14.1 全等三角形及其性质

2/12第十四章全等三角形14.1全等三角形及其性质一、教学目标【知识与技能】1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等;2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质,并解决相关简单的问题.【过程与方法】掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.【情感、态度与价值观】联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】 全等三角形的概念、性质及对应元素的确定.【教学难点】全等三角形对应元素的识别.五、课前准备 教师：课件、三角尺、全等图形等。学生：三角尺、直尺、全等图形、三角形纸板。六、教学过程（一）导入新课观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？（出示课件2-3）（二）探索新知1.观察图形，学习全等图形教师问1：下列各组图形的形状与大小有什么特点？（出示课件5）学生回答：每一组图中的两个图形形状相同，大小相等.教师问2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（出示课件6）

学生回答：前三组图形的形状相同，大小也相等，第4组图形的形状相同，但是大小不相等，第5组图形的形状不相同，但是大小相等.教师问3：它们能够完全重合吗？你能再举出一些类似的例子吗？学生讨论分析，教师引导后学生回答：举例：学生手中含30度角的三角板；含45度角的三角板；学生手中的小量角器；由同一张底片洗出的尺寸相同的照片；两本数学书等.教师讲解：由图①②③中的图形，我们可以看到，它们的形状相同，大小相等，像这样，形状相同、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫作全等形.教师问4：同学们讨论一下，全等图形有什么性质呢？学生回答：全等图形的形状相同，大小相等.总结点拨：全等图形定义：

能够完全重合的两个图形叫作全等图形.全等形性质：

如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.2.师生互动，认识全等三角形的概念教师问5：观察下边的两个三角形，它们的形状和大小有何特征？学生回答：它们的形状相同，大小相等.教师问6：这两个三角形能够完全重合吗？学生回答：能够完全重合教师问7：这两个三角形能够完全重合之后，△ABC的顶点A、B、C与△DEF的顶点D、E、F那两个点重合呢？它们的边呢？它们的角呢？学生回答：点A与点D重合，点B与点E重合，点C与点F重合，边AB与边DE重合，边AC与边DF重合，边CB与边FE重合，∠A与∠D重合，∠B与∠E重合，∠C与∠F重合.教师总结：（出示课件9）像上图一样，把△ABC叠到△DEF上，能够完全重合的两个三角形，叫作全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.

教师问8：平移、翻折、旋转前后的两个三角形什么变化，什么没有变化呢？学生讨论并回答：三角形的形状和大小没有变化，位置变化了.教师问9：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？

（出示课件10）学生回答：平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.总结点拨：（出示课件11）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等.

学生小组活动：教师提出下列要求：①请你用事先准备好的三角形纸板通过平移、翻折、旋转等操作得到你认为美丽的图形；②在练习本上画出这些图形，标上字母，并在小组内交流；③指出这些图形中的对应顶点、对应边、对应角.教师问10：请同学们观察分析，指出下列图形的对应边、对应角和对应顶点.学生分组做完后并点名回答教师问11：寻找对应元素有什么方法和规律吗？学生思考交流后，师生共同归纳、板书.（出示课件13）1.有公共边，则公共边为对应边；2.有公共角（对顶角），则公共角（对顶角）为对应角；

3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；

最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；4.对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.

教师问12：全等三角形的对应边、对应角有什么数量关系？学生回答：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.教师问：全等三角形用什么表示呢？学生阅读教材第29页内容回答：全等”用符号“≌”表示，△ABC全等于△DEF，记作△ABC≌△DEF.教师问13：全等三角形有哪些性质呢？学生讨论回答：全等三角形的对应边相等，对应角相等.总结点拨：全等的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.（出示课件15）警示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

全等的性质：（出示课件16-17）全等三角形的对应边相等，对应角相等.几何语言：∵△ABC≌△DEF(已知），

∴AB=DE，AC=DF，BC=EF(全等三角形对应边相等），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F(全等三角形对应角相等）.例1：如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.

（出示课件18）师生共同解答如下：解：△BOD与△COE的对应边为：

BO与CO，OD与OE，BD与CE；

△ADO与△AEO的对应角为：

∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，

∠AOD与∠AOE.

例2：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．（出示课件20）师生共同解答如下：解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，

∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，

∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，

∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.

例3：如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.

（1）试写出两三角形的对应边、对应角；

（2）求线段NM及HG的长度；（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.（出示课件22-23）

师生共同解答如下：解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；

对应角有∠E和∠N，∠F和∠M，∠EGF和∠NHM.

（2）解：∵△EFG≌△NMH，

∴NM=EF=2.1cm，

EG=NH=3.3cm.

∴HG=EG–EH=3.3–1.1=2.2（cm）.

（3）解：结论：EF∥NM

证明：∵△EFG≌△NMH，

∴∠E=∠N.∴EF∥NM.

总结点拨：全等三角形的性质:能够重合的边是对应边,重合的角是对应角,对应边所对的角是对应角.对应角所对的边是对应边;两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边;两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角.（三）课堂练习（出示课件27-30）1.能够_________的两个图形叫作全等形.两个三角形重合时，互相__________的顶点叫作对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示___________顶点的字母写在_________的位置上.

2.如图，△ABC≌△ADE，若∠D=∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=_______；∠DAB=__________.

3.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm，BD=4cm，AD=6cm，那么BC的长是()A.6cmB.5cm

C.4cmD.无法确定4.在上题中，∠CAB的对应角是()

A.∠DABB.∠DBAC.∠DBCD.∠CAD

5.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是()

A.△ABD和△CDB的面积相等

B.△ABD和△CDB的周长相等

C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD

D.AD∥BC，且AD=BC

6.如图，△ABC≌△AED，AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边，∠BAC与∠EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B=35°，AB=3cm，BC=1cm，求出∠E，∠ADE的度数和线段DE，AE的长度.

参考答案：1.重合重合对应相对应2.∠BAC∠EAC3.A4.B5.C6.解:∵△ABC≌△AED，(已知)

∴∠E=∠B=35°，(全等三角形对应角相等)

∠ADE=∠ACB=180°–25°–35°=120°，(全等三角形对应角相等)

DE=BC=1cm，AE=AB=3cm.(全等三角形对应边相等)（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.全等三角形的有关概念2.全等三角形的性质3.寻找对应元素的方法（五）课前预习预习下节课（14.2）教材第32页到教材第34页的相关内容。知道三角形全等的判定方法1七、课后作业1、教材第30页练习1,22、请同学们观察分析，指出下列图形的对应边、对应角和对应顶点.八、板书设计：九、教学反思：1.本节课充分应用多媒体进行教学，促使学生从感性认识上升为理性认识.2.课堂上重视学生的主体参与，学生是学习的主体，因此本节课从概念的形成、发展、应用等每个环节，都力求通过学生的动手实践、动脑思考、自主参与、合作探究来完成.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,