浙江省A9协作体2026-2027学年高二（上）暑假返校学情诊断数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年浙江省A9协作体高二（上）暑假返校学情诊断数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=3+4i，则z的虚部为(

)A.3 B.4 C.−4 D.−4i2.样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为(

)A.5 B.6 C.7 D.83.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC=32c，则A.π6 B.π3 C.π6或5π6 4.已知e1，e2是两个不共线的单位向量，a=e1−2e2，b=3A.−6 B.6 C.32 D.5.设|a|=6，|b|=8，a在b上的投影向量为−38b，则A.π6 B.π3 C.2π36.随机变量ε1，ε2相互独立，且均等可能地取值于集合{−1,1}.设u=(1,ε1)，vA.14 B.13 C.127.已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3，则bc的取值范围是A.(12,1) B.(12,2)8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，点P，Q分别是线段AB，CC1的中点，R为CA.13 B.31335 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(3,−1),b=(1,2)，则下列结论中正确的是A.a与b可以作为所在平面的一组基底 B.|a+b|=1910.已知复数z满足z≠−1，z3+1=0，则(

)A.z=1±3i2 B.z⋅z11.已知四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，动点M在线段PC上，则(

)A.PC⊥BD

B.四棱锥P−ABCD的外接球表面积为12π

C.MB+MD的最小值为303

D.PB与DM三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算：1+i1−i=

．13.若两个单位向量a，b满足|2a−b|=3，则向量a−b与214.南海观音位于浙江省舟山市普陀区双峰山南端的观音跳山岗上.此处势随峰起，秀林葱郁，气顺脉畅，碧波荡漾.莲花洋彼岸的朱家尖，隔海侍卫；双峰山坡麓的紫竹林，潮音频传.普陀山新的人文景观，海天佛国的象征.乘云中之龙，于南海波涛之上，又称龙头观音.某数学兴趣小组为了测得观音像整体的高(包括基底)，如图，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，观音像顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点40m的B点测得观音像底位于北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面)，则观音像总的高度CD约为

m.(结果精确到整数，参考数据：6四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=2ccosA．

(1)求A的大小；

(2)若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．16.(本小题15分)

某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45))．

(1)求a的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数(结果保留两位小数)；

(2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈；

①第3，4组分别抽取多少人；

②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．17.(本小题15分)

如图，⊙O的半径为1，C是⊙O的直径AB上一点(异于A，B)，过C作与直径AB垂直的弦与⊙O相交于D、E两点，连接AD和BD，设∠BAD=θ(0<θ<π2)．

(1)求线段CD的长(用θ表示)；

(2)若P为直线AB上一点，且PD⋅PE的最小值为18.(本小题17分)

如图，在圆台O1O2中，四边形ABCD为其一个轴截面，E在底面圆周上，∠BO2E=60°，BC=2AD=4．

(1)求证：AB//平面DEO2；

(2)若该圆台的体积为73π319.(本小题17分)

我们知道复数有三角形式z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若OZ1=r1(cosθ1+isinθ1)，OZ2=r2(cosθ2+isinθ2)，则r1(cosθ1+isinθ1)⋅r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].即模相乘，辐角相加.其几何意义是把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍.已知在复平面的上半平面内有一个菱形OABC(A在C的右侧)，其边长为1，∠AOC=60°，点A，B，C所对应的复数分别为z1，z1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】AC

12.【答案】i

13.【答案】5π614.【答案】33

15.【答案】解：(1)因为acosB+bcosA=2ccosA，

由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，

即sin(A+B)=2sinCcosA，

在△ABC中，sin(A+B)=sinC>0，所以cosA=12，

因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)由(1)知，cosA=12，

因为a=2，b+c=4，由余弦定理，得：a2=b2+c16.【答案】a=0.06，中位数：31.67

应从第3，4组中分别抽取3人，2人；71017.【答案】解：(1)由题意，AB为直径，则AD⊥BD，

而∠BAD=θ(0<θ<π2),AB=2，

则AD=AB⋅cosθ=2cosθ，又AB⊥DE，

则CD=AD⋅sinθ=2cosθ⋅sinθ=sin2θ；

(2)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

由(1)知，AC=AD⋅cosθ=2cos2θ=1+cos2θ，

而OA=1，则C(cos2θ,0)，

而CD=sin2θ，则D(cos2θ,sin2θ)，E(cos2θ,−sin2θ)，

设P(t,0)，t∈R，则PD=(cos2θ−t,sin2θ),PE=(cos2θ−t,−sin2θ)，

所以PD⋅PE=(t−cos2θ)2−sin22θ，

可以看作关于18.【答案】(1)证明：如图，由题意可知AB与DO2平行且相等，则四边形ABO2D为平行四边形，即AB//DO2，

又AB⊄平面DO2E，DO2⊂平面DO2E，

所以AB/​/平面DEO2．

(2)解：①圆台体积V=πh3(r2+R2+rR)=πh3(1+4+2)=7hπ3=73π3，则h=3，

过A作AG⊥BC，则AG⊥平面BEC且AG=3，

因为ABCD为梯形且BC=2AD=4，所以G为BO2中点，

O2B=O2E=2，∠BO2E=60°，即△O2BE为等边三角形，

所以EG⊥BO2且EG=3，

又AG⊥平面BEC，所以AG⊥EG，

又AG∩BO2=G，AG，BO2⊂平面ABCD，

所以EG⊥平面ABCD，

所以VE−ABCD=13×EG×(AD+BC)×AG2=33×(2+4)×32=3．

②由①知EG⊥平面ABCD，过G作GH⊥AC交AC于H，连接EH19.【答案】解：(1)由题意，z1=12+32i，菱形OABC(A在C的右侧)，其边长为1，∠AOC=60°，

所以B在y轴的正半轴，模长为3，

所以z2=