初升高数学衔接 专题08 等式性质与不等式性质（精讲）

预备预备新高一数学专题08等式性质与不等式性质1．掌握等式的基本性质，理解等式变形的逻辑依据．2．掌握不等式的基本性质，明确不等式变形的规则与禁忌．3．能熟练利用性质比较实数与代数式的大小关系．4．掌握不等式性质的综合应用，能解决大小比较、范围判断、正误辨析问题．一、等式的基本性质1．对称性：若，则．2．传递性：若且，则．3．可加性：若，则．4．可乘性：若，则．5．可除性：若且，则．二、实数大小比较依据（作差法核心）对任意实数a,b，有以下等价关系：1．2．3．核心作用：将代数式大小比较转化为差值正负判断，是本章最基础、最通用的方法．三、不等式的八大基本性质1．对称性：若，则．2．传递性：若且，则．3．可加性：若，则．4．同向可加性：若，则．5．可乘性：若，则；若，则ac（乘负变号）．6．同向正值可乘性：若，则．7．正值可乘方性：若，则．8．正值可开方性：若，则题型01利用作差法比较代数式大小1．作差法通用步骤（1）作差：构造两个代数式的差值；（2）变形：通过因式分解、配方、通分整理差值；（3）判号：判断差值正负或是否为0；（4）下结论：根据正负判定大小．2．实例逻辑（如：比较与2x，作差配方得，可直接判定大小）作差法适配所有整式、分式大小比较，不受正负、范围限制，适用性最广．3．解题作用解决基础数值、代数式大小比较问题，是本节最核心的基础方法．学以致用学以致用【例1】（2026春•温江区校级期中）已知，，则与的大小关系为（）A． B． C． D．与有关【答案】【分析】利用作差法即可比较，的大小．【解答】解：因为，，所以，所以．故选：．【例2】（2025秋•内蒙古校级期末）若，，则（）A． B． C． D．，的大小关系无法确定【答案】【分析】结合作差法，即可求解．【解答】解：，，则，故．故选：．【例3】（2025秋•冀州区校级期中）已知，，则与大小关系是（）A． B． C． D．【答案】【分析】应用作差法比较大小即可．【解答】解：因为，，，所以．故选：．题型02不等式对称性与传递性的应用1．性质应用逻辑（1）对称性（如：已知，可等价转化为n<m，实现不等式方向互换）对称性用于统一不等式书写方向，适配链式大小排序题型．（2）传递性（如：已知，可递推得到，间接推导大小关系）传递性用于多组不等式链式推导，实现间接大小判定．2．易错提醒传递性必须保证中间量完全衔接，断裂条件无法递推大小．3．解题作用解决多实数、多代数式链式排序、间接大小推导题型．学以致用学以致用【例4】（2026春•乌鲁木齐校级月考）下列命题为假命题的是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则【答案】【分析】利用不等式的性质逐项判断作答．【解答】解：对于，若，，则，是真命题；对于，若，，则，是真命题；对于，若，，则，是真命题；对于，取，，，，满足，，而，是假命题．故选：．【例5】（2025秋•龙岗区校级期中）若，，为非零实数，且，，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】利用不等式的性质或举反例逐一判断各选项即可．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，因，，，的大小不确定，故错误；对于，若取，，，满足，，但，故错误；对于，由，，则，即，故正确；对于，若取，，，满足，，但，故错误．故选：．【例6】（2025秋•顺义区校级期中）设，，为实数，且，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合不等式性质检验各选项即可求解．【解答】解：因为，所以，错误；，正确；，错误；当，，时，显然错误．故选：．题型03不等式可加性与同向可加性辨析1．两类加法性质区分（1）单项可加性（如：，则，两边同加任意数，方向不变）单侧加常数、加代数式，不改变不等式方向，属于恒成立变形．（2）同向可加性（如：，相加得，同向叠加放大范围）仅同向不等式可相加，异向相加无固定规律，属于高频易错点．2．核心禁忌严禁将同向可加性逆用，不等式不可相减．3．解题作用用于不等式范围放大、多条件整合，适配取值范围判断题型．学以致用学以致用【例7】（2026•荷塘区校级学业考试）若实数，满足，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合不等式的性质检验各选项即可求解．【解答】解：因为，则，故正确，错误；因为，故，即，故，错误．故选：．【例8】（2025秋•泉州校级期中）若，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】举特殊值可判断、和，由不等式的性质可判断．【解答】解：对于，当时，故错误；对于，因为，所以，故正确；对于，当，，时，满足，但，，，故错误；对于，当，，时，满足，但此时，故错误．故选：．【例9】（2026•西城区校级模拟）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据不等式的性质即可判断的正误；举反例即可判断的正误．【解答】解：因为，，所以，正确；取，，，，得出，错误；取，，，，则，，错误．故选：．题型04不等式可乘性的正负辨析应用1．正负分类逻辑（1）乘正数不变号（如：，同乘，得，方向保持一致）正数不改变不等式大小关系，是安全变形条件．（2）乘负数必变号（如：，同乘，得，方向反转）负数是不等式变形最大陷阱，未知正负必须分类讨论．2．解题核心规则遇乘法先判正负，正同、负反、零单独讨论．3．解题作用规避不等式乘除变形的高频错误，是不等式变形的核心依据．学以致用学以致用【例10】（2026•温州学业考试）已知，，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可求解．【解答】解：已知，，则，，，故，正确；，则，，，故正确；取，，，，满足，，此时，，即，故不恒成立，故错误；，则，，则，故，故正确．故选：．【例11】（2026春•天津校级期中）已知，，，且，，，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】举出反例检验选项，结合不等式性质检验选项．【解答】解：对于，当，，时，错误；对于，当，，时，，错误．对于，当，，时，，错误；对于，因为，，所以，正确．故选：．【例12】（2026•海淀区校级模拟）已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据举反例的方法判断，，根据不等式的性质判断，．【解答】解：当，，，时，，错误；当，，，时，，错误；因为，所以，又，则，即，正确，错误．故选：．题型05同向正值不等式可乘性应用1．适用前提条件（1）必须同向、必须全正（如：，可相乘得）缺少正值约束、方向不同，均不可直接相乘，极易误判．（2）不可逆用（乘积大无法推出原式大，存在正负干扰）正值相乘仅能正向推导，反向推导不成立．2．解题关键先判定所有式子是否为正数，再判定方向是否同向，缺一不可．3．解题作用解决正数不等式叠加、乘积大小比较的综合问题．学以致用学以致用【例13】（2025秋•孝感期末）下列命题是假命题的为（）A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则【答案】【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．【解答】解：当时，显然为假命题；若，，则，为真命题；若且，则，，为真命题；若，则，所以，为真命题．故选：．【例14】（2026•浦东新区校级模拟）已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】对于：举反例说明即可；对于：利用作差法分析判断即可．【解答】解：对于选项：当，时，显然错误；对于选项：当，，满足，但，故错误；对于选项：因为，且，、是非零实数，则，，可得，即，故正确．故选：．【例15】（2026春•威远县校级期中）如果，，，，则正确的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则【答案】【分析】举例说明是错误的，用作差法证明是正确的．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，取，，则，故错误；对于，取，则，故错误；对于，由于，所以，则，故正确；对于，取，，，，则，，，故错误．故选：．题型06不等式乘方与开方性质应用1．性质适用前提（1）正值可乘方（如：，则，正数乘方保持大小方向）正数范围内，乘方、开方均保持单调递增，大小关系不变．（2）负值不可直接套用（如：，平方后，方向反转）负数不满足乘方单调性，直接套用性质必然出错．2．核心判定规则先判正负，全正可直接乘方开方，含负必须单独分析．3．解题作用解决根式、平方数、高次幂的大小比较难题．学以致用学以致用【例16】（2025秋•百色期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：当时，，，故错误；令，，满足，但，故错误；，则，又，则，故正确．故选：．【例17】（2026春•闵行区校级期末）若，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据已知条件，结合特殊值法和函数单调性，即可求解．【解答】解：对于，令，，满足，但，故错误，对于，在上单调递增，又，（a）（b），即，故正确，对于，令，，满足，但不成立，故错误，对于，当时，，故错误．故选：．【例18】（2026•杨浦区二模）若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据，取，，则可排除错误选项．【解答】解：由，取，，则可排除．故选：．题型07不等式命题正误辨析判断题1．正误辨析通用逻辑（1）正面验证：符合不等式基础性质、满足正负前提、方向规则，即为真命题．（2）举反例否定：只要找到一组正负数值不满足结论，即可判定命题为假．2．高频陷阱汇总未知正负直接乘除、异向不等式相加、负数直接乘方、不等式随意相减，均为常见错误命题．3．解题步骤先看前提、再看运算、最后判方向，无前提默认错误．4．解题作用适配本章选择、填空高频辨析题型，快速秒杀真假命题判断．学以致用学以致用【例19】（2026春•朝阳区校级期中）已知，，，则下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】【分析】结合特殊值反例与作差配方的方法，逐一判断每个选项的不等式是否恒成立，排除错误选项后确定正确结论．【解答】解：选项取，，，此时，，满足，但，与结论矛盾，因此错误．选项作差得，其中，当且仅当时取等号，由得，且，故，因此，即，故正确．选项当时，，不满足，因此错误．选项二次根式的定义域为，若，则与均无实数意义，不等式不成立，因此错误．故选：．【例20】（2026•上海校级模拟）下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则【答案】【分析】根据不等式的性质可解．【解答】解：对于，若，则，不能得到，故错，对于，若，，则，则不能得到，故错，对于，若，取时，无意义，故错，对于，若，，则，两边同时除以，则，故正确．故选：．【例21】（2026•内蒙古校级模拟）已知实数，，满足，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可求解．【解答】解：若，则，，，错误；当时，错误；，但，正负不确定，错误；，所以，正确．故选：．题型08利用不等式性质求取值范围1．范围求解核心逻辑（1）条件整合：利用可加性、可乘性对已知不等式范围进行合理变形、叠加．（2）精准控界：严格保留边界，区分能否取等，杜绝范围放大过度．（3）禁止乱变形：严禁不等式相减、随意除法、未知正负缩放．2．标准解题流程先拆分已知范围，再合法变形叠加，最后整合目标代数式范围，验证端点．3．解题作用本节高频重难点题型，是后续线性规划、值域问题的基础．学以致用学以致用【例22】（2026春•威远县校级期中）已知，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】【分析】用