高等基础数学 9

———教案一：无穷级数的概念和性质基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析无穷级数是高等数学核心模块，是函数近似计算、电工学数值分析的基础工具。本节课从“一尺之棰，日取其半”经典案例引入无穷级数定义，讲解数项级数收敛、发散判定（部分和极限法），推导等比级数敛散结论，系统梳理收敛级数5条基础性质，为后续级数审敛、幂级数展开铺垫理论基础，贴合高职工科专业数值计算、信号近似的应用需求，符合职业教育数学基础能力培养标准。教学目标素质目标培育极限思维、严谨规范的数学运算习惯，建立“有限逼近无穷”的辩证思维，提升逻辑归纳与科学分析素养。知识目标1.理解无穷级数、通项、部分和数列的定义，区分常数项级数与函数项级数；2.掌握级数收敛、发散的定义，会通过部分和极限判定等比级数敛散性并求和；3.熟记收敛级数5条基本性质，理解级数收敛的必要条件及其推论。能力目标1.能写出级数前五项、由级数前几项归纳通项；2.能用部分和极限判定简单级数敛散性，计算收敛等比级数的和；3.能利用级数收敛性质判断级数敛散、求解收敛级数的和。教学重点1.无穷级数收敛、发散的定义（部分和极限判定）；2.等比级数敛散性结论与求和公式；3.收敛级数基本性质、收敛必要条件。教学难点1.“无穷项相加依靠极限定义”的抽象思想理解；2.收敛必要条件的单向逻辑（通项趋于零≠级数收敛）；3.加括号、增减有限项对级数敛散性的影响辨析。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【预习】1.复习数列极限、等比数列前n项和公式；2.学习通推送预习问题：一尺之棰日取其半，n天后剩余长度总和表达式；3.预习教材级数定义。发布预习任务，板书等比数列求和公式完成预习题，梳理疑问课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【新课导入】（5分钟）1.引用《九章算术》“一尺之锤，日取其半，万世不竭”列出无穷累加式子；2.提问：无穷多个数相加是否一定有确定结果？引出级数收敛、发散核心问题。板书案例表达式，引导学生观察累加规律思考无穷累加的结果，记录疑问课中【无穷级数基本概念和敛散性】（20分钟）1.定义：一般地，如果给定一个数列则式子称为无穷级数，简称级数，记为.一般项（或称为通项）.2.分类：如果是常数，那么级数叫做常数项级数(简称数项级数）.如果是变量（或其他变量）的函数，级数叫做常数项级数.3.定义如果级数的部分和数列有极限s，即，那么称级数收敛，这时极限值s叫作此级数的和.如果当，的极限不存在，那么称此级数发散.1.举例讲解级数的概念和分类；2.给出收敛和发散的定义。1.理解记录级数定义和分类；2.记住收敛和发散的定义，以及收敛级数的部分和。【例题讲解和等比级数的敛散性】（20分钟）例1判定级数是否收敛，若收敛求其和.例2判别级数的敛散性例3判定无穷级的收敛性.1.由例1给出等比级数的概念，并得到结论：等比级数，当时，级数收敛，且其和为；当时，级数发散.2.根据定义讲解例2、3，引导学生的回答解题过程。认真听讲并熟记等比级数的敛散性；2.在教师的引导下学会利用定义判断级数的敛散性。【收敛级数的基本性质】（15分钟）性质1级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变.性质2两个收敛级数列逐项相加(减)后所得新级数仍然收敛，其和为.性质3添加、去掉或改变级数的有限项，其敛散性不变．性质4收敛级数中任意加括号后所成的新级数仍然收敛，且其和不变.性质5（收敛级数的必要条件）如果级数收敛，那么它的一般项趋于零，即推论1若级数的通项满足，则此级数必发散.1.举例讲解性质1-4；2.分析讲解性质5及其推论，并指出其应用；3.分析判断级数敛散性的方法。1.在教师的讲解下理解性质1-4；2.记住推论的应用；3.总结判断级数敛散性的方法。课中【例题讲解】（15分钟）例4判断级数的敛散性.例5判别级数是否收敛，如果收敛，求出级数的和.分析讲解例题，演示完整解题步骤；引导学生回答问题。老师讲解后，小组讨论解题思路。【知识巩固】（10分钟）配套习题9-1基础题型：写级数前五项、归纳通项、简单级数敛散判定教师巡视答疑，点评共性错误。学生完成任务【课堂小结】（5分钟）1.级数收敛判定核心：部分和极限；2.等比级数敛散结论；3.收敛级数5条性质+收敛必要条件易错点。引导学生自主梳理知识框架整理笔记，标记疑难问题

课后教学环节教学内容教师活动学生活动课后【巩固知识】课后作业1.布置课后作业2.批改并记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案二：常数项级数的审敛法基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：3学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节课承接级数基本概念，解决“部分和难以求解时如何快速判定敛散性”的问题，分三大模块：正项级数审敛法（比较判别法、比值判别法）、交错级数莱布尼茨判别法、任意项级数绝对/条件收敛判定。重点给出调和级数、p-级数、等比级数三大基准级数，是后续幂级数收敛域计算的核心工具，在工程近似计算、信号级数展开中广泛应用，符合高职工科数学“重方法、重应用”教学要求。教学目标素质目标培养分类讨论、对比归纳的数学思维，养成严谨验算极限、规范判别级数的计算习惯。知识目标1.掌握正项级数定义、单调有界收敛原理；熟记比较判别法及极限形式、比值判别法；2.掌握交错级数莱布尼茨判别条件；3.区分绝对收敛、条件收敛，掌握二者判定逻辑；4.熟记调和级数、p-级数敛散结论。能力目标1.能使用比较、比值判别法判定正项级数敛散；2.能用莱布尼茨判别交错级数收敛；3.能判定任意项级数是绝对收敛/条件收敛/发散。教学重点1.正项级数比较判别法、比值判别法；2.交错级数莱布尼茨判别；3.绝对收敛与条件收敛区分判定。教学难点1.比较判别法中基准级数的选取；2.比值判别法ρ=1失效的情况理解；3.条件收敛与绝对收敛逻辑区分。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【预习】1.复习级数收敛定义、等比级数敛散；2.预习正项级数定义、调和级数形式；发布预习习题，回顾上节课核心知识点完成预习，梳理不懂的判别逻辑课中（135分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【知识引入】（5分钟）提问：如何判别级数的敛散性？复杂级数难以求部分和，如何快速判断敛散？引出学习各类审敛法必要性。学生讨论，在教师的引导下回答问题课中【正项级数的比较判别法】（20分钟）1.比较判别法设正项级数和，满足；若级数收敛，则收敛.（2）若级数发散，则发散.这种判别法称为正项级数的比较判别法.比较判别法的极限形式设级数和是两个正项级数，若则这两个级数的敛散性相同.1.详细讲解正项级数的比较判别法；2.比较判别法的极限形式，标注适用场景。1.认真听讲，记录比较判别法的适用条件；2.记住比较判别法的极限形式适用情况。课中【例题讲解】（20分钟）例1级数称为调和级数.试判别其敛散性.例2：讨论级数的的敛散性.例3：用比较判别法判别下列级数的敛散性：（1）;（2）.例4判别级数的敛散性.1.分析证明例1中调和级数的敛散性；2.通过例2给出级数的敛散性；3.分析讲解例3，引导学生回答解题过程；4.分析例4适用“比较判别法的极限形式”。1.了解例1、2，记住级数的敛散性；2.在教师的引导下回答例3的解题过程；3.理解例4适用“比较判别法的极限形式”。课中【正项级数的比值判别法】（10分钟）若是正项级数，且则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散，方法失效.分析讲解比值判别法理解记忆比值判别法课中【例题讲解】（10分钟）例5判别下列级数的敛散性（1）；（2）.1.分析讲解例题，并总结比较和比值判别法适用的情况；2.引导学生回答解题过程。1.认真听讲，记录比较和比值判别法适用的情况；2.在教师的引导学生回答解题过程。课中【课堂练习】（15分钟）课堂练习：解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答；2.点评共性错误。1.同组同学讨论解题；2.在老师的点评下改正错误。课中【绝对收敛与条件收敛】（20分钟）1.定义设，下列级数：称为交错级数，交错级数判别法若交错级数满足：（1）（2）则交错级数收敛.3.（1）若级数收敛，则级数一定收敛.此时称级数绝对收敛.（2）若级数收敛，则级数发散.此时称级数条件收敛.（3）若级数发散，则级数可能收敛也可能发散.1.提问：交错级数的定义？交错级数判别法？绝对收敛与条件收敛的关系？2.根据学生回答依次讲解新知识。1.看书回答教师的提问；2.记录并记忆交错级数判别法以及绝对收敛与条件收敛的关系。课中【例题讲解】（30分钟）例6判别下列级数的敛散性;（2）.例7指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：;（2）1.分析讲解例题，并总结交错级数判别步骤；2.引导学生回答解题过程。1.认真听讲，记录交错级数判别步骤；2.在教师的引导学生回答解题过程。课中【课堂练习】（10分钟）课堂练习：解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答；2.点评共性错误。1.同组同学讨论解题；2.在老师的点评下改正错误。【课堂小结】（5分钟）正项级数比较判别法和比值判别法；级数的敛散性；交错级数判别法；总结判断级数敛散性的步骤。引导学生归纳总结梳理知识点，形成知识框架，提出疑问

课后教学环节教学内容教师活动学生活动课后【巩固知识】课后作业1.布置课后作业2.批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案三：幂级数基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析幂级数是最常用的函数项级数，本节课讲解幂级数定义、收敛域、收敛半径求解、幂级数逐项求导积分性质，以及函数展开为幂级数的直接、间接展开法。幂级数用于函数近似计算、电工信号分解，是工科专业数值分析核心工具，承接前两节常数项级数审敛法，为微分方程近似求解奠定基础，贴合高职工科专业应用需求。教学目标素质目标1.培养变量代换、等价转化的数学思维；2.建立函数近似逼近的工程应用意识，提升公式归纳、规范运算素养。知识目标1.理解幂级数、收敛点、收敛域、和函数定义；2.掌握收敛半径R的求解公式，会判定收敛区间；3.熟记幂级数逐项求导、积分性质（收敛半径不变）；4.掌握泰勒/麦克劳林直接展开法、间接展开法，熟记5组基础函数幂级数展开式。能力目标1.能求幂级数收敛半径、收敛区间；2.能利用逐项求导积分求幂级数和函数；3.能用间接展开法将初等函数展开为幂级数。教学重点1.幂级数收敛半径、收敛区间求解；2.幂级数逐项求导、积分性质；3.函数间接展开成幂级数。教学难点1.间接展开中变量替换、求导积分的综合运用；2.求和函数与收敛域。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动课前【预习】1.复习比值判别法、基础初等函数求导积分；2.预习幂级数定义；推送求导和求积分复习题；完成复习，预习幂级数概念课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动课中【幂级数的概收敛域、和函数】（15分钟）1.幂级数定义、收敛域、和函数；定义：形如的函数项级数叫做幂级数.收敛域、和函数例1：求幂级数的收敛域及和函数；1.提问：幂级数的形式？收敛域、和函数？如何求收敛域、和函数？2.根据学生回答讲解知识；3.分析讲解例1。1.看书回答问题；2.在教师的引导下回答例1的解答过程。课中【幂级数的收敛半径和收敛域】（5分钟）定理1对于幂级数，令(正数R为级数的收敛半径)，则有（1）如果时，则当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数可能收敛，也可能发散.（2）如果，则幂级数在内绝对收敛.（3）如果，则幂级数仅在收敛．分析讲解定理认真听讲，抄写记忆定理结论课中【例题讲解】（20分钟）例2求下列幂级数的收敛半径及收敛区间．;(2);(3).例3：求幂级数的收敛半径及收敛区间；分析讲解例题；引导学生回答解题过程。1.做好笔记，在教师的引导下回答解题过程；2.不会的地方随堂提问。课中【幂级数的运算性质和例题讲解】（10分钟）性质1设幂级数和的收敛半径分别为和，和函数分别为和，，则幂级数的收敛半径为，且.性质2幂级数在收敛区间内可以逐项求导.性质3幂级数在收敛区间内可以逐项积分.例4：求幂级数的收敛域。1.分析讲解性质1、2、3。2.利用性质分析讲解例题；3.引导学生回答解题过程。1.认真听讲，记录幂级数的运算性质；2.在教师的引导学生回答解题过程。课中【函数展开成幂级数幂级数】（10分钟）直接展开法步骤：(1)求出函数的各阶导数(2)求出函数及函数的各阶导数在处的值.（3）写出幂级数，则间接展开法对已知展开式进行运算得到新的函数的幂级数展开式.教师直接给出幂级数的直