10，BD=16，则tan∠BCE的值为(

A.3 B.13 C.2 D.6.如图，在△ABC中AB=AC=5，sinB=45，则BC的长是(

A.3 B.6 C.8 D.97.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP//AB交AC的延长线于P.若P(1,1)，则tan∠OAP的值是(

)

A.33 B.22 C.8.如图，在△ABC中∠ACB=90∘，AC=25，BC=6，CD是AB边上的中线，则cos∠ADCA.27 B.57 C.59.如图，在菱形ABCD中∠B=45∘，AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(

)A.2 B.6−32 C.210.如图，△ABC是等边三角形AB=6，E在AC上且AE=13AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90∘，得到线段EF.当点D运动时，则线段AF的最小值是(

A.1+23 B.2+3 C.二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.如图，点A、B、C均在6×6的方格纸的格点上，那么tan∠ABC的值为

12.计算：3cos30∘−tan45∘13.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东

度方向航行．

14.如图，在△ABC中，DE分别为ABAC的中点EF⊥BC于点FBG⊥ED交ED的延长线于点G.若∠ACB=60°EF=23EG=4则AB的长为

．

如图在菱形ABCD中AB=10sinB=45将∠B沿EF折叠使得点B落在AD边上的点G处．当CF的长度取得最大值时折痕EF的长度为________.(结果保留根号)

三计算题：本大题共1小题共10分。16.计算：4sin60四解答题：本题共5小题共80分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。17.(本小题16分)如图在Rt▵ABC中∠C=90∘BC=5

18.(本小题16分)小明学习了直角三角形的边角关系一章后发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前需要借助AI工具测量三条线段(手臂上半身腿近似看成线段)的长度以及两个角(手臂与上半身上半身与腿的夹角)的度数．小明帮甲乙两位同学测量相关数据并绘制成如下表格请根据下表提供的信息完成相关任务．动作图片任务和示意图相关条件(1)计算甲同学的成绩(线段AE的长度)AB=58cmBC=40cmCD=78cm∠ABC=150∘∠BCD=30(2)计算乙同学的成绩(线段AE的长度)AB=61cmBC=41cmCD=78.5cm∠ABC=122∘∠BCD=45∘(结果精确到0.01cm参考数据：sin77∘≈0.974cos77(1)计算甲同学的成绩.(2)计算乙同学的成绩.19.(本小题16分)

已知α是锐角且sinα=22.20.(本小题16分)九年级(1)班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图此时无人机在离地面的距离DE为40m操控者从A处观测无人机D的仰角为30∘无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为37∘又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼BC之间的距离AB为80m点ABCDE都在同一平面上．求宿舍楼BC的高度(结果取整数)(参考数据：3

21.(本小题16分)项目化学习【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考．【项目背景】为了深化课堂教学变革进一步推进初中数学单元项目化学习推进深度教学研究某校学生在学习《直角三角形的边角关系》之后在数学课上进行了项目化学习研究：【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量【设计实践任务】太阳能路灯电池板离地面高度的测量素材1光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一太阳能路灯可以利用太阳能发电其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎．某学校学生开展综合实践活动测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度．素材2如图所示已知测角仪的高度为1米在测点B处安置测角仪测得点E的仰角为45∘在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪测得点E的仰角为53∘点问题解决任务太阳能路灯电池板离地面高度的测量求电池板离地面的高度EF的长．(结果精确到0.1米参考数据：sin53参考答案1.【答案】B

【解析】略2.【答案】D

【解析】略3.【答案】B

【解析】解：由图得AD=BDAD/​/CE

∵∠ADB=60°

∴△ADB是等边三角形

∴AB=BD=AD∠ABD=60°

设菱形的边长为1

则AB=BD=AD=3

过点E作EF⊥BC于点F

∵AD/​/CE

∴∠ADB+∠DEC=180°

∴∠DEC=120°

∵BE=CE=1

∴∠EBC=∠ECB=30°

∴EF=12BE=12

由勾股定理得BF=BE2−EF2=12−(12)2=32

∵BE=CEEF⊥BC

∴BC=2BF=3

∵∠ABD=60°∠EBC=30°

∴∠ABC=180°−60°−30°=90°

∴tan∠BAC=BCAB=33

故选：B．

根据菱形的性质得出AD=DB进而利用等边三角形的判定与性质得出AB=AD=DB=3过点E作EF⊥BC于点F先求出∠BEC的度数4.【答案】A

【解析】解：如图

∵6个全等的小正方形放置在△ABC中∴∠EHF=90°HF=2EH∠HEF=∠A∴tanA=tan∠HEF=HFEH=2．

故选：A．

根据题意得到∠EHF=90°HF=2EH∠HEF=∠A5.【答案】A

【解析】【点拨】本题考查菱形的性质勾股定理及解直角三角形．∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDOB=ODAB=BC=10．∵BD=16∴OB=OD=12BD=∵BE=BC∴BE=10∠BCE=∠BEC∴OE=BE−OB=10−8=2∴tan∠BCE=tan6.【答案】B

【解析】略7.【答案】C

【解析】如图过点P作PQ⊥x轴于点Q则PQ=OQ=1．∵OP//AB∴CPAC=OCBC=12．∵∠AOC=∠AQP=908.【答案】A

【解析】解：过点A作AE⊥CD垂足为E

∵∠ACB=90∘AC=2

∴AB=∵CD是AB边上的中线

∴CD=AD=

∵△ACD的面积=1∴∴CD⋅AE=∴

解得：AE=

∴DE=在Rt△ADE中cos故选：A．9.【答案】D

【解析】∵将△ABE沿AE折叠后点B落在BC延长线上的点F处∴AE⊥BFAB=AF∴EF=BE=ABcosB=6cos45∘=32∴BF=6210.【答案】A

【解析】过点E作EG⊥BC于点G过点F作FH⊥EG于点H证明▵DGE≌▵EHFAAS则HF=EG求出HF=23即点F到直线EG的距离为23证明AM//EG得到MC=3则MG=MC−CG=3−2=1即点A到直线EG的距离为1当A,H,F三点共线时【详解】解：过点E作EG⊥BC于点G过点F作FH⊥EG于点H过点A作AM⊥BC于点M由旋转可得∠DEF=90∘则∠DEG+∠HEF=90∵EG⊥BC∴∠DGE=90∴∠EDG+∠DEG=90∴∠EDG=∠HEF∵∠DGE=∠EHF=90∴▵DGE≌▵EHF∴HF=EG∵▵ABC是等边三角形∴AC=6,CE=4,∠C=60在Rt▵EGC中EG=CE∴HF=2即点F到直线EG的距离为2∵AM⊥BC,EG⊥BC∴AM//EG∵M是BC的中点∴MC=3∴MG=MC−CG=3−2=1即点A到直线EG的距离为1∵线段ED绕点E逆时针旋转90∘得到线段∴点F在直线EG的右侧∴当A,H,F三点共线时AF取得最小值最小值为1+211.【答案】12【解析】解：设方格纸中小正方形的边长为1连接

AC．

由勾股定理得：AB=42+22=16+4=∴AB2+AC2=BC2．

∴∠BAC=90°．

在Rt△ABC

中tan∠ABC=ACAB=525=12．

故答案为：12．

连接

AC12.【答案】12【解析】解：原式=3×13.【答案】30

【解析】解：由题意得：甲船的路程：BM=8×2=16(海里)乙船的路程：BP=15×2=30(海里)MP=34海里∴B∴△BMP是直角三角形∠MBP=90°∵BM是北偏东60°方向∴BP是南偏东30°即乙船沿南偏东30度方向航行故答案为：30．

首先根据速度和时间计算BMBP的路程再根据勾股定理逆定理证明∠MBP=90°进而可解答．

本题主要考查了解直角三角形的应用−方向角问题勾股定理的应用掌握其相关知识点是解题的关键．14.【答案】2【解析】解：∵DE分别为ABAC的中点∴DE是△ABC的中位线∴DE/​/BCDE=∵EF⊥BCBG⊥ED∴四边形GBFE是矩形∴BG=EF=23∵∠EFC=90°∴∴FC=2∴BC=FB+FC=6∴DE=∴DG=EG−DE=4−3=1由勾股定理得到：BD=∵D是AB的中点∴AB=2BD=213．

故答案为：213．

判定四边形GBFE是矩形推出BG=EF=23BF=EG=4由tan∠ACB=EFFC=3求出FC=2得到BC=6求出DG=1由勾股定理求出BD=13即可得到AB的长．

本题考查三角形中位线定理矩形的判定和性质勾股定理15.【答案】32【解析】解：过点G作GT⊥BC于点T过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H如图所示：

∴∠H=90°∴△DCH是直角三角形∵四边形ABCD是菱形且AB=10∴BC=CD=AB=10AB/​/CDAD//BC∴CF=BC−BF=10−BF由折叠性质得：GF=BF∴CF=10−GF∴当GF为最小时CF为最大根据“垂线段最短”得：GF≥GT∴当点F与点T重合时GF为最小最小值为线段GT的长∵AB/​/CD∴∠DCH=∠B∴在Rt△DCH中sin∴DH=∵AD/​/BC∴根据“平行线间的距离处处相等”得：GT=DH=8∴GF为最小8此时CF的最大值为：CF=10−GF=10−8=2当CF=2时BF=10−CF=8GF⊥BC∴∠GFB=过点E作EK⊥BC于点K如图所示：

∴△EKF和△EKB都是直角三角形在Rt△EKB中sin设EK=4aEB=5a由勾股定理得：BK=由折叠性质得：∠BFE=∠GFE=∴△EKF是等腰直角三角形∴FK=EK=4a由勾股定理得：EF=∴BF=BK+FK=7a=8∴a=∴EF=4∴当CF的长度取得最大值时折痕EF的长度为3227．

16.【答案】解：4=4×=−4．

【解析】计算三角函数负整数幂零指数幂二次根式绝对值最后合并计算即可．17.【答案】解：在Rt△ABC中∠C=90∘BC=5AC=15∴tanA=BCAC=515【解析】略18.【答案】【小题1】解：如图过点B作BP⊥CD垂足为点P则∠BPC=∠BPD=90在Rt△BPC中cosC=cos∴CP=BCcos∵∠ABC=150∘∴∠ABC+∠BCD=180∴∠PBE=180又∵ED⊥CD即∠PDE=90∴四边形BPDE是矩形∴BE=DP∴AE=AB−BE=AB−PD答：甲同学的成绩是14.64cm．【小题2】解：如图过点B作BM⊥CD垂足为点M交AE的延长线于点N在Rt▵BMC中∠BMC=90cosC=cos∴CM=BCcos又∵ED⊥CDAE⊥ED则∠EDM=∠DEN=∠NMD=90∴四边形NMDE是矩形则NE=MD∠ANB=90在Rt▵BMC中∠C=45∘则又∵∠ABC=122∴∠ABN=∠ABC−∠CBM=77在Rt▵ANB中∠ANB=90sin∠ABN=sin∴AN=AB∴AE=CM+AN−CD=28.987+59.414−78.5=9.901≈9.90cm答：乙同学的成绩是9.90cm．

【解析】1.

过点B作BP⊥CD在Rt△BPC中根据三角函数的定义求出CP=34.640再证则可得∠PBE=90∘再证四边形BPDE是矩形则可得BE=DP进而可得AE=AB−BE=AB+CP−CD2.

过点B作BM⊥CD垂足为点M交AE的延长线于点N.在Rt▵BMC中根据三角函数的定义求得CM=28.987.再证明四边形NMDE是矩形则NE=MD∠ANB=90∘.在Rt▵ANB中根据三角函数的定义求得AN=59.41419.【答案】解：∵sinα=22∴α=45°∴3cos2α+sin(α−15°)tan(α+15°)−3cos(α−15°)

=3co【解析】先根据sinα=22且α是锐角求出α的度数再将特殊角的三角函数