重难突破2　动态平衡　平衡中的临界与极值问题

4/4重难突破2动态平衡平衡中的临界与极值问题1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。突破点一动态平衡问题〔人教版必修第一册P81·T5改编〕如图，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F的夹角为α。（1）保持F水平，缓慢增大θ角，分析外力F和细线拉力FT如何变化？（2）保持小球位置及θ角不变，逆时针缓慢转动外力F直至竖直状态，分析外力F如何变化？（3）保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，分析外力F如何变化？三力动态平衡问题的分析方法1.解决动态平衡问题的方法矢量三角形法：一个力（F1）恒定，另一个力（F2）方向不变，第三个力（F3）大小、方向均变化。F3方向的变化引起F2、F3大小变化若F1与F2不垂直，F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sinθ相似三角形法：一力恒定，另两力方向均变化，力的矢量三角形与边长已知的三角形相似，对应边成比例关系mgH＝FN辅助圆法（或正弦定理法）：一力恒定，另外两力方向均变化，但两力夹角保持不变，可做出动态图，其中恒力为圆的一条弦，其他两力大小随位置变化正弦定理Gsin（π－2.分析动态平衡问题的流程〔多选〕（2025·江西九江三模）图甲是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景，简化图如图乙所示。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳，空调外机M缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角β保持不变，绳子质量忽略不计，则（）A.绳子P上的拉力不断变大 B.绳子Q上的拉力先变小后变大C.地面工人所受的支持力不断变小 D.地面工人所受的摩擦力先变大后变小尝试解答（2025·山东聊城二模）如图甲所示，警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄。如图乙所示，现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a静止在离半圆环最低点较近处。现使小球b缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力（）A.一直增大 B.一直减小C.先增大后减小 D.先减小后增大尝试解答（2026·重庆沙坪坝期中）某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是（）A.右手对铅球的弹力增加 B.右手对铅球的弹力先增加后减小C.左手对铅球的弹力增加 D.左手对铅球的弹力先增加后减小尝试解答突破点二平衡中的临界、极值问题1.临界、极值问题特征（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有：①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。③刚好离开接触面，支持力FN＝0。（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。2.解决临界和极值问题的三种方法物理分析法根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值数学分析法通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）极限法正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小（2026·江西景德镇期中）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。将其简化成如图乙所示，手指与球心在同一竖直面内，手指接触点1、2的连线水平且相距为L，截面半径为R＝3cm，两接触点与圆心的连线与水平方向的夹角均为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ＝0.75，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，能保持球始终静止，则L不能小于（）A.3.6cmB.4cmC.4.8cmD.5.4cm尝试解答（2026·四川泸州期中）如图所示，质量M＝23kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量m＝3kg的小球B相连。今用与水平方向成α＝30°角的力F＝103N，拉着小球带动木块一起向右匀速运动，运动中A、B相对位置保持不变，g取10m/s2求：（1）木块与水平杆间的弹力；（2）运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ；（3）当α的正切函数值为多大时，使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小？尝试解答全反力和摩擦角巧解四力平衡1.全反力：接触面对物体的摩擦力Ff与支持力FN的合力，用FR表示。2.摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称为摩擦角，用φ表示。如果近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则有tanφ＝FfFN＝μ。根据静摩擦力Ff≤μFN，可以确定适用情境：物体受四个力平衡，其中一个力为弹力，一个力为滑动摩擦力，将支持力与摩擦力合成为全反力，化四为三。本方法常常应用到求解除弹力、摩擦力和重力外的第四个力的大小、方向，有时也会应用到对动摩擦因数的求解。（2026·河北邯郸模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是