初升高数学衔接 专题11 函数的概念（精讲）

预备预备新高一数学专题11函数的概念1．理解函数的定义、三要素（定义域、对应关系、值域），熟练掌握区间的规范表示方法．2．熟练求解具体函数、抽象函数的定义域，掌握由定义域逆向求解参数的思路．3．掌握简单函数、抽象函数的值域求解方法，能依据值域条件求解参数范围．4．掌握同一函数的判定依据，能准确区分不同函数，规范使用区间表示数集．一、函数的概念设非空实数集、，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．1．函数记法：2．函数三要素（1）定义域：自变量的取值集合；（2）对应关系：法则，是自变量对应的核心规则；（3）值域：所有函数值构成的集合，且值域是集合的子集．3．核心准则：任意性、唯一性．一对一、多对一可构成函数，一对多不构成函数．二、区间的概念与规范表示区间是表示连续实数集的规范形式，分为有限区间与无限区间，包含端点用方括号，不包含端点用圆括号，无穷量统一用圆括号．1．有限区间闭区间：[a,b]（）；开区间：（a<x<b）；半开半闭区间：（,（a）．2．无限区间、、、、3．易错规范：不存在、写法，无穷大数无法取到，必须用开区间．三、具体函数定义域四大限制条件1．分式型：分母不为0，即；2．偶次根式型：被开方数非负，即；3．零次幂型：底数不为0，即；4．实际应用型：自变量需符合实际意义（长度、数量等大于0）．四、同一函数的判定标准两个函数为同一函数，必须同时满足两个条件，缺一不可：1．定义域完全相同；2．对应关系完全相同（化简后运算规则一致）．值域由定义域和对应关系唯一确定，无需单独验证．定义域不同、或对应关系不同，均为不同函数．五、抽象函数核心规则1．同一对应法则下，括号内整体代数式的取值范围保持不变，与字母无关；2．、、为同一个函数，仅自变量符号不同，三要素完全一致。题型01函数的概念及其构成要素1．概念核心判定：严格依据“任意一个x对应唯一y”判定对应关系是否为函数。定义域内任意自变量必须有对应值，一对多对应关系绝对不是函数。2．三要素辨析技巧：定义域是函数存在的前提，对应关系是函数的核心，值域是派生结果。判断函数异同、求解范围，优先看定义域与对应关系。3．解题作用：解决函数概念辨析、对应关系判断、三要素识别基础题型，是本章所有考点的铺垫。学以致用学以致用【例1】（2026春•望都县校级期中）下列图形可作为函数图象的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据函数的定义即可判断．【解答】解：对于、、均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象，对于，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象．故选：．【例2】（2026•东营一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定【答案】【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应，若不在函数定义域内，则直线，与函数的图象的交点个数为0，若在函数定义域内，则直线，与函数的图象的交点个数为1，所以交点个数为0或1．故选：．【例3】（2025秋•鞍山期末）下列各图中，一定不是函数图象的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据函数的概念逐项判断即可．【解答】解：由函数的概念可知，每一个自变量的值都有唯一的值与它对应，四个选项中，只有选项存在一个对应两个，不符合函数概念，所以的图象一定不是函数图象，其他选项符号函数的概念．故选：．题型02简单函数的定义域1．单一约束求解：针对分式、偶次根式、零次幂，根据对应限制条件列不等式，直接求解自变量范围．2．多重约束求解：函数同时包含分式、根式、零次幂等结构时，联立所有限制不等式，取解集交集，保证所有式子同时有意义．3．标准解题流程：列限制不等式→求解不等式组→整理为区间或集合形式．4．易错提醒：整式函数无特殊约束时，定义域为．学以致用学以致用【例4】（2026•广州模拟）函数的定义域为，，．【答案】，，．【分析】由题意可得关于的不等式组，求解得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：且，所以函数的定义域为，，．故答案为：，，．【例5】（2025秋•阳泉期末）函数的定义域为（）A． B．，， C． D．【答案】【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，得到关于的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：且，故函数的定义域是，，．故选：．【例6】（2026•原阳县模拟）使得式子有意义的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】【分析】考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围．【解答】解：由，得，解得．则使得式子有意义的的取值范围是，．故选：．题型03抽象函数的定义域1．核心本质：抓“法则不变，整体范围不变”，不看自变量字母，只看作用的整体取值区间．2．两类核心考法（1）已知定义域，求定义域：令内层函数的取值范围与原自变量范围一致，解出即可；（2）已知定义域，求定义域：先根据范围求出整体值域，该范围即为的定义域．3．高频易错：不可直接替换自变量，严禁混淆“整体范围”与“单个字母范围”．学以致用学以致用【例7】（2025秋•乌鲁木齐期末）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】结合抽象函数定义域的解法，即可求解．【解答】解：函数的定义域为，，对于函数，令，解得，故的定义域为，．故选：．【例8】（2026春•开福区校级期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解．【解答】解：函数的定义域为，则，所以函数的定义域为；若函数有意义，则，解得．故选：．【例9】（2026春•天津校级期中）已知函数的定义域是，，则函数的定义域是（）A． B． C．， D．，【答案】【分析】由已知求得函数的定义域，进一步求解得答案．【解答】解：因为函数的定义域为，，即，所以，即函数的定义域为，，要使有意义，则，解得．则函数的定义域是，．故选：．题型04由定义域求解函数或参数1．逆向解题逻辑：已知函数固定定义域，反向推导式子满足的恒成立条件，进而求解参数取值．2．常见模型：定义域为，说明分母恒不为0、根式被开方数恒非负，转化为不等式恒成立问题；定义域为有限区间，说明限制不等式的解集与已知区间一致．3．解题技巧：根据定义域边界，锁定方程零点、不等式解集，联立条件求解参数，必要时分类讨论参数取值．学以致用学以致用【例10】（2026•杭锦后旗校级模拟）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A．， B． C．， D．，，【答案】【分析】问题转化为对任意恒成立，再对分类求解得答案．【解答】解：若函数的定义域为，则对任意恒成立，当时，显然成立；当时，有，解得．综上所述，实数的取值范围是，．故选：．【例11】（2025春•牡丹江校级期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是，．【答案】，．【分析】根据题意知恒成立，再求解即可．【解答】解：函数的定义域为，则恒成立，当时，的图象开口向下，不满足题意；当时，恒成立，满足题意；当时，△，解得．综上所述，实数取值范围是，．故答案为：，．【例12】（2025秋•江西期中）若函数的定义域为，则的取值范围是．【答案】．【分析】由分母大于0，列式求解即可．【解答】解：的定义域为，则恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以．故的取值范围是．故答案为：．题型05简单函数的值域1．整式函数值域：一次、二次函数结合定义域区间，利用单调性、顶点最值、区间端点值，确定函数最值，写出值域区间．2．分式、根式函数值域：先求解内层代数式的取值范围，再结合函数单调性、变换规则，整体推导函数取值上下界．3．边界判定规则：能取到最值用闭区间端点，无法取到最值、无穷范围统一用开区间端点．学以致用学以致用【例13】（2025秋•绥棱县校级期中）函数的值域是（）A． B．， C．， D．，【答案】【分析】根据函数的单调性求解．【解答】解：函数在，上为单调递增函数，所以，即函数的值域为，．故选：．【例14】（2025秋•石家庄校级期中）函数，，的值域为（）A． B． C．， D．，【答案】【分析】换元后得到，结合函数单调性得到值域．【解答】解：，，设，则，，则，所以函数变为，在，上单调递减，其中，，所以函数的值域为，．故选：．【例15】（2025秋•海淀区校级期中）下列函数中，值域为的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合基本初等函数的性质即可求解．【解答】解：，当时，，显然错误；根据二次函数的性质可知，，错误；因为，所以，，错误；，正确．故选：．题型06抽象函数的值域1．值域传递原理：复合抽象函数的值域，由内层函数的取值范围，结合外层法则共同确定．2．核心结论：仅替换自变量字母，函数值域不变，与值域完全相同．3．解题流程：求内层整体取值区间→代入外层对应法则→判定最值与边界→写出最终值域．学以致用学以致用【例16】（2025秋•宜春校级期中）若函数的定义域和值域都是，，则函数的定义域和值域分别为（）A．和， B．和， C．，和 D．，和，【答案】【分析】结合函数平移及抽象函数的定义域和值域求解即可．【解答】解：由于函数的定义域和值域都是，，函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位得到，所以函数的定义域为，，值域为，．故选：．【例17】（2025春•长沙校级期末）若函数的值域为，则函数的值域为（）A．， B． C．， D．【答案】【分析】令，通过换元法将表示为，然后根据二次函数的性质求解出的值域．【解答】解：根据题意可知，令，得，，则，（2），对称轴，开口向上且，，函数的值域为，．故选：．【例18】（2025秋•徐汇区校级期中）若函数的值域是，，则函数的值域为，．【答案】，．【分析】由函数值域的定义可知，的左右平移不影响函数的值域，由此分析求解即可．【解答】解：因为函数的值域是，，所以函数的值域为，，则的值域为，，所以函数的值域为，．故答案为：，．题型07由值域求解函数或参数1．核心逻辑：值域是函数所有输出值的集合，给定值域等价限定函数的最大值、最小值，可逆向约束参数．2．常见考法：已知函数存在最值、值域不含某数值、值域为全体实数等条件，结合函数单调性、判别式、最值公式，建立参数等式或不等式．3．解题关键：区分值域范围与最值边界，精准锁定参数取值区间，避免范围扩大或缩小．学以致用学以致用【例19】（2025秋•南开区期中）若函数的值域为，，则的取值范围是，．【答案】，．【分析】根据值域为，，分析可得，函数的最小值要小于等于0，列出方程，即可得结果．【解答】解：因为函数的值域为，，所以函数的最小值要小于等于0，当时，，不符合题意；所以，解得．故答案为：，．【例20】（2025秋•松江区校级期末）若函数，的定义域是，，值域是，，则1或．【答案】1或．【分析】由已知结合一次函数的单调性即可求解，，进而可求．【解答】解：由题意得，当，在，上单调递增，由题意得（1），（2），解得，，则当时，在，上单调递减，由题意得（1），（2），解得，，则．故答案为：1或．【例21】（2024秋•西城区校级月考）若函数的值域为，，则实数1．【答案】1【分析】由函数的值域，可得时，取到最大值，进而求出的值．【解答】解：函数的定义域为，，因为函数的值域为，，则当时，，可得．故答案为：1．题型08判断两个函数是否为同一函数1．两步判定法：第一步分别求解两个函数的定义域，对比是否完全一致；第二步化简对应关系，判断运算规则是否完全相同．2．核心禁忌：仅化简解析式一致、但定义域不同的函数，不是同一函数；定义域相同、对应规则不同，也不是同一函数．3．快速判断技巧：优先看定义域，定义域不同可直接判定为不同函数，无需化简解析式．学以致用学以致用【例22】（2026•浦口区校级二模）下列函数和为同一函数的是（）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可．【解答】解：两个函数若为同一函数，需要定义域和解析式相同，对于，函数的定义域为，函数的定义域为，而，所以函数和不为同一函数；对于，函数的定义域为，，，函数的定义域为，，，而，，即两个函数的定义域和解析式相同，所以函数和为同一函数；对于，函数的定义域为，函数，则的定义域为，，即两个函数的定义域不同，所以函数和不为同一函数；对于，函数的定义域为，，函数的定义域为，，而，所以函数和不为同一函数．故选：．【例23】（2025秋•定州市期末）下列各组函数不是同一个函数的是（）A．与 B．与 C．与 D．与（a）【答案】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是同一个函数．【解答】解：对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于，的定义域为，（a）的定义域为，两函数的对应关系不同，不是同一个函数．故选：．【例24】（2025秋•黄骅市期末）下列四个函数中，与表示同一个函数的是（）A