高等基础数学 3

———教案一：多元函数的极限与连续基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析作为一元函数到多元微积分的过渡内容，是工程计算、经济建模、数据分析的必备基础，契合高职层次“够用、实用”定位。该节对照一元函数的相关概念基础上，主要介绍二元函数的定义、二元函数定义域、极限等的相关概念，让学生学会知识的迁移。教学目标素质目标1.通过分组学习，培养学生协同合作学习的习惯；2.培养空间想象、逻辑推理、严谨计算的数学素养。3.树立规范表达、认真验算的科学态度与工匠精神。4.建立“数学服务专业、服务岗位”的应用意识。知识目标1.理解多元函数、二元函数、定义域、值域的概念。2.掌握二元函数的几何意义（空间曲面）。3.了解二元函数的极限与连续性定义及基本性质。能力目标1.通过完成课前预习任务，掌握自我学习和独立分析的能力；2.能求简单二元函数的定义域并图示。3.能识别常见二元函数对应的空间曲面。4.会计算简单二元函数极限，判断连续性。5.能将专业/生活问题转化为多元函数模型。教学重点1.二元函数的定义、定义域求法与表示。2.二元函数的几何意义。3.二元函数极限与连续的基本判断。教学难点1.二元函数极限的任意路径趋近思想。2.多元与一元函数极限、连续的本质区别。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习一元函数定义、极限、连续;2.预习多元函数概念、定义域。学习通发布新课资料和任务测试题1.完成预习自测；2.记录疑问点。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（5分钟）课前测试作业点评课前作业巩固旧课知识【引例讲解：圆柱体体积-新课前引入】（5分钟）【引例】正圆锥体的体积和底半径，高之间具有关系，其中，是两个独立的变量，当它们在一定范围(，)分别取值时，就有唯一确定的值与之对应.1.通过生活中的例子(长方形的面积、圆锥体的体积)引入新课；2.引导学生回顾圆锥体体积的计算公式，并给出其中的两个变量。1.认真听讲，跟随老师思路先求体积；2.观察变量个数。【二元函数的概念-新课讲解】（10分钟）定义1设在某个变化过程中有三个变量，如果变量在某一范围D内任取一对值时，变量按照一定的法则总有唯一确定的值与其对应，则称变量为的二元函数，记.称为函数的自变量，称为因变量.自变量的取值范围D称为函数的定义域.二元函数在点处的函数值，记为，或.值域.根据引例讲解二元函数的定义、定义域、函数值和值域；板书规范步骤。1.做好笔记；2.根据一元函数的知识回答二元函数的定义、定义域、函数值和值域。【例题讲解】例题讲解（15分钟）例1求二元函数的定义域．例2

求二元函数

的定义域．例3设求，讲解例题，引导学生回答例题的解题方法；总结定义域的计算方法。记笔记，在老师的引导下，参照一元函数定义域的计算方法回答例题的计算。【二元函数的极限】新课讲解（5分钟）定义2设二元函数在点处的某个邻域内有定义（可以除外），如果当以任何方式无限接近于时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数A，则称当时，有极限，记作或．1.提出问题；2.引导学生分析回答问题；3.讲解知识点，强调路径任意性。记笔记；掌握极限的定义及路径的任意性。【例题讲解】（15分钟）例5计算极限

．例6计算极限．例7计算极限.例8讨论函数

在点(0,0)处的极限问题．讲解例题，让学生对比与一元函数极限的区别（路径的任意性）1.总结分析2.对比记忆【二元函数的连续性及例题讲解】（20分钟）1.定义3

设二元函数

在点

的某邻域内有定义，且.则称函数

在点

处连续．2.对应一元函数的初等函数，二元函数也有二元初等函数.与一元函数相类似，二元函数如下述性质和定理性质二元初等函数在其定义区域内都是连续的.定理1有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得最大值和最小值;定理2有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得介于最大值和最小值之间的任何值．3.对多元初等函数，点在此函数的定义域内，那么此极限值就是函数在该点的函数值，即例8计算极限.1.提出问题；2.引导学生分析讨论回答问题；3.讲解知识点一元函数与二元函数的共性；4.例题讲解。学生看书，对照一元初等函数连续的概念、性质和定理，回答二元初等函数连续的概念、性质和定理；2.对照一元初等函数求极限的方法给出多元函数的相关结论“对多元初等函数，点在此函数的定义域内，那么此极限值就是函数在该点的函数值，即”3.在教师的引导下回答例题的解答。【课堂练习】（10分钟）课堂练习：书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答；抽学生到黑板做题，根据做题情况评讲。讨论练习；2.在老师的点评下改正错题。【课堂总结】（5分钟）归纳求二元函数定义域及极限的方法1.引导学生分析总结问题；2.答疑解惑。1.总结反思；2.应用推广。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1.发布课后作业2.批改作业，并记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思

教案二：多元函数的偏导数基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析多元函数微积分，是工程计算、经济建模、数据分析的必备基础，契合高职层次“够用、实用”定位。该节对照一元函数的变化率，讨论二元函数变化率的相关概念，让学生理解一个变量变化另一个不变的情形。教学目标素质目标1.培养空间想象、逻辑推理、严谨计算的数学素养。2.树立规范表达、认真验算的科学态度与工匠精神。3.建立“数学服务专业、服务岗位”的应用意识。知识目标理解二元函数一阶偏导数的定义；理解二元函数二阶偏导数的定义。能力目标1.会求二元函数的一阶、二阶偏导数；2.能将专业/生活问题转化为多元函数模型；教学重点求二元函数的一阶、二阶偏导数教学难点二元函数偏导数的概念教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】1.复习一元元函数的导数公式；2预习多元函数的偏导数。学习通发布一元函数的导数公式测试1.完成测试；2.预习并记录疑问点。课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【一阶偏导数】（新课讲解25）1.设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则把这个极限值叫做函数在点处对的偏导数，记作，，或．类似地，函数在点处对的偏导数记作，，或．2.对自变量的偏导函数，记作，或，,或类似地，函数对自变量的偏导函数，记作

，，或回顾一元函数导数的定义和记法；2.引导学生理解一个变量不变，只考虑一个变量的情况；3.对照一元函数导数的定义讲解二元函数点的偏导数的定义和记法；4.讲解二元函数偏导数的定义和记法。1.跟随老师思路回顾一元函数导数的定义和记法；2.根据老师的讲解记录二元函数点的偏导数的定义和记法；3.根据老师的讲解记录二元函数偏导数的定义和记法。【例题讲解】（20分钟）例1求函数在点处的偏导数．例2求的偏导数.例3求的偏导数．例4验证函数在(0,0)处对，的偏导数都为0，但在点(0,0)处不连续．分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程；3.总结计算方法。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录。【高阶偏导数】新课讲解（10分钟）如果二元函数的两个偏导数，仍是自变量的函数，若，的偏导数存在，则称这两个偏导数的偏导数为函数的二阶偏导数．这样的二阶偏导数共有四个，分别表示为；；.其中第二、第三个偏导数称为混合偏导数。定理如果函数的两个二阶混合偏导数,在区域D内连续，那么在该区域内这两个混合偏导数必相等．提出问题；2.引导学生分析回答问题3.讲解知识点，强调记法和做法。看书，讨论回答教师提问；2.记笔记，掌握二阶偏导数的记法和做法。【例题讲解】（10分钟）例5设，求，，，.1.分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程；3.总结计算方法。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录。【课堂练习】（20分钟）课堂练习：书1.解惑答疑，即时解答学生问题；2.抽学生到黑板做题，根据做题情况评讲。1.讨论解题；2.在老师的点评下改正错题。【课堂总结】（5分钟）二元函数偏导数的定义、记法及求法板书总结，答疑解惑1.总结反思2.应用推广

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1.发布课后作业2.收作业、批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思

教案三：全微分基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：1学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析学生首先复习一元函数微分的的相关知识点，我们将对比分析二元函数全微分的概念及计算，并给出二元函数全微分的相关应用。让学生感受到知识的进阶。教学目标素质目标1.通过分组学习，培养学生协同合作学习的习惯；2.培养空间想象、逻辑推理、严谨计算的数学素养；3.树立规范表达、认真验算的科学态度与工匠精神。知识目标理解二元函数全微分的概念；掌握二元函数可微与连续的关系；掌握二元函数可微的必要条件和充分条件。能力目标1.会求二元函数的全微分；2.会利用全微分求近似值。教学重点 求二元函数全微分教学难点1.二元函数可微的必要条件和充分条件2.全微分在近似计算中的应用教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】1.复习一元函数微分的概念和二元函数的偏导数；2预习多元函数全微分。学习通发布复习和预习任务1.完成复习任务；2.预习并记录疑问点课中（45分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】，（5分钟）点评课后作业点评课后作业；检查复习和预习情况巩固旧知识；根据教师点评订正错误点【引例讲解】（引入新课5分钟）【引例】设有一块矩形的金属薄板，长为，宽为．金属薄板受热膨胀，长增加，宽增加，计算金属薄板的面积增加了多少．分析讲解引；引导学生回答问题。跟随老师思路思考并回答问题【全微分的定义和定理】新课讲解（15分钟）定义如果函数在点处的全增量可以表示为，其中与，无关，是比高阶的无穷小，则称为函数在点处的全微分，记作，即，其中，．定理1若函数在点处可微，则在该点处连续．定理2（可微的必要条件）若函数在点处可微，则函数在点处必存在偏导数，且.定理3（可微的充分条件）若函数在点处的两个偏导数存在且连续，则此函数在该点一定可微．1.由引例给出全微分的定义、记法和做法；2.分析定理的条件和结论，捋清楚可微的充分和必要条件。根据教师讲解做好笔记；记录全微分的记法和思考全微分的做法；在教师的分析下捋清楚可微的充分和必要条件。【例题讲解】（5分钟）例1求函数在点处，当，时的全微分.例2计算函数的全微分.1.分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程；3.总结计算方法。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录。【全微分在近似计算中的应用】（5分钟）当，不同时为零，且与都较小时，全增量可以近似地用全微分代替，即全增量的近似公式

还可得到函数值的近似公式对照一元函数增量和函数值的近似公式讲解二元函数增量和函数值的近似公式在教师的讲解下理解并记住近似公式【例题讲解】（8分钟）例3要造一个无盖的圆柱形水池，其内半径为，池深，若水池厚度为，问大约需要用多少立方米材料？例4计算的近似值．1.分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程。1.在教师的引导下回答解题过程，理解微分在实际问题中的应用；2.记笔记，对易错点做好记录。【课堂总结】（2分钟）总结上课所学的内容1.板书二元函数全微分的定义；2.全微分的计算；3.答疑解惑。1.总结反思2.应用推广

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1.布置课后作业2.批改作业并记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思

教案四：多元复合函数和隐函数的微分法基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：3学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析作为一元函数微分到多元函数微积分，是工程计算、经济建模、数据分析的必备基础，契合高职层次“够用、实用”定位。该节对照一元函数复合函数求导的基础上，主要介绍二元复合函数的微分法相关概念。教学目标素质目标1.建立“数学服务专业、服务岗位”的应用意识；2.培养空间想象、逻辑推理、严谨计算的数学素养；3.树立规范表达、认真验算的科学态度与工匠精神。知识目标1.理解多元复合函数和隐函数的定义；2.掌握二元复合函数的求导法则和隐函数的微分法。能力目标能根据多元函数中间变量的不同情况求二元复合函数的偏导数；2.会求求隐函数的导数（偏导数）。教学重点1.求二元复合函数的偏导数；2.求隐函数的导数（偏导数）。教学难点1.求二元复合函数的偏导数；2.求隐函数的导数（偏导数）。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习一元复合函数的求导法则和隐函数的求导法则；2.预习多元复合函数。学习通发布复习测试题和预习任务1.完成复习测试题；2.完成预习任务，记录疑问点

课中（135分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（7分钟）点评测试作业，强调求多元函数的偏导数与全微分的思路和做法。点评课前作业情况巩固旧课知识；做好错题订正【二元复合函数的定义】（3分钟）定义设函数是中间变量、的函数，而、又是自变量、的函数，即,，因而是、的复合函数．举例引入二元复合函数的定义认真听讲，理解二元复合函数的定义【二元复合函数的求导（中间变量一元函数）】新课讲解（10分钟）定理1如果函数，都在点可导，函数在相应点具有连续偏导数.则复合函数在点可导，(此时称为对的全导数).且.讲解函数的复合路径和对应的求导法则。跟随老师的讲解理解并抄写求导法则【例题讲解】（10分钟）例1设，，求分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程；3.提问：可否化为一元函数？根据学生回答做说明：也可以把，代入转换成一元函数。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录；3.回答老师的提问，化为一元函数求导。【二元复合函数求导（中间变量是多元函数）】新课讲解（10分钟）定理2设，在点有偏导数，如果在相应点具有连续偏导数，则复合函数在点处的两个偏导数存在，且讲解函数的复合路径和对应的求导法则。跟随老师的讲解理解并抄写求导法则【例题讲解】（10分钟）例2设，求.1.分析讲解例题，板书规范步骤；2.提问：可否用一元复合函数的“链式法则”求导？根据学生回答做说明：可以利用一元复合函数的“链式法则”求导。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录；3.回答老师的提问，并利用一元复合函数的“链式法则”求导。【二元复合函数求导（中间变量既有一元函数又有多元函数）】例题讲解（10分钟）定理3如果函数在点有偏导数，函数在点处可导，函数在相应点处具有连续偏导数，则复合函数在点处的两个偏导数存在，且，讲解函数的复合路径和对应的求导法则。记笔记，跟随老师的讲解理解并抄写求导法则【例题讲解】（10分钟）例3设，，求.1.分析讲解例题，板书规范步骤；2.此类函数也可以将，代入二元函数，对或求偏导时，可以利用一元函数的求导法则以及复合函数的“链式法则”。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录。【隐函数的微分法】新课讲解（10分钟）定理4(一元隐函数存在定理)设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，，且，，则方程在点的某一领域内恒能唯一确定一个可导且具有连续导数的函数，它满足.定理5(二元隐函数存在定理)设函数在点的某一个邻域内具有连续的偏导数，，，且,，则方程在点的某个领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足.简单说明定理的意思学生了解【例题讲解】（15分钟）例4设确定了是的函数，且，存在及，试求.例5如果满足定理5中的条件，则方程确定具有连续偏导数的二元函数，试求，.分析讲解例题得到如下公式1.认真听讲，理解老师的分析求解；2.抄写记住公式。【例题讲解】（15分钟）例6求由方程所确定的隐函数的两个偏导数。分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程；3.总结计算方法。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录。【课堂练习】（20分钟）课堂练习：书1.解惑答疑，即时解答学生问题；2.抽学生到黑板做题，根据做题情况评讲。1.讨论解题；2.在老师的点评下改正错题。【课堂总结】（5分钟）总结上课所学的内容1.总结二元复合函数的求导法则2.答疑解惑1.总结反思2.应用推广3.接收作业

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1.布置课后作业2.批改作业并记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案五：偏导数的几何应用基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：1学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析学生首先复习一阶导数的几何意义，要有一定的空间想象能力，复习空间平面方程和空间直线方程。本节主要包含两个内容：其一是空间曲面的切平面与法线；其二是空间曲线的切线与法平面。教学目标素质目标1.培养数形结合、逻辑严谨的数学思维；2.提升空间想象能力，克服三维空间几何学习的畏难情绪；3.引导学生善于利用数学工具分析工程中的曲面、曲线模型，建立数学应用意识。知识目标1.理解空间曲线的切线、法平面的几何意义；2.理解空间曲面的切平面、法线的几何意义。能力目标1.能求解参数方程形式空间曲线的切线方程与法平面方程；2.能利用偏导数求空间曲面在指定点的的切平面方程和法线方程。教学重点1.求参数方程形式空间曲线的切线方程与法平面方程；2.求空间曲面在指定点的的切平面方程和法线方程。教学难点1.求参数方程形式空间曲线的切线方程与法平面方程；2.求空间曲面在指定点的的切平面方程和法线方程。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习一阶导数的几何意义；复习空间平面方程和空间直线方程。学习通发布复习测试题1.完成测试题；2.记录疑问点。课中（45分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【测试题点评】（5分钟）点评测试题点评测试题；检查复习情况巩固旧知识；根据教师点评订正错误点【空间曲线的切线及法平面】（新课讲解13分钟）1.空间曲线的定义（略）2.如果点为曲线上的两个点，则切线方程为法平面方程为1.简单说明空间曲线的切线方程与法平面方程的由来；2.重点分析方程的形式，要求学生记住方程。1.理解老师对空间曲线的切线方程与法平面方程由来的说明；2.抄写并背诵方程。【例题讲解】（5分钟）例1求螺旋线在点的切线及法平面方程.1.分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程；3.总结计算方法。1.在教师的引导下回答解题过程；2.对易错点做好记录。【空间曲面的切平面与法线】（新课讲解12分钟）1.切平面的定义（略）2.设曲面的方程为是曲面上一点，则切平面方程为法线方程为1.简单说明空间曲面的切平面方程与法线方程的由来；2.重点分析方程的形式，要求学生记住方程。1.理解老师对空间曲面的切平面方程与法线方程由来的说明；2.抄写并背诵方程。【例题讲解】（5分钟）例2求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.1.分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程。在教师的引导下回答解题过程。【课堂总结】（5分钟）总结本节课所学的内容总结空间曲线的切线和法平面方程；空间曲面的切平面与法线方程记方程，理清楚混淆点

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1.布置课后作业；2.批改作业并记载作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案六：多元函数的极值与最值基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节内容是多元函数微分学的综合应用，是一元函数极值问题向二维空间的推广，也是偏导数最重要的应用之一。教学目标素质目标培养空严谨的逻辑思维、规范解题步骤和精准的运算习惯；2.树立“数形结合、局部极值、整体最值”的辩证数学思想；3.培养学生分析问题、拆解复杂问题、多方案对比的科学探究素养；4增强学生“数学服务专业、服务工程”的应用意识。知识目标1.理解二元函数极大值、极小值和驻点的定义；2.掌握二元函数极值存在的必要条件，知道极值点一定是驻点或偏导数不存在的点；3.熟练掌握二元函数极值充分条件判别公式；4.理解条件极值的含义，掌握拉格朗日乘数法的解题步骤。能力目标1.能熟练使用判别公式准确判断极大值、极小值、非极值；2.会求有界闭区域上连续二元函数的最值；3.具备区分无条件极值与条件极值的审题能力，能选择正确的解题方法；4.能利用拉格朗日乘数法求解带约束条件的最值问题；5.具备数学建模能力，能将生活、工程、经济最值问题转化为多元函数极值问题。教学重点1.利用判别公式准确判断极大值、极小值、非极值；2.求有界闭区域上连续二元函数的最值；3.用拉格朗日乘数法求解带约束条件的最值问题。教学难点1.闭区域最值的边界最值分析，实际问题建模；2.利用拉格朗日乘数法求解带约束条件的最值问题。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】1.复习一元函数的极值和最值；2.预习多元函数的极值和最值。学习通发布复习测试题和预习任务1.完成复习测试题；2.完成预习任务，记录疑问点

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（5分钟）点评测试题点评测试题，强调求一元函数的极值和最值的步骤。1.巩固旧课知识；2.提出预习中出现的问题。【二元函数极值】（15分钟）极大值点（极小值点）；极大值（极小值）．定理1（极值存在的必要条件）设函数在点的某个邻域有定义且存在一阶偏导数，如果是极值点，则有

，.定理2（极值存在的充分条件）设函数在点处的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且．令

，，,．则（1）时，点是极值点，且当(或)时，点是极大值点，当(或)时，点是极小值点；（2）时，非极值点；（3）时，点可能是极值点，也可能不是极值点，需另作讨论．1.由函数在点处有极小值引入二元函数极值的定义；对照一元函数极值讲解二元函数极值存在的必要条件；说明：应该注意到偏导数不存在的点也可能是极值点；由定理2给出判断二元函数极值的方法。对照一元函数极值说出二元函数极值的定义以及如何找极值点；认真听讲，在老师的讲