13.3.1 三角形的内角（第2课时）

13/13第十三章三角形13.3与三角形有关的角13.3.1三角形的内角

第2课时直角三角形的性质和判定一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

【过程与方法】会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。【情感态度与价值观】让学生体会从一般到特殊的思想。二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】 探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。【教学难点】经历直角三角形性质的探索过程，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题，会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。五、课前准备 教师：课件、三角尺、量角器等。学生：三角尺、直尺、量角器。六、教学过程（一）导入新课本节课开始之前，先给大家讲一个故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.（出示课件2）（二）探索新知1.探索直角三角形的性质教师问1：三角形的内角和是多少度？学生回答：三角形内角和为180°.教师问2：我们学习过的三角形按角分类，分为哪些呢？学生回答：所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么吗？出示直角三角形的图形：学生回答：直角三角形.教师讲解：那么老师说它不一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来教师问3：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?

（出示课件4）学生回答：30°+60°=90°，45°+45°=90°.教师让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，等同学们画完以后，让同位互换所画的三角形.教师问4：请同学们量出自己手中的直角三角形的两个锐角，计算一下它们的和是多少度？学生回答：两个锐角的和是90°.教师问5：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？如何证明呢？（出示课件5）学生回答：在直角三角形ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B=90°.

教师问6：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？学生回答：直角三角形的两个锐角互余.教师总结：（出示课件6）直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．应用格式：

在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．

探究1：利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数例1：（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？（出示课件7）

图图师生共同解答如下:方法一（利用平行的判定和性质）：

∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠D.

方法二（利用直角三角形的性质）：

∵∠B=∠C=90°，

∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.

∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠D.

（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.（出示课件8）

图图解：∠A=∠C.

理由如下：

∵∠B=∠D=90°，

∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.

∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠C.出示课件9，学生自主练习解答。例2：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？（出示课件10）

师生共同解答如下：解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°–∠AEC.

在Rt△BDE中，∠DBE=90°–∠BED.

∵∠AEC=∠BED，

∴∠CAE=∠DBE.总结点拨：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？（出示课件12）

基本图形：∠A=∠D∠A=∠C2.活动探究直角三角形的判定方法教师问7：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？学生讨论后回答：有两个角互余的三角形是直角三角形.教师问8：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？（出示课件13）

学生小组讨论给出证明如下：在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.

教师总结：（出示课件14）直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.应用格式：

在△ABC中，

∵∠A+∠B=90°，

∴△ABC是直角三角形．探究2：利用直角三角形的判定定理识别直角三角形例：如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？（出示课件15）

师生共同解答如下：解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°.

即△ADE是直角三角形.例：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？（出示课件17）

师生共同解答如下：解：△ABD是直角三角形.理由如下：

∵CE⊥AD，

∴∠CED=90°，

∴∠C+∠D=90°，

∵∠A=∠C，

∴∠A+∠D=90°，

∴△ABD是直角三角形.（三）课堂练习（出示课件20-23）1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=________.

3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.

4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A．∠A+∠B=∠C

B．∠A–∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3

D．∠A=∠B=3∠C

6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）

A．∠BB．∠A

C．∠BCD和∠AD．∠BCD7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．

参考答案：1.90°

2.52°3.直角三角形4.B5.D6.C7.证明：∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠ACD=∠B，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴△ACD是直角三角形.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1．直角三角形的内角有什么关系？答：直角三角形的两锐角互余．2．目前已学的直角三角形的判定方法：答：(1)有一个角是直角；(2)两边互相垂直；(3)有两个角互余．（五）课前预习预习下节课（13.3.2）的相关内容。知道三角形外角的定义和三角形外角的性质及外角和的度数七、课后作业1、教材14页练习和教材16页第4题2、如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．

八、板书设计：13.3.1三角形的内角（第2课时）直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC例1：例2：有两个角互余的三角形是直角三角形.

应用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．例3：例4：九、教学反思：老师根据本节课同学们的课堂表现，积极反思教学过程，对这样的教学方法做出改进。了解同学们的自主学习、探索能力，为以后教学提供经验。综合训练一、选择题1.下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cm D.13cm,12cm,20cm2.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上的一点,延长CA到点E,连接EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是()A.∠1>∠2>∠3 B.∠2>∠3>∠1C.∠3>∠1>∠2 D.∠3>∠2>∠13.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,则这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对4.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的长度之差为()A.2cm B.3cm C.6cm D.12cm5.如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD的度数是()A.145° B.150° C.155° D.160°6.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是()A.7 B.10 C.35 D.707.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,则∠1的度数为()A.75° B.65°C.45° D.30°8.如图,直线l1∥l2,且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3等于()A.45° B.50°C.55° D.60°二、填空题9.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是.10.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°,且∠AEF=∠AFE,则∠A的度数是.11.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则α的度数是.

12.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2的度数是.

三、解答题13.如图,在△ABC中,BD是角平分线,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,连接DE,GF,且满足GF∥BD,∠1=∠2,若∠AED=70°,求∠2的度数.14.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.15.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.16.问题引入:(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),并说明理由.

(2)如图②,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,若∠A=α,则∠BOC=(直接写出,用α表示)(3)如图③,∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由类比研究:(4)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1n∠DBC,∠BCO=1n∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(直接写出,用α表示)综合训练一、选择题1.D2.A3.C当4cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰长时,三边分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为14cm.故这个等腰三角形的周长为13cm或14cm.4.C5.B由题意知x°+2x°+3x°=180°,解得x=30,所以∠BAD=180°-30°=150°.6.C因为一个正n边形的每个内角为144°,所以144n=180×(n-2),解得n=10.正十边形的所有对角线的条数是10×(107.A∠1的对顶角所在的三角形中,另两个角的度数分别为60°,45°,所以∠1=180°-(60°+45°)=75°.8.C二、填空题9.360°10.40°因为AB∥CD,所以∠EFB=∠DCF=110°.所以∠EFA=∠AEF=180°-110°=70°.所以∠A=180°-∠EFA-∠AEF=180°-2×70°=40°.11.72°正五边形的一个内角是108°,正方形的一个内角是90°,所以∠α+90°+90°+108°=360°,解得∠α=72°.12.225°∵∠A=45°,∴