2025届高中数学一轮复习讲义：第十章专题讲座十二 概率与统计的综合问题（含解析）

专题讲座十二概率与统计的综合问题

专题题型’各个击破题型探究•捉能力

题型概率与统计图表的综合问题

典例1某部门统计了该地区中50位农民的年收入(单位：千元)并制成如卜.频率分布直方图:

频率

W

().18

0.14

1719212325年收入“.元

⑴根据频率分布直方图，估计5。位农民的年平均收入x洞一组

每一个小矩形中点的横坐标乘频率的和.

数据用该组数据区间的中点值作代表)；

(2)由频率分布直方图，可以认为该地区农民年收入X近似服从正态分布，其中〃近似为年平均收入工，

/近似为样本方差d,经计算得一=6.92.利用该正态分布，解决下列问题(结果保留小数点后4位).

①若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于某一最低年收入标准，则该最低年收入

求出P(X>M-O)=0.8414,可得最低年收入大约为伽一。)千元.

标准大约为多少千元？

②随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1WQ位农民生至收入丕少王JL2J4壬元的

人数最有可能是

.Pl=k

设为设则1〜B(10\p),其中p=0.9773,再由笠=k—]>1得k的范围.

多少？

参考数据：

、^5之2.63,若X〜则P(*-EX%+。户0.6827;P(/z-2a<X</i+2^0.9545;P(/i-3o<X</i4-3r7)~0.997

3.

解：(1)7=12x0,04+14x0.12+16x0.28+IKxO.36+20x0.10+22x0.06+24x0.04=17.40(千元).

(2)由题意，X〜N(17.40,6.92),<7=^6^92^2.63.

IASf7

①因为P(X>"—啊+、~=°・8414,"一户17.40-2.63=14.77,

所以最低年收入标准大约为14.7?千元.

09545

②由P(X>12.14)=-2(7)-0.5+-2^0.9773,得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率约为

0.9773.

记这1000位农民中年收入不少于1214千元的人数为3则/〜RO,p),其中“=0.9773,

于是恰好有女位农民的年收入不少于12.14千元的概率是0e=k)=C13/(l-〃)103—女，

Pc=k\OOI-kxn

从而由后二得皿⑼而100g978.2773,

所以，当OS后978时,Pe="l)<P(4=A),

当979<it<l000时，Pg=k_\)>P^=k).

由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.

对点练1(2024・湖北武汉模拟)省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空

气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交绿色出行日免

费乘公交”等便民服务措施.为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计

表:

出行方式步行骑行自驾公共交通

比例5%25%30%40%

同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据、得到的频率分布直方图如图所示,

⑴求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；

⑵用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数,

求X的分布列和数学期望E(X).

解：(1)依题意可得(0.005+0.015+机+0.030+0.015+0.010+0.()05)x10=1,解得m=0.020.

因为(0.005+0.015+0.020)x10=0.4<0.5，所以中位数位于［30,40).

设中位数为X,则(O.OO5+O.OI5+O.O2O)x|O+a-3O)xO.O3O=O.5,解得x=竽.

故这12()0名乘客年龄的中位数为华.

2

⑵因为选择公共交通出行方式的频率为40%

所以X〜则X的可能取值为Q1,2,3,4.

所以尸(X=O)=C9X(T)481

625»

P(X=l)=Clx|x(l-，3=黑,

P(X=2)=C3xg)x(l-1)=|g,

2A96

5；-625,

P(X=4)=Cix(51=61265・

所以X的分布列为

X01234

812162169616

p625625625625625

9Q

所以E(X)=4x-=-

题型概率与回归分析的综合问题

典例2(2024.河南驻马店模拟)2023年是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地出台了促进经济发展

的各项政策，并取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用

各种媒体进行r大量的广告宣传，为r解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取r6个大型零售卖场(分别

编号为123,…，6),得到其宣传费用M单位：万元)和销售额义单位：万元)的数据如下表所示，

123456

力万元2356812

W万元303440455060

(1)求)，关于人的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时(结果取整数)，销售额能突破100万元.

(2)在经济活动中，人们往往关注投入和产出比值，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比值为2,

若A10,称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.

①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的、工家里检有二家是宣传策划高效卖场的概茎；

条件概率，利用条件概率P(B|A)=鬻或P(B|A)=^均可.

②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.

AAAAAAZH-QL)'A

6/=,_

附：参考数据752,回归直线方程.v=/u+a中力和〃的最小二乘估计分别为〃=,a=y—

i=iA—2

bx.

—2+3+5+6+8+12_30+34+40+45+50+60259

解：⑴x=6=6,y=6=~

£i7=22+324-52+62+824-122=282,

1=1

6_____

A弘戊二£t”259

ji三JL1752-6x6x菅

q，

所以b=------------2

6-282-6x6

编四工2

人Zxi-xyi-y以玄一nxy

i-1

【灵活运用】把题目所附的参考公式b=---------------转化为b=1-----------,即可利用题目所附的参考

EXi-x2£x?-nx2

i=li=l

数据，求出回归直线的斜率b.做关于统计的解答题，有时需要“抬头看看”，解决问题的突破口可能就藏在题目的参

考数据和括号里提示的内容中.

a=y~bx=等一3乂6=詈，所以y=3x+詈.

151449

令令+6="""解得x=]8*25.

故预测当宣传费用至少为25万元时，销售额能突破100万元.

⑵①记事件4为“抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场”，

事件B为“抽取的3家卖场中恰有1家为宣传策划高效的卖场”,

由已知数据，卖场1,2的宣传策划是高效的，卖场345,6的宣传策划是非高效的,

C3CI+C4C24del3PAB3

P(A)—3—=亍2")=占=亍所以「(阴八)=西=不

故所求概率为;.

②由题意知X的所有可能取值为0,1,2,

Cl1cici3C1C51

"=°)=足=5,P(X=D=TT=5,P(X=2)=K/

故X的分布列为

X012

31

P

555

13

所以E(X)=0x7tlxf+2x-=1.

3x2

【另解】x服从超几何分布H(3,2,6),所以E(X)=7-=L

解答时可以利用这个结论检验由分布列计算出的期望是否正确.

对点练2(2024•福建三明模拟)2023年，中国新能源汽车销售火爆，A省相关部门调查了该省2023年1月份

至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据出，>'/)(/=1,2,10),其中H表示第i个月，y表示第i

个月A省新能源汽车的销量(单位：万辆)，由样本数据的散点图，可知.V与x具有线性相关关系，并将这10个月的

数据作了初步处理，得到一些统计量的值：

101010

方说1>7

y

r=lr=l1=1

1.589.138515

附:对于一组数据数,yi),Ui,㈤，…,(4,>>„),其回归直线方程)=。+法的斜率和截距的最小二乘估计分

A»5一〃工yAA

别为力=，a=y-bx.

<=i

(1)建立)，关于％的I口I归直线方程，并估计A省12月份新能源汽车的销量.

(2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，所有费用

由某新能源汽车厂商赞助.奖项共设一、二、三等奖共三个奖项，其中一、二、三等奖分别奖励2万元、1万元、5

千元，抽中一、二、三等奖的概率分别为:，；.现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动，假设他们是否中奖

相互独立，求这两家汽车销售商所获奖金总额X(单位：万元)的分布列及均值.

解：⑴由题意,得

—1+2+3+…+9+10

X=[Q=5.5,

_ioio

又y=1.5,力渺=89.1,力3=385,

,=|i=i

10

A—10xy

»=i

所以匕=-------------

io_

2>?-i0x2

89.1-10x5.5x1.5

385-10x5.52=0,°8

a—\.5—0.08x5.5=1.06.

则)，关于工的回归直线方程为尸L06+0.()8储

A

当x=12时,y=2.02,

故A省12月份新能源汽车的销量约为2.02万辆.

(2)这两家汽车销售商所获得的奖金总额X的所有可能取值为4,3252151,

P(X=4)=悬=表，

?('=3)=2、q=§,

P(X=2.5)=2x^x-=4,

尸(X=2)=?x§=§,

P(X=l.5)=2x|x|=^,

P(X=1)=2X2=4»

则X的分布列为

X432.521.51

1

P11111

3696934

i星+4/

题型嘉概率与独立性检验的综合问题

典例3(2024.山东枣庄测试)某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样的方法从

两条生产线上共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm),得到如下统计表，其中尺寸位于［55,58)内的零件为一等

品，位于［54,55)内和［58,59)内的零件为二等品，否则为三等品.

[53,[54,155,[56,[57,158,[59,

生产线

54)55)56)57)58)59)60]

甲49232824102

乙214151716151

⑴完成2x2列联表，依据小概率值a=Q.O5的独立性检验，能否认为零件为二等品与生声线有关联?

由表格填写列联表，计算£,与3.841比较即可得答案.

一等品非一等品合计

甲

乙

合计

(2)将样本的频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以^表示

这4个零件中一等品的数量，求。的分布列和数学期望反②.

(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否这每箱零件进行检

验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则

对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.现对二箱零件随机检验了企，

设余下的50个零件中三等品个数为X,贝”〜B(50,垃则E(X)=|.

检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的

期望作为决策依据，设为Y,则Y=10x5+120X=>E(Y)=350.

判断是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

,nad—b<r

附：―—而+i，其中〃="〃+c+d；皿.。5=3.841.

解：(1)由题意得列联表：

一等品非一等品合计

甲7525100

乙483280

合计12357180

零假设为"o：零件为一等品与生产线没有关联.

,180x75x32-48x25?

彳=123x57x100x80~4,62L

因为4.621>3.841=向3,所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断为不成立，即认为零件为一等品

与生产线有关联.

(2)由已知得任取一个甲生产线零件为一等品的概率为奇=a任取一个乙生产线零件为一等品的概率为部=/

《的所有可能取值为Q123,4.

11221

W=0)=4X4X5X5=T00»

【易遗漏】自=2对应的情况包括：从甲生产线中抽取的2个零件都是一等品，且从乙生产线中抽取的2个零件

都不是一等品；从甲生产线中抽取的2个零件都不是一等品，旦从乙生产线中抽取的2个零件都是一等品；从甲生

产线中抽取的2个零件中只有1个是一等品，且从乙生产线中抽取的2个零件中只有1个是一等品.三种情况注意

不要遗漏.

尸("3)=(/6契+CH曷《|)2=盖,

P(D=C)啕2=就

所以。的分布列为

0i234

191178181

P

Too700400200400

E©=0x而+1旬+2、砺+3>：丽+4x福T而

4+2+2+1]

(3)由已知，得每个零件为三等品的频率为一两一=而.

设余下的50个零件中的三等品个数为X,则X〜450,汕所以E(X)=50x*《

设整箱检验费用与赔偿费用之和为丫元，

若不对余下的所有零件进行检验，则y=IOx5+12()X,

幽w吐侬组应we土理|三蔓9(元).【敲黑板】解此类问题常常用到期望的性质，要进行记忆：。设x

是离散型随机变量，c是常数，则E(CX)=CE(X);〃.设X,Y是任意两个离散型随机变量，则有E(X+Y)=E(X)

+E(Y);c.设X,Y是相互独立的离散型随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y);d.C是常数，则E(C)=C.

若对余下的所有零件进行检验，则总检验费用为60x5=300(元).

因为350>300,所以应对该箱余下的所有零件进行检验.

对点练3(2024.云南昆明模拟)2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有

若可爱的外表和丰富的寓意，自亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是否喜爱这

两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下(单位：人)：

性别是否喜爱合计

喜爱不喜爱

男生302050

女生401050

合计7030100

(I)根据表中数据，能否推断是否喜爱吉祥物与性别有关？

(2)现从样本的男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3

人中有X人喜爱吉祥物，求X的分布列和均值.

、nad-br

附：-晨+儿+"其中〃

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解：⑴提出统计假设为：喜爱吉祥物与性别无关.

根据表中数据得

,100x30xl0-20x402

-70x30x50x50-

=^p=4.762>3.841,

所以有不少于95%的把握认为喜爱吉祥物与性别有关.

⑵由题意，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取出的5人中，有3人喜爱吉祥物，有2人不喜爱吉祥物,

则X的可能取值为1,2,3,

del3

P(X=2)=G=彳

P(X=3)=C厂10,

所以X的分布列为

X123

331

P

1()51()

3319

则E(X)=1+2x5+3xfo=5,

题及概率、统计与函数、数列结合的多维研讨

维度1概率、统计与函数的结合

典例4(2024.贵州六校联考)为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三轮的筛选，最后剩下甲、

乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当甲、乙两人中有一人先嬴得三局比赛时，该选手获胜，比赛结束.每

局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为〃(0<〃<1).

(1)若比赛进行三局就结束的概率为.即)，

则甲连胜三局或乙连胜三局.

求加)的最小值;

(2)记⑴中，Tip)取得最小值时，〃的值为〃0,以P0作为〃的值，用X表示甲、乙实际比赛的局数，求X的分布

列及数学期望E(X).

解：⑴三局就结束比赛的概率加)=〃'+(1—〃心

利用导数研究f(p)的最小值.

r(P)=3p2-3(l-p)2=6p-3,当0<p<4时，加)<0;当;<〃vl时，/(p)>0.

所以爪〃)在(0,§上单调递减，在Q，1)上单调递增，所以当〃=；时，加)取得最小值，为公.

(2)由⑴知,P=Po=2'

设实际比赛同数为我一则X的所有可能取值为343【会审题】根据五局三胜制比赛规则，至少比赛3局，至

多比赛5局.

所以P(X=3)=Q>+(I

P(X=4)=2xC处*，

不妨设甲胜，则前三局甲胜两局，第四局甲胜.

尸(X=5)=2xcM；)2x(l-吗=],

X的分布列为

X345

133

P488

记得检验概率和是不是I.

|3333

E(X)=3x-4-4x^4-5x-=y.

对点练4(2024云南昆明一中模拟)甲、乙两人参加一个比赛，该比赛设有奖金256元，谁先标满5局，谁便赢

得全部的奖金，已知每场比赛乙届的概率为〃(0<P〈l),甲匾的概率为1-P，每场比赛相互独立.在乙赢了3局甲赢

了1局的情况下，设备出现了故障，比赛被迫终止，则奖金应该如何分配才合理？有专家提出如下的奖金分配方案：

若出现无人先赢5场且比赛意外终止的情况，则甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：

产乙分配奖金.

3

-

4求乙应该获得的奖金数;

(2)记事件A为“比赛继续进行卜.去甲获得全部奖金”,试求当比赛继续进行卜.去，甲获得全部奖金的概率为./M),

2

并判断当时，事件A是不是小概率事件，并说明理由.(注：若随机事件发生的概率小于0.05,则称随机事件为

小概率事件)

解：(I)设比赛再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙就.

339

由题知，当X=2时，乙以5：1麻，所以p(X=2)=『1=m，

3319

当X=3时,乙以5：2赢，所以尸(*=3)=『(：以下2=龛，

当X=4时，乙以5：3赢，所以P(X=4)=为川京02=急，

当X=5时，乙以5：4赢,所以尸(X=5*'".弓卜短

所以乙嬴得全部奖金的概率为得+蓑+急+短=器，

所以乙应该得奖金256x胃=252(元).

⑵设比赛继续进行卜场甲获得全部奖金，则最后一场必然甲赢.

由题知，当丫=4时，甲以5：3赢，

所以P(y=4)=(l—p)"

当y=5时，甲以5：4赢,所以P(y=5)=(l-p)xC奴(l-p)3P=4(1—〃))，

所以甲获得全部奖金的概率<4)=(1一〃)4+4(1—〃)4P=(4〃+1)(1—〃)1

P弟,1),

3

所以〃A)=4(1—〃)4-4(4〃+1)(1—〃)3=4(1—〃)3(]-/?-4p-1)=-20(1-p)/?.

.V(A)=-20(l-p)3p<0,

.\M)在;，1)上单调涕减，，兀A)M=y0)=¥x(§4=1Uo.O45Vo.05,

故事件A是小概率事件.

维度2概率、统计与数列的结合

典例5甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，

若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4,则乙

将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球传给甲，若骰子

点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷〃(〃£、')次骰子后，记球在甲手中的概率为小，则P3

=；P”=•

解析：由题意，画出示意图如下：

初始时，球在甲手中，投掷3次骰子后，球仍在甲手中有以下几种情况：

J甲一甲1甲T甲11112111111111

甲T乙一(丙一甲，甲一甲一(乙一甲，所以〃3=为受+卧铲5+展£囱+乎乎?=五.

记投掷〃次假子后，球在乙手中的概率为因为当球在甲或丙手中时，传给乙的概率均为表所以当〃22时,

2i=0二版土吐&二D《=

n次后球在乙手中，则n-l次后球在甲或丙手中(不在乙手中).

一如一1+;,所以0c当三二如七二9，

构造等比数列.

又彷弓所以所以数歹“。”一?是以《为首项，一切公比的等比数列，所以&-；=*(一；)

"T，所以