《工程水文学》课件第六章水文统计

第六章

水文统计（Hydrological

Statistics）6-1

概

述（Summary）6.1.1

水文现象的特性水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。1、必然现象（certain

phenomena）具有必然性的自然现象称为必然现象。它是指事物在发展、变化过程中必然会发生的现象。必然现象具有的规律性，水文学中称之为确定性规律。2、偶然现象（accidental

phenomena），具有偶然性的自然现象称为偶然现象，也称随机现象（random

phenomena）。它是指事物在发展、变

化过程中可能发生也可能不发生的现象。偶然现象也具有一定的规律性，水文学中称之为称为统计规律（statistical

regularity）。6.1.2

水文统计规律的研究方法数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论（probability

theory），而由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为

数理统计学（mathematicalstatistics）。概率论与数理统计学在水文分析与计算中的应用称为水文统计学。6.1.3

水文统计的任务水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需要。6-2

概率的基本概念（The

Concept

of

Probability）6.2.1 事件（event）1.

随机试验和事件（1）随机试验E（random

experiment）在概率论中,

对随机现象的观测叫做随机试验。它具有以下特点：①试验可以在相同的条件下重复进行；②每次试验的可能结果不止一个，事先能明确试验的所有可能结果；③试验之前不能肯定将出现哪个结果.【例6-1】观测上课前第一个进入教室的同学是一种随机试验。因为：①试验可以在相同条件下重复进行；②每次第一个进入教室的同学可能不同（试验的可能结果不止一个），但可以肯定是我们班的同学（事先能明确试验的所有可能结果）；③预先不能肯定第一个进入教室的同学是谁.必然事件（certain

event）：不可能事件（impossible

event）：记为：记为：（2）事件（event）随机试验的结果称为事件。事件的分类：随机事件（random

event）：表示方法：

A、B、C【例6-2】A：“掷硬币出现正面”B：“福州市6月份降雨量在200~300mm”2.

基本事件、基本空间、复合事件基本事件：随机试验E

的每一个可能结果，称为E

的基本事件，以ω表示。基本事件也称为样本点.基本空间：随机试验E

的所有基本事件的集合，称为E

的基本事件空间或样本空间或基本空间，记为Ω.【例6-3】抛一枚硬币，观察所出现的面（E）。基本事件：ω1

=“正面朝上”，ω2

=“反面朝上”基本空间：Ω={ω1

，ω2

}【例6-4】掷一粒骰子，观察出现的点数（E）。基本事件：ωi

=出现点数i，i

=1，2，…，6.基本空间：Ω={ω1，ω2

，ω3

，ω4

，ω5，ω6

}={

1，2，3，4，5，6

}【例6-5】观察某地年降水量（E）。基本事件：ωx

=年降水量为x基本空间：Ω={x

0≤x≤PMP}，PMP为该地可能最大年降水量.【例6-6】一个盒子里有号码分别为1，2，…，10，且完全相同的十个球，从中随机抽取一个，观察抽出的球号码的奇偶性（E）。基本事件：ω1

=“球的标号为偶数”，ω2

=“球的标号为奇数”基本空间：Ω={ω1

，ω2

}基本事件是事件的最基本单位，一般事件都是由基本空间中的某些基本事件组成的。为了区别于基本事件，把由基本事件复合而成的事件称为复合事件。【例6-7】在例6-6中，设A

表示“取得的球的号码为偶数”事件A

是复合事件，由5个基本事件组成。概率论用集合的概念来研究事件，将事件看作是基本事件的集合。当发生的基本事件ω属于某个事件A

时，就称A

发生（或出现）。反之，A

发生了，也意味着A

中的某个基本事件发生了。随机事件是若干个基本事件的集合；必然事件是全集Ω，不可能事件是空集φ。3、事件之间的关系①

包含关系若事件A

中的每一个基本事件都包含在事件B

中，则称事件B

包含事件A，或称A

是B

的特款.，此时，属于A

的基本事件记为：

或都属于

B

。【例6-8】设A

表示“福州市一年降水日数超过100天”B

表示“福州市一年降水日数超过120天”显然，B

包含A

，即对任何事件A

，必有：若事件B

包含事件A

，且事件A

包含事件B

，且，称事件A

与事件B

等价（或相等），记为A=B

.此时，事件A

与事件B

所含的基本事件相同.②

事件之和（并）若事件A与事件B至少一个发生构成的事件，称为事件A与事件B的和，记为：C=A

+B，或C=A∪B。显然，事件C

包含而且只包含A

与B

的所有基本事件.若定义事件A

是“事件A1，

A2，…，An

至少一个发生构成的事件”，则A

就是事件

A1，A2，…，An

的和。C记为：【例6-11】设某种圆柱形产品质量有高和底半径这两个指标。设A

表示事件“圆柱形产品的高不合格”，B

表示事件“圆柱形产品的底半径不合格”，C

表示事件“产品质量不合格”。那么，事件A

与事件B

至少一个发生，C

就发生，所以，事件C

是事件A

与事件B

的和，C=A∪B.③

事件之积（交）若事件A

与事件B

同时发生构成的事件，称为事件A

与事件B

的积，即为：C=AB，或C=A∩B。事件C

包含而且只包含A

与B

共同的基本事件.若定义事件A

是“事件A1，A2，…，An

同时发生构成的事件”，则A

就是事件A1，A2，…，An

的积。C记为：【例6-12】圆柱形产品质量有高和底半径两个指标。设A

表示事件“圆柱形产品的高合格”，B

表示事件

“圆柱形产品的底半径合格”，C

表示事件“产品质量合格”。所以，事件C

是事件A

与事件B

的积，C=A∩B.④

互斥事件（mutually

exclusive

event）若事件A与事件B不可能同时发生（但可以同时不发生），称事件A与事件B为互斥事件或互不相容事件。互斥事件不含相同的基本事件。若A

与B

能同时发生，则为相容事件。【例6-9】设A

表示“福州市一年降水日数超过120天”B

表示“福州市一年降水日数少于100天”显然，A

与B

不能同时发生，但可以同时不发生，所以A

与B

互斥.对立事件（opposite

event）对于事件

A

，由所有不包含在

A

中的基本事件所组成的事件，称为

A

的对立事件（或逆事件），记为：【例6-10】设A

表示“福州市一年降水日数大于等于120天”B

表示“福州市一年降水日数小于120天”显然，

A

与

B

不能同时发生，A

与

B

是对立事件。两个事件

A

、B

对立与互斥的异同点：相同点：A

与B

不能同时发生；不同点：对立事件A

、B

必有一个发生，互斥事件A、B

可以同时不发生。所以，两个对立事件一定是互斥的，但两个互斥事件不一定是对立的。3、事件之间的运算事件之间的运算满足如下关系：①

交换律②

结合律③

分配律④

德·摩根(de

Morgan)定律规定的运算顺序：先进行逆的运算；再进行积的运算；最后进行和的运算。如果有括号，则先进行括号内运算。【例6-13】设

A、B、C

是三个随机事件，试用A、B、C

表示下列各事件。①

只有

A

发生；②

A

和

B

都发生而

C

不发生；③

A、B、C都发生；④

A

发生，B

不发生；⑤

A、B、C

至少有一个发生；⑥

三个事件都不发生；⑦

至少有两个事件发生

.解：①只有A

发生：②A

和B

都发生而C

不发生：③A、B、C

都发生：④A

发生，B

不发生：A、B、C

至少有一个发生：⑥

三个事件都不发生：⑦

至少有两个事件发生：【例6-14】化简解：6.2.2 概率（probability）在一定条件下，随机事件在试验中可能发生也可能不发生，但它发生或不发生的可能性是不相同的。为了比较随机事件出现的可能性大小，必须有一个数量标准，这个数量标准称为随机事件的概率。概率的的古典定义：古典概型（古典随机试验）如果随机试验满足：①试验的可能结果总数是有限的；②试验的可能结果都是等可能的。这种随机试验称为古典概型，这种事件称为简单随机事件（simple

random

event）。随机事件的概率计算公式：式中：P(A)：在一定的条件下，随机事件A出现的概率

；k

：随机事件A出现的可能结果数

；n

：试验的所有可能结果总数。因为：当P(A)=1，A为必然事件；当P(A)=0，A为不可能事件。0<P(A)<1，A为随机事件。【例6-15】掷硬币，求出现正面的概率。解：掷硬币出现的可能结果总数只有正、反两种，即

n

=2，有限的。出现正、反面是等可能的，故为古典概型。设A

“掷硬币出现正面”这一事件，出现正面的可能结果数只有一种，即k

=1，故：B

=4::12P(B)

=P(

B=1

)

=

0【例6-16】掷两个骰子，计算出现点数的概率。解：掷两个骰子，可能结果总数为36，有限的。出现哪一面都是等可能的，故为古典概型。236.2.3 频率（frequency）设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中出现的频率。如果不属古典概型，则只能估计事件的频率。频率不是常数，随试验次数而变。用频率估计概率：十八世纪，法国科学家Buffon和英国生物学家和统计学家K.Pearson等人用掷硬币试验，证明可以用频率估计概率，随着试验次数逐渐增大时，频率将逐渐接近于概率。试验者实验总次数n出现正面次数m正面频率p蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998频率和概率的区别和联系：概率是随机事件在客观上实际出现的可能性，是事件固有客观本质决定的，不随人们试验的情况和次数而变，是一个常数，理论值；频率是用有限的试验结果推算而得，是一个经验值，随试验次数的多少而变。只有当试验次数趋于无穷大时，频率才收敛于一个常数值，即其理论值-----概率。6.2.4

概率加法定理和乘法定理1、条件概率和事件的独立性①

条件概率（conditional

probability）两个事件A、B，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率，称为事件B在事件A发生的情况下的条件概率,记为:P(B/A)同理，可得：P(A/B)②

事件的独立性独立事件（independentevent）：若事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，称为事件A对事件B独立。若事件A与事件B相互独立，则：P(B/A)

=

P(B)P(A/B)

=

P(A)上述关系可推广到有限个事件。若事件B发生的概率随事件A的发生而变化，称为事件B与事件A相关（correlation）。2、概率运算定理①概率加法定理事件A

与事件B

和的概率：P(A+B)

=

P(A)+P(B)

–

P(AB)互斥事件：两个互斥事件A、B

和的概率等于事件A

的概率与事件B

的概率的和，即(6-3)P(A+B)

=

P(A)

+

P(B)可推广到有限个事件。【例6-17】掷一次骰子，记出现1点为事件A，出现2点为事件B。求掷一次骰子出现1点或2点的概率。解：掷骰子属古典概型。出现1到6点每一种点数的概率都等于1/6。掷一次骰子，出现1点就不可能出现2点，出现2点就不可能出现1点，但可以同时不出现，故为互斥事件；又出现1点或2点为事件之和，即A

+B，故有：P(A+B)

=

P(A)

+

P(B)

=

1/6+

1/6

=

1/3【例6-18】袋中有手感完全一样的白球20个，黑球10个。从中随机摸出一球，问摸出白球、黑球的概率是多少？摸出白球或黑球的概率是多少？解：设

A：摸出白球；B：摸出黑球；

A+B：摸出白球或黑球。古典概型A、B是互斥事件P(A)

=

20/30

=

2/3P(B)

=

10/30

=

1/3P(A+B)

=

P(A)

+

P(B)

=

2/3+1/3

=

1必然事件③概率乘法定理两事件积的概率，等于其中一事件的概率乘以另一事件在前一事件发生条件下的条件概率，即:P（AB）=P（A）·

P（B︱A），P（AB）=P（B）·

P（A︱B），P（A）≠0P（B）≠0若两个事件是相互独立的，即任一事件的发生不影响另一事件发生的概率，则由此可得两个独立事件共同出现的概率等于事件

A

的概率乘以事件

B

的概率，即：P（AB）=

P（A）·

P（B）(6-4)【例6-19】设100件产品中，有5件次品。任意从中抽取一件不放回，再从中抽取一件。求两次抽取都是合格品的概率。解：设

A表示事件：第一次抽得合格产品；B表示事件：第二次抽得合格产品。P(A)

=

95/100

P(B/A)

=

94/99P(AB)

=

P(A)P(B/A)

=

95/100×94/99

=

0.9020202若第一次放回，求两次均抽得合格产品的概率：P(A)

=

95/100

P(B)

=

95/100P(AB)

=

P(A)P(B)

=

95/100×95/100

=

0.90256-3

随机变量及其概率分布（Random

Variable

andits

probability

distribution6.3.1 随机变量（

random

variable

）1

正面0

反面X

=对于随机事件，为了便于数学上分析与计算，可采用下列方式表示随机事件：【例6-20】掷硬币出现的结果：建立了这种数量化关系后，实际上相当于引入了变量X。这样的变量是随试验的不同结果而取不同的值。【例6-21】掷骰子，观测出现的点数12“出现1点”“出现2点”∶

∶∶

∶6

“出现6点”Y

=建立了这种数量化关系后，实际上相当于引入了变量Y。这样的变量是随试验的不同结果而取不同的值。定义：在随机试验中，用一个变量X的取值（实数）表示随机试验的结果。由于随机试验的结果是随机的，所以称这种变量X为随机变量。表示方法：用大写字母X、Y、Z等表示，具体的可能取值用相应的小写字母

x、y、z

等表示。由于试验出现的结果是随机的，因此，变量X和Y的取值也是随机的，故称X、Y为随机变量。若随机变量X有n个取值，即X＝x1

，X=x2，……，X＝xn。将x1，x2

，……，xn

称为随机变量系列（series）。由于随机试验的结果为一事件，所以随机变量的取值表示一个事件。【例6-22】(X=1)

表示“掷硬币出现正面”这一事件；(X≥3000)表示“年最大洪峰流量大于或等于3000

m3/s”这一事件；(15

<

X

≤16)表示“年最高洪水位大于15m小于等于16m”这一事件。引入随机变量后，随机变量就能代表随机事件出现的结果，不论是具有数字特征或是不具数字特征的随机事件，都可以用随机变量来描述试验的结果。1、离散型随机变量（discrete

random

variable）若随机变量仅能取得一个区间内的某些间断的离散数值称之。【例6-23】掷骰子出现的点数；每年洪水出现的次数；每年在我国登陆台风的次数。随机变量分类：2005年第19号台风“龙王”,于10月2日21时35分在晋江围头登陆，登陆时中心气压975百帕，近中心最大风速33米/秒，风力12级。福州市区3小时降雨量达195毫米，连江县布政坪最大1小时降雨量达110毫米，重现期均为

100年一遇。造成福州部分市区积水内涝，最大水深2米。闽侯县溪源溪发生山洪灾害造成85人死亡。福建省农作物受灾面积130.79千公顷，倒塌房屋0.94万间，直接经济损失74.67亿元。2006年4号强热带风暴“碧利斯”于7月14日12:50在霞浦北壁一带登陆。13日以来，福建遭受狂风、暴雨、洪水以及滑坡、泥石流袭击，16日统计，全省5个县级城区受淹，倒塌房屋1.91万间，死亡43人、失踪24人，农

作物受灾144.68千公顷，直接经济损失30.03亿元.2006年第8号超强台风“桑美”8月10日17时25分在浙江省苍南县马站镇沿海登陆，登陆点距离福建省边界约10公里，登陆时中心气压920百帕，近中心最大风速60米/秒，风力17级。造成福建福鼎市沙埕港7万口渔排网箱全军覆没，各类大小船只沉没932艘、损坏1139艘，沙埕港海难死亡

228人，倒塌房屋8.5万间，直接经济损失195.0亿元。2、连续型随机变量（continuous

random

variable）若随机变量能取得一个区间内的任何数值称之。【例6-24】某流域的洪水流量或雨量，可在0到其极限值之间的任何数值。6.3.2

随机变量的概率分布（probability

distribution

of

random

variable）随机变量可以取所有可能值中的任何一个值，但是取某一可能值的机会是不同的，有的机会大，有的机会小。把随机变量的取值与其概率之间一一对应的关系，称为概率分布。X

=234::12P(X)

=【例6-25】掷两个骰子，出现点数的概率。1、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示，如下表：XP(X=xm)x1

x2

……

xm

……p1

p2

……

pm

……其中，pm

为随机变量X取值xm

的概率。概率分布须满足下列两个条件：①

pm

≥

0

（1，2，

……）②

∑

pm

=

12、连续型随机变量的概率分布对于连续型随机变量，它的所有可能取值有无穷多个，取某值的概率为零，故无法研究个别值的概率，只能研究随机变量出现在某个区间的概率；或是研究随机变量（X≥x）的概率；或随机变量（X

<x）的概率，后面二者可以相互转换，水文统计中常用（X≥x）

的概率及其分布。事件（X≥x）

的概率用P（X≥x）表示，它是随随机变量X的取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，称为随机变量X的分布函数（distributionfunction），记为F（x），即:F(x)

=

P(X≥x)（6-5）它表示随机变量X大于等于某一取值x的概率。其几何图形如图6-1（b）所示，

图中纵坐标表示变量x，横坐标表示概率分布函数值F（x），在概率论中称此曲线为分布曲线，水文统计中称为随机变量的累积频率曲线，简称频率曲线（frequency

curve）。图中，当x=xP

时，可以查得：F(xP)

=

P(X≥xP)

=

P表示随机变量X大于或等于xP

的概率（可能性）为P（%）。下面讨论X出现在区间[x，x+Δx）的概率：x

x+Δxx右端两个事件为互斥事件，故有：P(

x

+Δx

>

X

≥

x

)称随机变量X出现在区间[x，x+Δx）的平均概率：记：称为概率密度函数，简称密度函数（density

function）其图形称为密度曲线（density

curve）。见图6-1（a）为平均概率密度。令Δx

→0分布函数和密度函数是积分和微分的关系，即：（6-9）总之，概率论中可以用密度函数和分布函数来描述随机变量的统计规律。水文现象能不能用概率论的密度函数和分布函数描述其统计规律？【例6-26】某水文站75年实测年降水量系列，按从大到小的次序分组，组距（class

interval）Δx=100mm，统计各组出现的次数k及累积出现的次数m，并计算各组出现的频率（class

frequency）ΔP、平均频率密度（average

frequency

density）ΔP/Δx及累积频率（frequency）P：年降水量（mm）组中出现次数

k组中频率ΔP(%)平均频率密度(10-4/mm)累积出现次数

m累计频率P(%)1399~130011.31.311.31299~120011.31.322.71199~110022.72.745.31099~100034.04.079.3999~

90056.76.71216.0899~

800810.710.72026.7799~

7001418.618.63445.3699~

6002026.726.75472.0599~

5001114.714.76586.7499

~

40068.08.07194.7399

~

30034.04.07498.7299

~

20011.31.375100合计75100100作平均频率密度图（直方图histogram）和累计频率图（折线图broken-line

graph），表示该雨量站年降水量的频率分布。x140012001000800600400200ΔP/

Δxx100

P%800600400200ΔP/

Δxx100

P%当观测年限n→∞，取Δx

→0，直方图变为一条中间高、两头低、不对称的光滑铃形曲线；折线图变为光滑的S曲线。两条曲线与密度曲线和分布曲线相似，说明水文现象可以用概率论的理论来描述其统计规律。10001200x1400密度曲线分布曲线（频率曲线）密度函数f(x)分布函数F(x)3、经验频率曲线（Empirical

frequency

curve）经验频率曲线的绘制方法：式中，称为经验频率。将经验点据（Pm

，xm）（empirical

pointdata）点绘在坐标纸上，通过点群中心画一条光滑的曲线，该曲线称为经验频率曲线。工程中将经验点据（Pm

，xm）（empirical

pointdata）点绘在概率格纸上，通过点群中心画一条光滑的曲线，该曲线称为经验频率曲线。频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求出指定频率P的设计值xP。4、经验频率（和重现期）①经验频率公式（empirical

frequency

formula）上述经验频率公式计算最小项xn的经验频率P(X≥xn

)=n/n=1，为必然事件，即样本的最小值等于总体的最小值，显然不合理，需修正经验频率公式。数学期望公式（Weibull）：式中，P：等于和大于xm的经验频率；m：xm的序号，即等于和大于xm的项数；

n：系列的总项数，即样本容量。②重现期（return

period、recurrence

interval)由于“频率”较为抽象，水文上常用“重现期”来代替“频率”。所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇。工程中根据所研究问题的不同，频率P与重现期T的关系有两种换算方法。（1）当研究暴雨洪水问题时，设计频率P＜50％，则:这里P称为设计保证率，q称为破坏率。式中，T：重现期，年；P用小数。这里P称为设计（洪水）标准。（2）当研究年径流、年降水、枯水问题时，设计频率P＞50％，则【例7-30】当设计洪水频率P=1%时，求重现期T。解：根据频率和重现期换算关系：设计标准P=1%的洪水，就称为百年一遇洪水。当设计保证率P=90%的年径流时，求重现期T。即十年一遇的设计枯水年。所谓百年一遇洪水(P=1%)，对应的T=1/P=100年，其意思是：所谓百年一遇洪水是指大于或等于这样的洪水在长时期内平均每100年发生一次。所谓百年一遇洪水是指等于这样的洪水在长时期内平均每100年发生一次。所谓百年一遇洪水是指大于或等于这样的洪水每隔100年发生一次。所谓百年一遇洪水是指大于或等于这样的洪水发生的可能性为1%，所以每100年就会发生一次。由于水文现象一般并无固定的周期，所谓T年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于这样的洪水或暴雨在很长时间内平均T年发生一次，而不是T年内必发生一次。经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用方便，但在绘制曲线时随意性较大，特别是外延时随意性更大，往往难以满足设计上的需要。最好是用某种函数（即理论频率曲线）来拟合经验点据，使外延有一定的依据。这个函数必须满足两个条件：①

必须完整地刻画水文现象的统计规律；②

必须满足各种水文现象的要求。即：式中，为参数。总体（population）：随机变量取值的全体。有限总体；无限总体样本（sample）：

从总体中随机抽出的一部分。样本容量（sample

size）：样本包含的项数。6.3.3

随机变量的统计参数（statistical

parameter）说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的统计参数。统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。水文计算中常用的统计参数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。水文中总体统计参数为：6.3.1.1

均值（mean）设某水文变量系列及其各项出现的频数为：x1，x2，……

，xnf1，f2，

……，fn且

f1+

f2

+……+fn

=

n则其加权平均值为:均值表示系列中变量的平均情况，或数值上的大小，可以表示系列水平的高低；若从分布角度，均值表示分布的中心。当各项等权，即：f1

=f2

=……=fn

=1，则算术平均值为：令：，

称为模比系数（modular

coefficient）【例6-27】甲、乙两河多年平均流量分别为：说明甲河水资源比乙河丰富。均值是频率曲线的一个参数，也是水文现象的一个重要的特征值。6.3.3.2均方差（标准差standard

deviation）均方差用来反映系列中各变量对均值集中或离散的程度。系列集中或离散程度，用均方差表示，计算公式为:称

为离差，

为离差平方和。称离差平方和的平均值的算术根称为均方差或标准差：【例6-28】设有两系列：第一系列：51015第二系列：11019σ2

>σ1

说明系列二比系列一对均值更离散。【例6-29】设有两系列：第一系列：

101第二系列：

1110

11910

196.3.3.3

变差系数CV（coefficient

of

variation）均方差与均值之比作为衡量系列对均值的相对离散程度的一个参数，称为变差系数，或称离差系数、离势系数，用CV表示，其计算式为:变差系数无因次。CV2

>CV1

说明系列二比系列一对均值更离散。【例6-30】设有两系列：第一系列：101第二系列：

1110

11910

196.3.3.4

偏态系数CS

（coefficient

of

skewness）在水文统计中，采用偏态系数CS作为衡量系列对均值的不对称（偏斜）程度的指标，其计算式为:或：偏态系数无因次。当系列对于当系列对于对称时，CS＝0；不对称时，CS≠0：若CS＞0，称为正偏（positive

skewness）；若CS＜0，称为负偏（negative

skewness）。CS

对密度曲线的影响如图6-26.3.3.5矩（moment）1、原点矩（moment

about

the

origin）随机变量X

对原点离差的r

次幂的数学期望E(Xr

)，称为随机变量X

的r

阶原点矩，记为：对离散型随机变量：对连续型随机变量：当r=0时：离散连续当r=1时：离散连续一阶原点矩就是数学期望值，也就是平均值。2、中心矩（moment

about

the

mean）随机变量X对分布中心E(X)离差的r

次幂的数学期望E{[X-E(X)]r}，称为随机变量X的r

阶中心矩，记为：对离散型随机变量：对连续型随机变量：当r=0时：当r=1时：当r=2时：当r=3时：中心矩和原点矩的关系：矩与参数的关系：6-4

水文频率计算（

Hydrological

Frequency

analysis）6.4.1

分布线型目前国内外水文频率曲线有三类：

1、正态分布型包括：正态分布、对数正态分布、三参数对数正态分布；2、极值分布型包括：耿贝尔分布、通用极值分布、韦布尔分布；3、皮尔逊分布型包括：皮尔逊Ⅲ型分布、对数皮尔逊Ⅲ型分布。6.4.1.1 正态分布（Normal

Distrbution）1、正态分布的密度函数及其参数正态分布的概率密度函数（probability

densityfunction

）：式中，

：平均数；σ

：标准差；e

：自然对数的底。特点：①单峰；②

关于

对称，CS处出＝０，现拐点；③曲线两端趋于无限，以x轴为渐近线。6.4.1.2

皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型分布（PearsonType

Ⅲ

Distribution）1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数式中，Γ(α)：α的伽玛函数；α、β、a0：分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状和位置参数，α﹥0，β﹥0。皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图6-5），数学上常称伽玛分布。参数α、β、a0

与参数、CV、CS

具有如下关系：2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线（分布曲线）及其绘制水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:求出等于及大于xP的累积频率P值。为了将上式积出来，通过换元积分，作标准化变换:Ф

称为离均系数。Ф

的均值为0，标准差为1。则有代入式（6-25），化简后得：式（6-29）中被积函数只含有一个参数CS，因此，只要知道CS值，便可从式（6-29）通过积分求出ФP

与

P

之间的关系。最后将ФP

回代，求出与频率P相应的

xP

值：工程中为了应用方便，假定各种CS值，利用（6-25）式积分，求出P与ФP的对应关系，制成数值表，称为“福斯特-雷布京”表，也称为离均系数表ΦP

=f

(P，CS)。见附表1“皮尔逊Ⅲ型频率曲线离均系数Ф值表”（P.268~269）。又由式（6-27）得模比系数（modular

coefficient）：根据上式，工程中将Ф值表转化为模比系数K值表，（参阅工程设计手册）。当已知P、CV、CS/CV

，由表求出KP

，则：3、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用在频率计算时，由已知的P、CS值，查Ф值表得出ФP值，然后利用已知的、CV，通过式（6-27）即可求出相应于P的xP

值；或由P、CV

、CS/CV

，查K值表得出KP

值，然后用式（6-27’）求出相应于P的xP值。【例6-31】解：1、Ф值表由CS

=0.90，P

=1%查Ф值表得ФP=2.962、K

值表由CV=0.30，CS

=3CV

，P

=1%，查K

值表得KP=1.89假定一组P，求出相应于P的xP

值；将其点绘在坐标纸上即为频率曲线，称为理论频率曲线（theoretical

frequencycurve）。4、P-Ⅲ分布应用中须注意的问题①P-Ⅲ型曲线一端有限，一端无限。正偏时最大值趋于无穷大。而水文现象必有一个最大极限值，不会是无

穷大，所以与水文现象的客观性质不相符合。②水文现象不会出现负值（除水位因基面的选择可能出现负值外），因此a0

必须大于或等于零才符合水文现象的一般性质，即a0

≥0，由式（6-24）：当CS

<2CV

，则a0

<0，表明数值可能出现负值，不符合水文现象的物理性质。所以，③样本的最小值比总体最小值大，即：xmin

≥a0

，或Kmin

≥K0

，才符合水文现象的一般规律。由式（6-26），当，Kmin

<K0

，或xmin

<a0

，不符合水文现象的一般规律。④当CS

≥2时，密度曲线呈乙型分布如图6-6（a）（b），不符合水文现象的一般规律。在概率分布函数中都含有一些表示分布特征的参数，例如皮尔逊III型分布曲线中就包含有、CV、Cs三个参数。水文频率曲线线型选定之后，为了确定出具体的概率分布函数，就得估计出这些参数。如果已知一组实测资料系列（样本），只要估计出样本的三个统计参数，则频率曲线就定了。但根据样本求出的参数并非总体的统计参数，需要用样本估计总体。先看一个例子：6.4.2

参数估计【例6-31】水文现象的总体通常是无限的。如：研究某河段的防洪问题，就必须研究该河段的年最大洪水，但洪水是总体，只有它才能代表该河段的洪水特性。而洪水总体是得不到的，我们只能在该河段进行观测，比如观测了n年，得到了一个n年洪水系列。我们认为这个系列是从洪水总体中随机抽出的一个容量为n的样本。样本抽自总体，故它带有总体的信息，具有总体的特征。接下来寻找样本的统计规律（用统计参数表示），再用样本的统计规律推断总体的统计规律，即用样本的统计参数作为总体统计参数的估计值。总体统计规律性知道了，就可以解决工程问题。这首先就必须估计样本的统计参数，然后用样本的统计参数作为总体统计参数的估计值。但由有限的样本资料算出来的统计参数去估计总体的统计参数（即用样本的统计参数作为总体对应统计参数的近似值）会存在一定的误差，这种误差称为抽样误差（sample

error）。下面先介绍样本参数的估计方法，然后介绍抽样误差。样本参数估计方法：设样本系列：6.4.2.1

矩法（moment

method）矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。前述，均值

（6-10），均方差σ（6-12），变差系数CV

（6-13），偏态系数CS

（6-14）计算式是总体参数计算公式。但是，我们希望由样本系列计算出来的统计参数与总体参数更接近些。因此，当用样本估计参数时，需要将上述公式加以修正，使修正后的参数计算式与总体更接近。修正后的参数计算式：工程水文习惯将上述公式称为样本的无偏估计量（unbiased

estimate），可以用它们估算总体参数。但无偏估计量仍只作为参考数值，因为用样本推断总体存在抽样误差。用样本

、CV

、CS总体存在推断抽样误差（sampling

error）：的误差称为抽样误差。设有一水文要素，其总体参数为

，为理论值，是常数，但未知。现从总体中任取一个容量为n的样本，用上述矩法公式计算样本的三个参数、CV

、CS

，将它们作为总体对应三个参数的估计值，即可算出抽样误差：为第j个样本的抽样误差，以

为例，不同样本的抽样误差是不一样的，且不一定相等，所以抽样误差是一个随机变量，即

系列：为随机变量系列。或均值

系列：为随机变量系列，故也有统计参数：均值和均方差，统计学上可以证明其均值等于总体的均值，其均方差记为。均值系列具有一定的概率分布，称为抽样分布（sampling

distribution），根据误差理论，抽样误差服从正态分布。根据正态分布的特性，有：上式的意义为：从总体中随机抽取一个样本，用该样本的均值

，实际上，

，但出现在该区间的可能性为68.3%

(99.7%)。换言之，用这个样本的均值

作为总体均值

的估计值，有68.3%

(99.7%)

的可能性与总体的均值

的误差不超过一个（三个）均方差

。实际误差的大小取决于

的大小，同样68.3%的可能性，

小，范围小，误差小；反之则大。因此，抽样误差的大小取决于样本

的大小，故称之为样本均值的均方误。同理可用的大小表示CV

、CS

的抽样误差，分别称为样本CV

、CS

的均方误。根据统计理论，可推导出各参数的均方误公式。当总体为P-Ⅲ型分布时，均方误公式如下：统计参数CVCSnCV1005025100502510050250.1112710141261782520.33467101551731030.55710811164158820.771014912174056791.0101420101420426085参数抽样误差表（CS=2CV）由此可知，用矩法公式估计的CS

的误差太大，故工程设计中一般不用矩法计算CS

，而是采用其它方法估计。由抽样误差公式可以看出，增大样本容量是减少抽样误差的有效方法之一。工程设计中通常不再讨论抽样误差，而是通过样本容量的大小来控制抽样误差。一般认为样本容量足够大（n≥30）时，抽样误差就在工程设计允许的范围内。6.4.2.2 适线法（参数估计）（CurveFitting

Method）适线法（配线法）：是以经验频率点据为基础，在一定适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的参数。【例】①矩法等参数a、b

的估计方法②适线法目估适线法（试错适线法）（curve

fitting

by

trial

and

error

method）步骤：①m1

2

·

·

·

·

·

·m

·

·

·

·

·P1

P2

·

·

·

·

·

·Pm

·

·

·

·）点绘经验点据（Pm，xm）。②

选定水文频率分布线型一般选用皮尔逊Ⅲ型③假定一组参数一般采用矩法计算

、CV，Cs

=

aCv，（年径流、年降水a

=

2，暴雨、洪水a

=

2~4，大流域2~3，中小流域3~4）。作为第一次初估值。、CV

、Cs④作理论频率曲线根据拟定的、CV、CS，假定一组频率Pi，查附表1得相应的ΦPi

，计算xPi

值：以xPi值为纵坐标，

Pi

为横坐标，绘理论频率曲线，将此曲线画在绘有经验点据的图上。⑤

调整参数，选择采用曲线看曲线与经验点据配合的情况，若配合不好，可调整参数，使频率曲线与经验点据配合最好即可。⑥求设计值xP根据设计频率P（设计标准或设计保证率），求出设计值xP

。P参数与频率曲线形状的关系：（1）均值对频率曲线

形状的影响当皮尔逊Ⅲ型频率曲线的两个参数CV和CS不变时，均值不同，频率曲线也不同，均值越大，曲线越往上移。（2）变差系数对频率

曲线形状的影响为了消除均值的影响，以模比系数K为变量绘制频率曲线，图中均值K=1。随着CV的增大，频率曲线偏离均值的程度也随之增大，曲线显得越来越陡。（3）偏态系数对频率曲线形状的影响CV=0.1时不同的CS对频率曲线的影响情况。从图中可以看出，正偏情况下，CS愈大，均值（即图中K=1）对应的频率愈小，频率曲线的中部愈向越大，曲左偏，且上段愈陡，下段愈平缓。即CS线越凹。调整参数时，如果用矩法计算的参数作为初试值，一般经验是：均值不动，先调整CV

，如果还配不好线，最后在经验范围内调整CS

与CV

的倍比。【例

7-31】某坝址处有21年实测年最大洪峰流量资料，试用适线法推求统计参数，并求百年一遇设计洪峰流量。年份洪峰流量（m3/s）序号m由大到小排列QmP=m/(n+1)(%)19751540127504.51976980223909.1197710903186013.6197810504174018.2197918605154022.7198011406152027.319817907127031.8198227508126036.419837629121040.91984239010120045.41985121011114050.51986127012109054.61987120013105059.11988174014105063.819898831598068.2199012601688372.719914081779477.3199210501879081.8199315201976286.419944832048390.919957942140895.41、点绘经验点据n

=212、参数估计矩法：计算器计算均值、变差系数初试取：适线，调整参数，最后确定参数为：设计值：6.4.2.3 优化适线法（optimization

method）优化适线法是在一定的适线准则（即目标函数）（objective

function）下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数的方法。优化适线法按不同的适线准则分为三种：离差平方和最小准则（OLS）：离差绝对值和最小准则（ABS）：相对离差平方和最小准则（WLS）：为频率曲线的纵式中，坐标。当时的参数为最优。令就可解出适线准则下的最优解、CV

、CS

。求解方法：直接搜索；高斯-牛顿迭代法等。用矩法计算年径流的，CV

，CS

=2CV

，作为初估值，用适线法估计三个统计参数。并推求P=95%，P

=50%，P

=5%的设计值。作业：1、权函数法（weighted

function

method）式中，S为样本的标准差。6.4.2.4

其他方法式中：(7-42)式中，

、σ=

S

仍采用矩法估计。这样可以降低CS

的计算误差。称为权函数，取正态分布密度函数：2、概率权重矩法（method

of

probability

weighted

moments）对P-Ⅲ型分布，可以证明三个参数如下：式中，（7-44）M0、M1、M2

称为零阶、一阶、二阶概率权重矩。首先将系列从大到小排列：然后按下式计算：（7-48）H，CS

为R的函数，可由R查P.188，表7-3。或利用近似公式：（7-46）（7-47）步骤：①先将系列从大到小排列，并计算M0、M1、M2

；②计算均值③由式（7-45）计算R；④由表7-3查出H(R)、CS

；⑤由式（7-44）计算CV

。3、线性矩法6-5

相关分析（Correlation

Analysis）6.5.1

相关关系的概念自然界中有许多现象之间是有一定联系的，表现出一定的规律性。这种现象反映到数学上，就说是变量与变量之间是相互联系、相互依存的，就是它们之间存在一定的关系。变量与变量之间一般有如下三种关系：1、完全相关两变量x

与y

之间，如果每给定一个x

值，就有一个完全确定的y

值与之对应，则这两个变量之间的关系就是完全相关（或称函数相关）。完全相关的形式有直线关系和曲线关系两种，如图6-12所示。2、零相关两变量之间毫无联系，或某一变量的变化不影响另一变量的变化，这种关系则称为零相关或没有关系，如图6-13所示。3、相关关系若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，则称为相关关系或统计相关。如图6－14所示。用数理统计法建立上述两个或多个随机变量之间的联系，称之为相关关系。把对这种关系的分析和建立称为相关分析。当只研究两个变量的相关关系时，称为简单相关（simplecorrelation）；当研究3个或3个以上变量的相关关系时，则称为复相关或多元相关（multiplecorrelation）。在相关的形式上，又可分为线性相关（linear）和非线性相关（non-linear）。6.5.2

简单直线相关（simple

linear

correlation）6.5.2.1相关图解法（graphical

method）设变量x和y有n组对应观测数据（xi

,yi），i=1，2，…，n。把对应观测值点绘在坐标纸上，得相应的点据，该图称为散点图(scatter

diagram)，如果相关点据的平均趋势近似直线，即可通过点群中间及

点绘出相关直线，如图6-15。y=a+bxyx6.5.2.2

相关分析法设直线相关方程的形式为:y

=

a

+

bx（6-47）式中，x：自变量；

y：倚变量；a、b：待定系数。观测点（xi，yi）与配合直线上点在纵坐标方向的离差：Δyi(xi,yi)yy=a+bxx要使直线与点据配合最好，应使离差平方和最小，即：按照求极值的方法，分别对a、b求偏导数，并令等于零，即：解之，得：（6-49）（6-50）将b改写为：则a可改写为：称：为相关系数（coefficientofcorrelation），用于表示与y的相关密切程度。最后得y倚x的回归方程（the

regression

equation

of

Yon

X

）：它的图形称为y倚x的回归线。记：称为y倚x的回归系数（regressioncoefficient），表示回归线的斜率。由此，y倚x的回归方程又可写为：回归方程所确定的回归线是与经验点据拟合最好（误差最小）的配合线。同理可得x倚y的回归方程：6.5.2.3相关分析的误差1、回归线的误差回归线仅是观测点据的最佳配合线，通常观测点据并不完全落在回归线上，而是散布于回归线的Δyi(xi,yi)y=a+bxyxxi两旁。因此，回归线只反映两变量之间的平均关系。由回归线推算的值和实际值之间存在着误差。Δyi(xi,yi)y=a+bxxiyx对某一xi

，在y倚x的回归线上对应值，它只是实际yi

的一个最佳估计值（理论上的平均值），它与实际值yi

之差

即为误差。而对于这个xi

，实

际的yi

有许多可能值，可上可下，是一个随机变量。因此，误差Δyi

也是变化的，也是一个随机变量。yi

是随机变量，其均值

，均方差记为Syi

。根据误差理论，误差服从正态分布，因此有：此式表示：对某一xi

，用直线上的作为实际yi

的估计值，而实际yi出现在范围内的可能性为68.3%。y=a+bxxiyxy=a+bxxiyx=a+bx-Sy=a+bx+Sy若将所有的xi的误差范围求出，略去脚标i，就可定出y的误差范围：其意义为：对任意x，由回归线上的对应值作为实际值的估计值，估计值与实际值的误差有

68.3%的可能性误差不超过一个均方差Sy。或实际值出现在两条直线之间的可能性为68.3%。=a+bxxyx=a+bx-Sy=a+bx+Sy误差的大小实际取决于均方差的大小。均方差计算公式为：Sy

为回归线的均方差，用于表示误差，故又称为均方误（mean

square

error）。均方误Sy与变量y的均方差

σy

不同，两者的关系为：2、相关系数及其误差数理统计中，一般采用相关系数r

来描述和判别变量x

和y

之间的相关程度，相关程度即回归线与点据之间的密切程度。对直线相关，即直线与点据之间关系的密切程度。代入上式由式（6-49），整理得：令：定义：由式（6-49）：代入上式，整理得：或由式（6-58），得：r

称为相关系数，用来判别变量x与y之间线性相关的密切程度：①x与y完全相关，即x与y为严格的函数关系；Δyi(xi,yi)=a+bxxiyx②此时误差最大，r

=0，x与y没有关系，即零相关，或不是直线关系；③介于上述二者之间，y即统计相关。S

越小，越大，x与y的关系越密切，点据越接近回归线。r

为正时称为正相关，r为负时称为负相关。水文计算中建立相关关系时，要求x与y同步观测数据

n≥12，

≥0.8，且回归线的均方误Sy不应大于均值

的15%。3、相关系数的统计检验在相关分析中，相关系数是根据有限的实测资料（样本）计算出来的，必然会有抽样误差。因此，为了判断两变量之间是否真正存在相关关系，必须对样本相关系数作出判断，方法为统计检验。总体不相关（r

=

0）的两变量，由于抽样原因，样本的相关系数不一定等于零。为此，需要对相关系数进行显著性检验。α检验方法是：先选一个临界相关系数r

，与样本的相关系数

相比较，若α＞r

，则具有相关关系；否则，无相关关系。r

可以根据样本项数nα和信度α或称为显著性水平（一般采用α=0.01或α=0.05

）从已制成的相关系数检验表中查取。除了统计检验外，还可以通过相关系数的均方误和机误来判断两变量是否存在相关系数。按统计学原理，相关系数的均方误为：相关系数的机误为：一般，当时，认为存在相关关系。【例6-32】P.160某站年降水和年径流相关年降水x，年径流y，n=12（1）参数（2）（3）相关系数（4）y倚x的回归方程（5）回归线均方误（6）相关系数的机误说明两变量存在相关关系。利用年降水量插补年径流量见表6-7（P.162）。6.5.3

曲线相关（curvilinear

correlation）许多水文现象之间的关系，并不表现为直线关系而具有曲线相关的形式。工程水文中常采用幂函数和指数函数两种曲线。曲线相关可以进行线性化变换，将曲线相关化为直线相关。即先将曲线转换为直线，进行直线回归分析，最后再转换回曲线。1．幂函数（power

function）（6-64）幂函数的一般形式为：y

=

axb两边取对数lg

y

=lg

a

+

b

lg

x令则有Y

= lg

y,

A

=

lg

a,

X

=