人教版九年级上册数学 26.4 实际问题与二次函数- 拱桥问题 专项训练（含答案）

人教版九年级上册数学26.4实际问题与二次函数---拱桥问题专项训练一．选择题（共10小题）1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m.水面下降2.5m,水面宽度增加（）A．1mB．2mC．3mD．6m2．某大桥桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为y=−125x2，当水面宽度AB为A．2mB．4mC．10mD．16m3．如图，某抛物线形状的大门，先测得门的底部宽度AB=8m,然后用长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，测得AC=1m,则门的最高点离地面的距离是（）A．9mB．64C．8.7mD．644．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（）A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米5．如图，小明受抛物线图象启发，在平面直角坐标系中设计了一款杯体高BD为7的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=47x2+6A．7B．7C．7D．76．校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB=8m,再用两根长度为2m的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF=6m,则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（）A．6mB．4.8mC．32D．187．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．抛物线的表达式为y=-0.1x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm,则A，B两点之间的距离是（）A．4dmB．6dmC．8dmD．10dm8．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m,拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m,为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m,则警示灯E距水面AB的高度为（）A．12mB．11mC．10mD．9m9．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB=8cm,杯底CD=4cm,且AB∥CD，杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜45°，水面正好经过点B（即∠ABP=45°）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（）A．玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y=x2-16B．直线PB的解析式为y=x-4C．点P到杯口AB的距离为5cmD．点P到点D的距离为510．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）如图所示，某学习小组探究之后得出如下结论：

①水面宽度为30m；

②抛物线的解析式为y=125x2−5；

③最大水深为3.2m；

④A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）11．如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为y=−116x2．某一时刻，桥下水面AB的宽度为16米，则此时拱顶O到水面AB的距离为12．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知AB=6m,现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD，通风管CD的长度为3m,则拱架最高点M距底部AB的高度为______m.

13．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E14．在中国河北省赵县有一座闻名遐迩的古桥——赵州桥，它是世界上现存年代最久远、保存最完整的巨大石拱桥之一，被誉为“中国第一古桥”．赵州桥是中国古代桥梁建筑的杰出典范，尤其是那道横断面呈抛物线型的大拱，仿佛在穿越时空向世人诉说着古老东方的智慧与辉煌．站在赵州桥上，我们观测到桥下的水面宽度AB恰好为20m,拱桥最高点C离水面的距离CO为4m,则当水位上升1m时，水面的宽度为______m.

15．如图，两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，右边的抛物线解析式是______．

16．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为80米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为______米．

17．（2024春•同步）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值为______．18．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD=12cm,此时面汤最大深度EG=9cm.如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液体最大深度为______．

三．解答题（共8小题）19．有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系xOy的原点O是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，x轴在水面截线上；AB是警戒线，拱顶到AB的距离为1.8米．

（1）求桥拱截线所在抛物线的表达式；

（2）求达到警戒线AB位置时水面的宽度．20．如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m,秋季水位会下降约0.2m,此时水面CD宽度约为4.0m.

（1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的函数表达式；

（2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯（M-E-F-N），这串彩灯挂在拱桥的中间部分EF与水面接近平行，彩灯两端EM和FN自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面CD的距离为1.4m,求这串彩灯（M-E-F-N）的最大长度．

21．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，AB是保温墙，AB⊥OA，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米，以OA所在直线为x轴，以过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）若保温墙的高度AB为83米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙AB到点O的水平距离（即OA22．如图1是一个花坛，将其抽象为如图2所示的平面图，图2中花坛的外轮廓可看作由抛物线AMB和线段AB组成，已知AB=10dm,O是AB的中点，花坛的最大深度OM=4dm,OM⊥AB，以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OM所在直线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点C、D是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点C、D在抛物线上），且C、D关于y轴对称，若点A到水平地面EF的距离为7dm,C、D两点之间的距离为5dm,EF∥x轴，求点C到水平地面EF的距离．

23．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆L1与L2具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为x轴，以两钢缆主塔为y轴，建立平面直角坐标系．已知L1所在抛物线与L2所在抛物线关于y轴对称，钢缆L1的最低点A到桥面的距离是1m,两钢缆最低点A，B之间的距离是40m,OD=10m.

（1）求钢缆L1所在抛物线的函数表达式．

（2）为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆L2的C处（C在B的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁CE．已知加劲梁CE的长为5m,求加劲梁CE与主塔的水平距离．24．如图，某座桥梁的中间桥拱截面轮廓线由两部分构成：上部可看作抛物线型曲线，下部为矩形ABCD，其中矩形的长AB为6m,宽BC为3m.以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，y轴也是抛物线的对称轴，抛物线的最高点E到水面AB的距离为4m.

（1）求抛物线DEC的解析式；

（2）为方便船只通行，在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离水面AB的高度不超过154m，那么两排灯的水平距离最少是多少？

（3）现有一艘小船高3.8m,宽25．如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽AB=12m时，桥洞顶部离水面4m.若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系．

（1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式；

（2）如图2，若拱桥上的路面E-D-F也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：y=−120x2+35x+165．

①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离CD的长度；

②26．武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以OE所在直线为x轴，OF所在直线为y轴建立平面直角坐标系，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中OE=92米，OF=272米（轨道厚度忽略不计）．

（1）求抛物线F→E→G的函数关系式；

（2）在轨道距离地面496米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了1.5米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH的距离；

（3）现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求AB=2OA，已知这种材料的价格是人教版九年级上册数学26.4实际问题与二次函数---拱桥问题专项训练

(参考答案)一．选择题（共10小题）1、B 2、B 3、B 4、C 5、B 6、C 7、A 8、D 9、C 10、A 二．填空题（共8小题）11、4； 12、4； 13、18； 14、103； 15、y=0.0225x2-0.9x+10； 16、15.84； 17、15； 18、22cm；三．解答题（共8小题）19、解：由题意可得，抛物线与x轴的交点为（0，0），（20，0），顶点坐标为（10，5），

设抛物线解析式为y=a（x-10）2+5将（0，0）代入可得100a+5=0，

解得a=−120，即y=−120（x−10）2+5=−120x2+x；

（2）由题意可得，A、B两点的纵坐标为5-1.8=3.2，

将y=3.2代入y=−120x2+x，

可得3.2=−120x2+x，

化简可得x2-20x+64=0，解得：x1=4，x2=1620、解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k（a≠0），

由题意得：拱顶的坐标为（0，1.8），点D的坐标为（2，-0.2），

∴{k=1.8a×22+k=−0.2，

解得{a=−12k=1.8，

∴抛物线的解析式为y=-12x2+1.8；

（2）由题意知，点F（a,-12a2+1.8），

∴EF=2a,

∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m,秋季水位会下降约0.2m,

∴彩灯的最低点M，N在直线y=1.2上，

∴点N为（a,1.2），

∴FN=-12a2+0.6，

设彩灯的长度为w,

w=EF+2FN

=2a-a2+1.2

=-a2+2a+1.2，

∵-1＜0，

∴a=121、解：（1）已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米，

∴顶点（6，3），

设抛物线的函数解析式为y=a（x-6）2+3，将点O（0，0）代入得：

36a+3=0，

解得：a=−112，

∴该抛物线的函数解析式为y=−112（x−6）2+3；

（2）当y=83时，得：−112（x−6）2+3=83，

解得：x1=4，x22、解：（1）根据题意得：A（-5，0），B（5，0），M（0，-4），

设抛物线的解析式为：y=a（x-0）2-4，把B（5，0）代入得：

0=a（5-0）2-4，

解得：a=425，

∴y=425（x−0）2−4=425x2−4；

（2）由题意可得：C、D两点之间的距离为5dm,

∴点C的横坐标为−52，

把x=−52代入y=425x2−4得：y=425×（−52）2−4=−3，

∴点C到AB的距离为3dm,

23、解：（1）由题意可得：点A的坐标为（20，1），即L1的顶点为（20，1），

又∵OD=10m,D在y轴上，

∴D（0，10），D在L1上，

设L1的抛物线解析式为顶点式：y=a（x-20）2+1（a≠0），

将D（0，10）代入得：a（0-20）2+1=10，

解得a=9400

∴抛物线L1的解析式为y=9400（x−20）2+1；

（2）∵L2与L1关于y轴对称，

∴L2的顶点B（-20