第26章 二次函数 单元综合测试卷（含答案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第26章《二次函数》单元综合测试卷一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．）1．二次函数的图象必经过点（

）A． B． C． D．2．已知抛物线经过点，则代数式的值为(

)A．2026 B．2027 C．2028 D．20293．根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（

）

A．点A B．点B C．点C D．点D4．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（

）A． B．C． D．5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（

）A．5 B．4 C．2 D．16．如图是二次函数的图像，下列结论中正确的是（

）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论：①两抛物线的顶点关于原点对称；②；③；④．其中正确结论是（

）A．①② B．①③ C．③④ D．②④8．随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（

）A． B． C．9 D．109．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(

)A． B． C． D．10．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为_____．12．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号）①函数图象与轴的交点坐标是；

②函数图象的对称轴是直线；③当时，随的增大而增大；

④当时，函数的最大值是10．13．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________．14．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________15．如图，在四边形中，，，，，点是边上一点，过点分别作与的垂线，过点作的垂线，得到矩形和矩形，则这两个矩形的面积之和的最大值是_________．16．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________．三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．17．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，．(1)求抛物线的表达式；(2)通过计算说明石块能否飞越城墙．18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上．(1)求该抛物线的解析式；(2)求点C的坐标及的面积．19．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点．(1)求点的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下：活动主题为学校设计矩形菜园活动准备1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求采集数据图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示：1．两道墙之间的夹角为直角；2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过；3．可用的篱笆总长度为．设计方案把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大．确定思路小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值．根据以上信息，解决下列问题：(1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽；(3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？21．如图，已知抛物线L：经过点，．(1)求该二次函数解析式；(2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值．22．在平面直角坐标系中，已知函数和函数不论x取何值，都取与二者之中的较小值．(1)求函数和图象的交点坐标，并直接写出关于的函数关系式；(2)现有二次函数，若函数和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；(3)在（2）的结论下，若函数和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．23．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)水池2面积的最大值是；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是；(2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；(3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值．24．2026年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙，且、之间的水平距离为8米．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)为了彩带造型美观，小亮把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；(3)为了避免人的头部触到彩带，小亮将点到地面的距离提升为3米，并调整点的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米．①试探究与的关系式；②当时，求的取值范围．参考答案一、选择题1．B解：当时，，选项A不符合题意；当时，，选项B符合题意；当时，，选项C不符合题意；当时，，选项D不符合题意．2．D解：将代入得：，即：，将代入原式得：，故选D．3．A解：由题意得：二次函数的顶点坐标为，∴在点的左下方位置的点A可能是坐标系原点故选：A．4．A解：根据题意，得，令，得，解得，，A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，，符合要求；B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，，不符合要求；C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，，不符合要求；D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，，不符合要求．5．D解：，则抛物线的顶点坐标是．当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1．∵四边形是矩形，∴，∴对角线的最小值是1．6．B解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，∴，即，故①正确．∵二次函数的对称轴为直线，∴，∴，故②错误．∵由图象可知当，，∴，故③正确；∵二次函数的图像开口向上，与y轴交于负半轴，∴，，∴，∴，故④错误．综上所述，结论正确的是①③，共2个．故选：B7．B解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确；∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称，∴点A的横坐标为，即，故②错误；把代入得，解得，∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称，∴点C的横坐标为，即，故③正确；令，则，，∴，故④错误；综上所述，正确的结论是①③．8．A解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，∵，，∴，将代入抛物线解析式得，解得：，∴抛物线的解析式为，∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时，∴旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，将代入解析式得，解得，∴直线的解析式为，联立，解得：，，∴，∴，故答案为：A．9．D解：当时，，则，当时，，解得，则，，，设，当时，面积的最大值为．故选：D．10．B解：抛物线与轴交于点、，交轴于点，∴，解得：或，，，当时，，∴，∵，∴，∴，把向上平移个单位落在抛物线上时，∴此时，∴，解得：，∴平移后，∴当线段沿轴向上平移，当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，∴直线与抛物线有唯一交点，∴即有两个相等的实数解，∴，解得：，此时，综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或．故选：B二、填空题。11．解：∵当和时，二次函数的函数值相等，∴以m、n为横坐标的点关于直线对称，则，∴，∵，∴，函数．故答案为：．12．①②④解：①：把代入，得，∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确；②：二次函数的对称轴为直线，故②正确；③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，故③错误；④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值，∴代入得，即函数最大值是，故④正确；综上，正确结论的序号是①②④．13．解：点和在抛物线上，，，，，即，与异号，，，即，∴2a+b<0，，点，，在抛物线上，，，，∴，，，即，∴，，，即，综上可得．14．解：∵抛物线与y轴的交点为，又∵，∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，∴．15．解：根据题意，，延长DH交AB于点I，则DI⊥AB，∴四边形BCDI是矩形，∴DI=BC=3，CD=BI，由，DI⊥AB，∴△ADI是等腰直角三角形，∴AI=DI=3，∴CD=BI=，∵△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AF；设EF=AF=x，则FI=3-x，∴这两个矩形的面积之和为：，即；∵，∴当时，这两个矩形的面积之和有最大值，最大值为；故答案为：.16．解：设，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵点在二次函数位于第一象限的图像上，∴，解得：（舍），，∴；∵是等腰直角三角形，设，∴，∴，∵点在二次函数位于第一象限的图像上，∴，解得：（舍），；∴，同理可得：，，，，∵是等腰直角三角形，∴．三、解答题．17．（1）解：∵抛物线的顶点坐标是，∴设抛物线的表达式为：，将点代入得：，∴．∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：．(2)石块不能飞越城墙，当时，，∴当到城墙时，石块高度为，，∵，∴石块不能飞越城墙．18．（1）解：∵抛物线的顶点为，∴，抛物线的解析式为；（2）解：当时，，，顶点为，∴对称轴为直线，轴，交该抛物线于点和点，关于直线对称，，，∴．19．（1）解：把代入得，解得，∴抛物线解析式为；当时，，解得，则，∵，∴点坐标为．（2）解：存在．理由如下：设，∵，∴，得，当，解得，此时P点坐标为或，当时，方程没有实数解．综上所述，P点坐标为或．20．（1）解：根据题意得，解得，；（2）解：由（1）知，，当时，有最大值，∴当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和；（3）解：∵当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和．由（1）知，该方案围成面积最大时符合墙长要求．21．（1）解：根据题意，得抛物线L：经过点，，，解得，故抛物线的解析式为．（2）解：根据题意，得，由抛物线L向右平移个单位得到抛物线，故平移后抛物线的解析式为，P是抛物线上一点，横坐标为，，故，由轴，，则，，解得，，故，在抛物线上，，整理，得，解得，由，故舍去，故．22．（1）解：解方程组得，∴交点坐标为，根据题意，；（2）解：∵对于函数，随x的增大而减小，∴又∵函数的对称轴为直线，且，∴当时，y随x的增大而减小，∴；（3）解：①若函数与只有一个交点，且交点在范围内则，即∴，得此时，符合，∴；②若函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个在范围外，则，得，∵对于函数，当时，；当时，又∵当时，y随x的增大而减小，若与在内有一个交点，则当时；当时，即当时；当时，也即，解得，又，∴，综上所述，c的取值范围是：或．23．（1）解：（），的顶点坐标为，，的图像开口向下，当时，水池2面积最大，为；当（）时，（），化简得（），因式分解得（），解得或，由图像知，当或时，，即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或；（2）解：由（1）得，当时，，当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，（），，当时