13.3.2 三角形的外角

15/15第十三章三角形13.3三角形的内角与外角13.3.2三角形的外角一、教学目标【知识与技能】了解三角形的外角的两条性质,能利用三角形的外角性质解决问题.【过程与方法】经历观察、探索、交流等过程,增强表达能力和推理能力.【情感、态度与价值观】通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现,敢于实践及合作交流的习惯.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】 1.了解三角形外角的概念及性质.2.能利用三角形外角的性质解决简单问题.【教学难点】1.能够证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”.2.了解“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的应用范围，并能解决简单问题. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等。学生：三角尺、直尺。六、教学过程（一）导入新课在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？（出示课件3）

（二）探索新知1.创设情境，导入三角形的外角的概念问题引入：发现老鼠独自在O处后，小猫打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住老鼠返回鼠窝的去路，小猫则直接在B处拦截老鼠，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.小猫从C处要转多少度角才能直达B处？（出示课件5）教师问1：题目中“小猫从C处要转多少度角才能直达B处？”就是求那个角的度数？学生回答：从图上看出就是求∠BCD的度数.教师问2：我们知道三角形的内角和是180°，利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？学生回答：由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.

教师问3：像∠BCD这样的角有什么特征吗？（出示课件6）学生回答：一条边是三角形的边，另一条边不是三角形的变.教师问4：在问题中，像∠BCD这样的角被称为三角形的外角，根据∠BCD的构成，你能说明什么叫三角形的外角吗？学生讨论回答：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.教师总结如下：（出示课件7）如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.

∠ACD是△ABC的一个外角.教师问5：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？学生回答：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.教师问6：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？

学生回答：∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角.

（出示课件8）教师问7：根据定义，画出三角形的外角.你能画出多少个？学生回答：如图，可以画出6个外角.教师问8：这几个角有什么关系？(位置关系和数量关系)学生回答，教师补充说明如下：（出示课件9）每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.

教师总结如下：（出示课件10）三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；

②角的一边是三角形的一边；

③另一边是三角形中一边的延长线.2.手脑并用探索三角形外角的性质及外角和教师问9：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°，求∠BAC的度数及三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数.学生回答：∠BAC＝75°，∠1＝105°，∠2＝115°，∠3＝140°.教师问10：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？

学生回答：∠BCD与∠ACB互补.

（出示课件12）教师问11：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？

学生回答：∠A+∠B=∠BCD.

教师问12：你是怎么得出结论的呢？学生回答如下：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B=∠BCD.

教师问13：观察你的结论，你能发现三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗？学生讨论回答，教师总结：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.教师问14：试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.学生回答：已知：在△ABC中，∠1是三角形的一个外角.求证：∠1＝∠A＋∠B.证明：∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B.∵∠1与∠ACB是邻补角，∴∠1＋∠ACB＝180°.∴∠1＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B.教师问15：你能用作平行线的方法证明此结论吗？学生讨论并回答：（出示课件14）已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.

证明：过C作CE平行于AB，∴∠1=∠B，

（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A，

（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

教师总结如下：（出示课件15）三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：

∵∠ACD是△ABC的一个外角.

∴∠ACD=∠A+∠B.

教师问16：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°，∠BAC=75°则三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数之和是多少呢？学生计算并回答：∵∠BAC=75°，∴∠1=105°，同理可得：∠2=115°，∠3=140°.∴∠1+∠2+∠3=105°+115°+140°=360°3.利用三角形外角的性质求角的度数（出示课件17）例：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数。师生共同解答如下：解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°∴∠BFC=88°.出示课件18，学生自行练习解答，教师给出答案。4.借助辅助线求角的度数（出示课件19-20）例：如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．共同分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解答如下：解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.出示课件21-26，教师带领学生一起解答，并给出答案。教师问17：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？（出示课件27）

学生回答：解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

∠BAE=∠2+∠3，

∠CBF=∠1+∠3，

∠ACD=∠1+∠2.

又知∠1+∠2+∠3=180°，

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD

=2(∠1+∠2+∠3)=360°.

（出示课件28）解法二：如图，∠BAE+∠1=180°，①

∠CBF+∠2=180°，②

∠ACD+∠3=180°，③

又知∠1+∠2+∠3=180°，

①+②+③得

∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–180°=360°.

（出示课件29）解法三：过A作AM平行于BC，∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，∠2＋∠3＝∠4＋∠BAM，

所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°

教师总结：三角形的外角和等于360°.出示课件30-32，学生解答练习。

（三）课堂练习（出示课件33-38）1.判断下列命题的对错.

（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）

（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）

（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）

（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）

（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）

（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（）

A．24° B．59° C．60° D．69°3.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.

4.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是________的外角；

（2）若∠B=45°，∠BAE=36°，∠BCE=20°，试求∠AEC的度数.

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．6.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

参考答案：1.（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×（6）√2.B3.360°4.（1）△ADC△ADE（2）解：根据三角形外角的性质有

∠ADC=∠B+∠BCE，

∠AEC=∠ADC+∠BAE.

所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE

=45°+20°+36°=101°.5.解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．

∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；

（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，

∴∠CEB=90°﹣65°=25°．

∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．

6.解：∵∠1是△FBE的外角，∴∠1=∠B+∠E，同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中，

∠C+∠1+∠2=180º，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=180º.

（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:(1)三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系,在应用三角形外角的性质及内角和定理时,一定要注意外角与和它相邻的内角是互补关系.(2)三角形的外角性质的应用:可以用来计算角的大小,也可以用来判断相关角的不等关系.(3)三角形的外角和是360°.（五）课前预习预习下节课（14.1）的相关内容。1.知道全等形、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角等概念2.了解全等三角形的性质七、课后作业1、教材第16页练习和教材17页第11题2、已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?八、板书设计：九、教学反思：本节主要介绍三角形的外角及其性质，是一节探究课.本节的知识是要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，教师放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.在教学设计上，利用变式训练让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要，在获得数学活动经验的同时，提高学生探究、发现和创新的能力.综合训练一、选择题1.下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cm D.13cm,12cm,20cm2.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上的一点,延长CA到点E,连接EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是()A.∠1>∠2>∠3 B.∠2>∠3>∠1C.∠3>∠1>∠2 D.∠3>∠2>∠13.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,则这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对4.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的长度之差为()A.2cm B.3cm C.6cm D.12cm5.如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD的度数是()A.145° B.150° C.155° D.160°6.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是()A.7 B.10 C.35 D.707.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,则∠1的度数为()A.75° B.65°C.45° D.30°8.如图,直线l1∥l2,且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3等于()A.45° B.50°C.55° D.60°二、填空题9.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是.10.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°,且∠AEF=∠AFE,则∠A的度数是.11.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则α的度数是.

12.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2的度数是.

三、解答题13.如图,在△ABC中,BD是角平分线,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,连接DE,GF,且满足GF∥BD,∠1=∠2,若∠AED=70°,求∠2的度数.14.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.15.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.16.问题引入:(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),并说明理由.

(2)如图②,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,若∠A=α,则∠BOC=(直接写出,用α表示)(3)如图③,∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由类比研究:(4)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1n∠DBC,∠BCO=1n∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(直接写出,用α表示)综合训练一、选择题1.D2.A3.C当4cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰长时,三边分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为14cm.故这个等腰三角形的周长为13cm或14cm.4.C5.B由题意知x°+2x°+3x°=180°,解得x=30,所以∠BAD=180°-30°=150°.6.C因为一个正n边形的每个内角为144°,所以144n=180×(n-2),解得n=10.正十边形的所有对角线的条数是10×(107.A∠1的对顶角所在的三角形中,另两个角的度数分别为60°,45°,所以∠1=180°-(60°+45°)=75°.8.C二、填空题9.360°10.40°因为AB∥CD,所以∠EFB=∠DCF=110°.所以∠EFA=∠AEF=180