高等基础数学 11

———教案一微分方程的基本概念和可分离变量的微分方程基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节是常微分方程入门的第一课，首先介绍一些基本概念，如定义、阶、解、通解、特解、初始条件、初值问题，其次讲解可分离变量微分方程的解法。微分方程是运用微积分解决工程、物理、生物变化规律的核心工具，广泛用于变化率、增长衰减、冷却模型等专业场景。教学目标素质目标1.将微分方程转化为积分运算，体会未知问题向已知知识转化的化归思想；2.养成步骤规范、考虑周全严谨推理的学习习惯；3.通过微分方程刻画现实动态变化，培养用数学语言描述变化规律的建模思想。知识目标1.感知并了解微分方程的概念；2.理解微分方程的阶、通解、特解、初始条件等概念；3.掌握可分离变量微分方程的特点和求解步骤。能力目标1.能判断微分方程和可分离变量的微分方程；2.能读懂简答变化规律问题，初步建立微分方程模型；3.会求可分离变量微分方程的通解和特解。教学重点微分方程的通解、特解；可分离变量微分方程的解法。 教学难点1.微分方程的通解、特解等概念的理解；2.可分离变量微分方程的特点。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习1.一元函数微积分公式；2.不定积分的积分方法。学习通发布任务测试题1.完成预习自测；2.记录疑问点。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（10分钟）课前测试作业点评课前作业，帮助学生复习积分公式和积分方法。巩固旧课知识【引例】新课前引入（12分钟）【引例1】已知曲线上任一点处的切线斜率为，曲线过点(1,2)，求曲线方程？【引例2】我国是世界上高速铁路系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行速度最高、在建规模最大的国家，已处于世界领先水平.假设某次列车以(相当于)的速度匀速行驶，当制动时列车获得加速度.问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车在开始制动后s时行驶了m.根据题意，反应制动阶段列车运请学生看书，试着求解引例1、2；讲解引例1、2；并引入新课：引例1、2含有未知函数的导数或者微分，就是微分方程。1.看书，试着求解引例1、2；2.带着疑问认真听讲，跟随老师思路，理解微分方程的定义。【微分方程的概念】（15分钟）定义表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．方程中未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶．如果函数满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解．如果微分方程的解中含有任意常数的个数与微分方程的阶数相同时，这样的解叫做微分方程的通解．当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值，这种条件称为初始条件．满足给定初始条件的解(不含任意常数)，称为微分方程满足该初始条件的特解．提问：微分方程的阶、通解、特解、初始条件？（学生看书回答）根据学生回答，举例讲解微分方程的定义、阶、解、通解、特解和初始条件。1.看书回答问题；2.微分方程的阶、通解、特解、初始条件等概念。【例题讲解】（8分钟）例1验证是微分方程的通解，并求该方程满足初始条件的特解.例2验证是微分方程的通解，并求该方程满足初始条件的特解.请学生思考做题；引导学生回答例题的解题过程。请学生思考做题；回答例题的解题过程。【可分离变量的微分方程】（15分钟）1.定义形如()的微分方程称为可分离变量的微分方程。2.可分离变量的微分方程的解法：(1)分离变量，将方程分离成(2)方程两端同时积分，方程左端对变量积分，方程右端对变量积分，即，便可求出其通解．此方法也称为分离变量法.1.举例说明可分离变量的微分方程的形式；2.举例说明可分离变量的微分方程的解法。学生跟随老师的思路熟知可分离变量的微分方程的形式；2.理解并掌握可分离变量的微分方程的解法。【例题讲解】例题讲解（15分钟）例1求下列微分方程的通解．;(2).例2求微分方程的通解和满足得特解.讲解例题，引导学生回答例题的解题过程。在老师的引导下回答例题的解题过程，巩固可分离变量的微分方程的解法。【课堂练习】练习（15分钟）课堂练习：书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答；2.根据做题情况评讲。同组同学讨论解题；2.在老师的点评下改正错误。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书布置课后作业完成并相互批改作业 教学反思教案二齐次微分方程一阶线性微分方程基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析齐次微分方程通过变量代换，将不可直接分离变量的微分方程，转化为可分离变量的微分方程，体现数学化繁为简的核心思想。一阶线性微分方程是工程中应用最广的微分方程，是后续微分方程的基础。教学目标素质目标1.通过齐次方程的换元、复杂方程的标准化，培养化繁为简的数学转化思维；2.通过公式识别、符号处理、积分运算培养一丝不苟的解题品质；3.培养利用数学方程描述动态变化规律的建模素养。知识目标1.理解齐次微分方程的概念；2.准确识别齐次微分方程的类型；3.记住一阶线性非齐次微分方程的特点；4.熟记一阶线性微分方程的通解公式，理解公式结构与由来。能力目标1.会求解齐次微分方程；2.会求解一阶线性微分方程。教学重点齐次微分方程的解法；2.一阶线性非齐次微分方程的解法。教学难点识别齐次微分方程；2.将一阶线性非齐次微分方程整理成标准形式。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习可分离变量的微分方程的解法和不定积分积分方法。学习通发布任务测试题1.完成自测题；2.记录疑问点。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（5分钟）点评测试作业，复习不定积分的计算方法.1.点评课前作业情况；2.强调不定积分的计算方法。巩固旧课知识，回顾不定积分的计算方法。【齐次微分方程】新课讲解（20分钟）齐次微分方程的定义形如的形式，就称这方程为齐次方程。齐次微分方程的解法(1)令，即.(2)两边对求导，得，(3)代入方程，得，（4）分离变量，两边积分，得,求出积分后，再将回代，就得到该齐次方程的通解.举例讲解齐次微分方程的定义；2.举例讲解齐次微分方程的求解步骤。1.记笔记，记住齐次微分方程的形式；2.跟随老师思路理解齐次微分方程的求解步骤。（学生选择掌握）【例题讲解】（20分钟）例1求解方程.例2求微分方程满足条件的特解.1.根据齐次微分方程的求解步骤讲解例题；2.引导学生回答解题过程。认真听讲并记笔记；2.在老师的讲解下理解齐次微分方程的求解步骤。（学生选择掌握）【一阶线性微分方程】新课讲解（20分钟）1.一阶线性微分方程的定义或的方程称为一阶线性微分方程．2.一阶非齐次微分方程的通解.1.举例讲解一阶线性微分方程的定义；2.利用常数变易法推导出一阶非齐次微分方程的通解。1.理解一阶线性微分方程的形式；2.理解常数变易法，记住一阶非齐次微分方程的通解。【例题讲解】（12分钟）例1求解方程．例2求微分方程的特解．分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程。认真听讲记笔记；2.在教师的引导下回答解题过程；3.巩固一阶非齐次微分方程的通解。【课堂练习】练习（10分钟）课堂练习：书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答；2.根据做题情况评讲。同组同学讨论解题；2.在老师的点评下改正错误。【课堂总结】（3分钟）总结1.齐次微分方程的形式和解法；2.一阶线性微分方程的形式及通解公式。1.板书总结内容；2.答疑解惑。1.总结反思；2.提出问题。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1布置课后作业；2.记载学生作业中出现的问题。完成并上交作业 教学反思教案三二阶常系数线性微分方程基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析二阶常系数线性微分方程是承接一阶微分方程内容，是一阶微分方程的延伸与提升，是工科专业使用率最高的微分方程模型，广泛用于振动问题、机械波动和信号系统等工程领域。本节建立了“特征方程法”求解微分方程的全新思路。教学目标素质目标1.通过特征方程法，建立“微分问题代数化”的高级数学建模思维，体会“化繁为简”的数学思想；2.通过三类特征根分类讨论，培养分类辨析、条理清晰、系统归纳的科学思维；3.通过符号规范书写、类型严格区分、培养严谨细致、求真务实的治学态度。知识目标1.了解二阶常系数线性微分方程及解的结构；2.理解二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式和对应的特征方程；3.熟记三种特征根对应的通解公式；4.了解二阶常系数线性非齐次微分方程及解的构成。能力目标1.会求二阶常系数线性齐次微分方程的通解和特解；2.学会求、、的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解和通解。教学重点二阶常系数线性齐次微分方程特征方程构造和三种特征根对应的通解公式；2.二阶常系数线性非齐次微分方程通解。教学难点二阶常系数线性齐次微分方程通解结构的理解；根据的不同形式设出二阶常系数线性非齐次微分方程一个特解的过程。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习一阶线性非齐次微分方程的通解公式。学习通发布任务测试题1.完成自测题；2.记录疑问点。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（5分钟）点评测试作业点评课前作业情况巩固旧课知识【二阶常系数线性微分方程解的结构】新课讲解（15分钟）理1如果函数与均是方程的解，则也是该方程的解，其中为任意常数.定理2如果与是二阶线线性齐次方程的任意两个线性无关的特解，则就是该方程的通解，其中为任意常数．例1求证：函数是微分方程的通解.1.简单说明定理1和定理2；2.引导学生做例1。1.在老师的讲解下理解定理1和定理2；2.做例1。【二阶线性常系数齐次微分方程的解】新课讲解（15分钟）的特征方程为，对应的微分方程的解为：(1)若与为两个不相等的实根，通解为；(2)若与为两个相等的实根，通解为；(3)若与为两个共轭复根，通解为其中、为任意常数1.推理讲解二阶线性常系数齐次微分方程的特征方程；2.写出根据特征方程根的情况对应的二阶线性常系数齐次微分方程的通解。1.理解并记住二阶线性常系数齐次微分方程的特征方程；2.记住根据特征方程根的情况对应的二阶线性常系数齐次微分方程的通解。【例题讲解】（20分钟）例2求下列微分方程的通解．（1）(2)(3)(4)例3求满足初始条件，的特解．1.分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程。1.认真听讲记笔记；2.在教师的引导下回答解题过程；3.巩固一阶非齐次微分方程的通解。【二阶线性常系数非齐次微分方程的解】新课讲解（20分钟）定理3设是二阶线性非齐次方程的任一特解，是与该方程对应的齐次线性方程的通解，则就是方程的通解.定理4设有线性非齐次方程.如果与分别是方程与方程的解，则就是原方程的解.有如下的结论：如果，那么，二阶常系数非齐次线性方程的特解形式，其中和的次数相同的多项式的一般式，为整数，按不是特征根、是特征单根、特征重根分别取；指数函数由微分方程本身确定(方程右边不含指数函数时，).1.分析帮助学生了解定理1和定理2；2.分析帮助理解并记住根据的不同形式设出二阶常系数线性非齐次微分方程一个特解