2026年河北省石家庄市中考二模考试数学试题附答案

中考二模考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（）A． B．20 C． D．2．中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（）A．主视图和俯视图相同B．主视图和左视图相同C．左视图和俯视图相同D．主视图、左视图和俯视图都相同3．下列计算正确的是（）A． B．C． D．4．如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（）A．1 B．1.5 C．1.6 D．25．如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼；若；，，则入射角的度数为（）A． B． C． D．6．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（）A．-3 B．1 C． D．7．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位．则陪餐老师和学生乙坐在正对面的概率是（）A． B． C． D．8．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则9合为（）A．粟 B．粟 C．粟 D．粟9．古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降.某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米.设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，则下列方程正确的是()A． B．C． D．10．如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（）A． B．2 C． D．111．如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（）A． B．8 C． D．12．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．计算=．14．如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为．15．一个正数的平方根分别是和，则.16．如图，线段，点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，其中向点运动，向点运动，两点分别到达点、点时停止运动．以为一边的矩形面积始终为6．设点的运动时间为秒，之间的距离为，的长度为．在平面直角坐标系中，以为横坐标、为纵坐标，得到和随变化的图像．当时，设这两个函数的图象与直线所围成的封闭图形为（包括边界）．在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的个数为个．三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算、解不等式组：（1）；（2）．18．“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等．表1

表2

表342

18？3

05

4根据题意回答：（1）表1三阶幻方中间的数字是_____；（2）设表2三阶幻方中间的数字是，①用含的代数式表示幻方中9个数的和；②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍；③求第一行中间的代数式；（3）类比于“幻方”，表3是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表格信息求．19．如图，在四边形中，，点为中点，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，．（1）求证：；（2）若为的四等分点，当时，求的值．20．“赋能，改变生活”，行业的兴起为各行各业带来了前所未有的创新和变革．某科技公司为了了解甲款软件的使用效果，随机抽取10名软件工程师和名各行业普通使用者做评委，对甲款软件的使用效果进行评分（评分用表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息：a．软件工程师评分：82838588909090919596b．普通使用者的评分整理后分成5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制成如图12的频数分布直方图和扇形统计图．c．评委评分平均数、中位数、众数如下表：

平均数中位数众数软件工程师评分90普通使用者评分9191根据以上信息，回答下列问题：（1）_____，_____，_____；（2）b的值位于____组，请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数为_____；（4）为了让使用者对软件有更多的了解，该科技公司再次组织这10名软件工程师和名普通使用者考察乙款软件．已知软件工程师和普通使用者评委对乙款软件打分的平均数分别为87分，92分．若软件工程师打分（取平均数）占，普通使用者打分（平均数）占，确定甲、乙两款软件的最终得分，如果只比较两款软件的最终得分，请通过计算说明哪款软件更受欢迎？21．某大型摩天轮如图1所示，摩天轮共设有28个轿厢（大小忽略不计），把摩天轮看作，摩天轮依靠等腰三角形钢架支撑固定于地面上，如图2所示，已知，，轿厢旋转至最低点距离地面高度为，摩天轮匀速旋转一圈用时．（1）求支架固定点距离地面的高度；（，，，结果保留整数）（2）某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径长为多少；（结果保留）（3）要在摩天轮上安装一条彩灯（为线段，如图3），彩灯到劣弧的中点的距离为，求彩灯的长度．22．杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”．设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．）（1）已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离；①根据题意，求出关于的函数表达式；②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离；（2）在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量；（3）若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围．23．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24．【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）．（1）【探究】问题1：在中，______；（2）问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹）（3）【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长；（4）问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案；①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围．③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值．

答案1．【答案】C【解析】【解答】解：指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦，正数表示音调偏高，需放松琴弦，负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为，指针指在0处为标准音，且2最小，最接近标准音的是．

故选：C.【分析】根据正负数的意义得出正数表示音调偏高，需放松琴弦，负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，再根据最接近标准音0处的负数是-2，即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知：该白釉暗刻龙纹高足杯的主视图和左视图相同，故B选项符合题意．

故选：B.

【分析】根据图形的三视图进行判断，即可得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、，A错误，故A不符合题意；B、，B错误，故B不符合题意；C、∵与不是同类项，不能合并，C错误，故C不符合题意；D、，D正确，故D符合题意．

故选：D.

【分析】根据单项式的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则，逐项进行判断，即可得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵D、E分别为，的中点，，∴，∵，D为的中点，，∴，∴．

故选：B.【分析】根据三角形中位线定理求出的长，根据直角三角形斜边中线的性质求出的长，利用进行计算，即可得出答案．5．【答案】C【解析】【解答】解：∵，∴，∵，∴．

故选：C.【分析】根据平行线的性质得出，利用进行计算，即可得出答案．6．【答案】C【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，，，，．

故选：C.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据分式加法法则先化简，变形为，再把，整体代入进行计算，即可得出答案．7．【答案】B【解析】【解答】解：陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位，所有可能的排列如下：老师，学生乙；老师，学生乙；老师，学生乙；老师，学生乙；老师，学生乙；老师，学生乙；共种等可能的情况，只有当老师和学生乙坐在和时，才满足正对面的情况，则符合情况的有：老师，学生乙；老师，学生乙；则陪餐老师和学生乙坐在正对面共种情况，∴陪餐老师和学生乙坐在正对面的概率．

故选：B.【分析】列出陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位的所有情况，再找出陪餐老师和学生乙坐在正对面的情况，再利用概率公式进行计算，即可得出答案．8．【答案】B【解析】【解答】解：9合勺勺抄抄撮撮圭圭粟粟，粟．

故选：B.【分析】根据题目给出的单位进率逐步换算得到9合对应的粟数，再写成科学记数法的形式，即可得出答案．9．【答案】D【解析】【解答】解：设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，列方程为，

故答案为：D.

【分析】设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，根据“水匀速滴出，水位均匀下降.某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米”列分式方程即可解答.10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接，∵六边形为正六边形，∴，，∴为等边三角形，

∴，∵正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，∴，∴，∴，∴正六边形的边长为，同理正六边形的边长为，……，正六边形的边长为．

故选：A.

【分析】连接，根据正六边形的性质可得出为等边三角形，再结合切线的性质得出，根据勾股定理得出到，从而得到正六边形的边长，同理得到正六边形的边长为，从而得出正六边形的边长为，即可得出答案．11．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，∴，，，由翻折的性质可知：，，，，∴，在中，，∴，设，在中有：，∴，

∴，设，在中，，∴，∴，∴．

故选：A.【分析】根据翻折的性质得出，，，，得出，，，再根据勾股定理求出，，从而得出，即可求出.12．【答案】A【解析】【解答】解：如图，正方形硬纸板的边长为，

设cm，，，，，在中，由勾股定理可得：，，解得：或（负值舍去），立方体的棱长．

故选：A.【分析】根据正方形的性质、几何体展开图的认识以及勾股定理，通过

设，得出，，根据几何体展开图得出，在中利用勾股定理列出方程，解方程求出的值，从而得出BD的长，即可得出答案.13．【答案】1【解析】【解答】解：故答案为：【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式等知识。首先观察发现，需要计算的式子和平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，利用该公式先变形，然后按照二次根式的混合运算步骤进行计算即可。14．【答案】或1【解析】【解答】解：设“理想点”P表示的数为x，当时，，，；当时，，，；综上，P表示的数为或1．

故填：或1．

【分析】设“理想点”P表示的数为x，分两种情况讨论：当时和当时，根据“理想点”的定义分别列出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得出答案．15．【答案】2【解析】【解答】解：根据题意可得：x+1+x﹣5=0，解得：x=2，故答案为：2.【分析】一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，据此解答即可.16．【答案】6【解析】【解答】解：∵点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，，点的运动时间为秒，当时，，，则，即；当时，，，则，即；因为矩形的面积始终为6，，根据矩形面积公式，∴，即，如图，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的点为，，，，，，共6个点．

故填：6.【分析】根据题意分两种情况：当时，当时，分别求出的表达式，再根据矩形的面积始终为6，求出的表达式，画出函数的图象，找出封闭区域G中的格点，并判断这些格点是否在或的图象上，即可得出答案．17．【答案】（1）解：，，，；（2）解：，解不等式①得：解不等式②得：，则不等式组的解集为．【解析】【分析】（1）把的余弦值代入，根据绝对值以及正整数指数幂进行计算，再计算乘法，然后计算加减法，即可得出答案；（2）根据一元一次不等式组的解法，先分别求出两个不等式的解集，再求出它们的公共解，即可得出答案．（1）解：；（2）解：，解不等式①得解不等式②得，则不等式组的解集为．18．【答案】（1）解：1；（2）解：①幻方中9个数的和为，

∴幻方中9个数的和为；

②3；

③第一行中间代数式为：，

∴第一行中间代数式为；（3）解：∵横、竖、斜三数之积均相等，

，

解得：，，

.【解析】【解答】解：（1）由题意可知，，∴，

故填：1；（2）②由①知每一行、每一列、每一对角线三数之和等于中间数的3倍，

故填：3；

【分析】（1）根据每一行各个数之和都相等，得出，得出，即可得出答案；（2）①求出第三列三个数的和，再乘以3进行计算，即可得出答案；②由①得出结论：每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的3倍，即可得出答案；③用每一行、每一列、每条对角线三数之和减去第一、三的式子，列式进行计算，即可得出答案；（3）根据每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等，列出方程，解方程求出m，n的值，再计算的值，即可得出答案.（1）解：由题意可知，，∴，（2）解：①幻方中9个数的和为，②由①知每一行、每一列、每一对角线三数之和等于中间数的3倍③第一行中间代数式为：（3）解：∵横、竖、斜三数之积均相等，，解得：，，；19．【答案】（1）证明：∵点为中点，，，，在和中，，；（2）解：，．、、为的四等分点，，，．，，，，，．【解析】【分析】（1）根据线段中点定义得出，根据平行线的性质得出，利用“”即可证出；（2）根据全等三角形的性质得出，再根据四等分点得出，从而得出，再证明得出，从而得出，即可求出的长.（1）解析略（2）解：，．、、为的四等分点，，，．，，，，，．20．【答案】（1）解：40；89；90；（2）解：C；

E组频数为（人），

补全频数分布直方图如图所示；

（3）解：36；（4）解：甲款软件最终得分：（分），乙款软件最终得分：（分），

，

∴甲款软件更受欢迎．【解析】【解答】解：（1）∵C组频数为14，占比为35%，

∴；软件工程师评分平均数，软件工程师评分中，90出现的次数最多，所以软件工程师评分众数；

故填：40；89；90；（2）名各行业普通使用者，则其中位数是第20、21位数的平均数，由频数分布直方图可知，b的值位于C组；

故填：C；（3）E组对应的扇形圆心角的度数为；

故填：36；

【分析】（1）根据C组的频数和所占的百分比列式进行计算，即可得出总人数m；根据平均数和众数的定义求出、的值，即可得出答案；（2）根据中位数的定义及各组的频数得出的值位于C组；求出E组的频数，补全频数分布直方图即可；（3）用乘以E组的占比列式进行计算，即可得出答案；（4）根据加权平均数的定义分别求出两款软件最终得分，再比较大小，即可得出答案．（1）解：，软件工程师评分平均数，软件工程师评分中，90出现的次数最多，所以软件工程师评分众数；（2）解：名各行业普通使用者，则其中位数是第20、21位数的平均数，由频数分布直方图可知，b的值位于C组；（人），补全频数分布直方图如图所示；（3）解：E组对应的扇形圆心角的度数为；（4）解：甲款软件最终得分：（分），乙款软件最终得分：（分），，∴甲款软件更受欢迎．21．【答案】（1）解：延长交于点，则OH⊥MN，

∵在中，，，，

∴，

解得，

答：支架固定点距离地面的高度约为；（2）解：由题意得m，

∴半径，

∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点出发，后到达点，

∴，

∴，

答：该轿厢所经过的路径长度为．（3）解：连接交于点，连接，

∵点为劣弧的中点，

∴，，

∵，，

∴，

在中，，

∴，

∴，

答：彩灯的长度为．【解析】【分析】（1）延长交于点，根据题意得出OH⊥MN，解求出的长，即可得出答案；（2）先求出摩天轮的半径OA，再求出，再根据弧长公式列式进行计算，即可得出答案；（3）连接交于点，连接，根据垂径定理的推论得出，，利用勾股定理求出EP的长，从而求出EF的长，即可得出答案．（1）解：延长交于点，在中，，，，∴，解得，答：支架固定点距离地面的高度约为．（2）解：由题意得，∴半径，∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点出发，后到达点，∴，∴．答：该轿厢所经过的路径长度为．（3）解：连接交于点，连接，∵点为劣弧的中点，∴，，∵，，∴，在中，，∴，∴，答：彩灯的长度为．22．【答案】（1）解：①，，，

，

；

②∵零刻度时，，

，

∴零刻度所对应的点与点之间的距离为；（2）解：∵当一个物体的质量为，

，

设生锈的秤砣的质量为，

，

解得：，

∴生锈秤砣的质量为；（3）解：由题意得：，

把代入．得：，，，越大，越小，当时，，．​​​​​【解析】【分析】（1）①把代入得出，即可得出答案；

②把代入，得出，即可得出答案；（2）根据题意求出当一个物体的质量为时，，设生锈的秤砣的质量为，根据杠杆原理得出，解方程求出x的值，即可得出答案；（3）根据得出，再代入，得出，从而得到越大，越小，求出当时，，即可得出答案．（1）解：①，，，，．②∵零刻度时，，．∴零刻度所对应的点与点之间的距离为．（2）解：∵当一个物体的质量为，，，设生锈的秤砣的质量为，，解得：，∴生锈秤砣的质量为．（3）解：由题意得：，代入．得：，，，越大，越小，当时，，．23．【答案】（1）解：135；（2）解：如图，

​​​​​​​（3）解：如图，连接交于，

∵四边形是平行四边形，

，即点是的中点，

如图，过作于，于，

，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

；（4）解：由题意得，，，，，当时，的长最小，如图，过作于，由问题3求得，，，，，，，长的最小值是，

∴当时，的长最小，长的最小值是.【解析】【解答】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，

故填：135；【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，

求出的度数，即可得出答案；（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法，作出AP⊥BD于点P，即可得出答案；（3）连接交于P，根据平行四边形的性质得出点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线定理得出，，根据平行四边形的面积求出，得出，再求出AE的长，利用勾股定理求出AP的长，即可得出答案；（4）根据题意得出，，，得出，从而得出当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理求出BD的长，根据三角形的面积公式得出AP的长，从而得出CM和CN的长，根据勾股定理求出MN的长，即可得出答案．（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴．（2）解：略；（3）解：连接交于，∵四边形是平行四边形，，即点是的中点，过作于，于，，，，，，，，，，，，，，；（4）解：由题意得，，，，，当时，的长最小，过作于，由问题3求得，，，，，，，长的最小值是．24．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为，

∴可设该抛物线的解析式为，

∵，

∴点，

把点代入得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

​​​​​​（2）解：①存在，

对于，当时，，

解得：，

∴点，

∴，

∵，

∴，

∴，

对于，当时，，

解得，，

点坐标为或，

由折叠的性质得：点，

∴当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式为，

此时图象开口向上，顶点坐标为，图象最低点的纵坐标为，

所以翻折后出现的函数图象部分不存在点，

综上所述，点H的坐标为或；

②设直线的解析