高考数学一轮复习（培优版） 第七章　7.2　球的切、接问题

§7.2球的切、接问题重点解读球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.一、正方体与球1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长2a.3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长3a.二、长方体与球外接球：外接球直径2R=体对角线长a2+b2+c2(a三、正棱锥与球1.内切球：V正棱锥=13S表·r=13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).四、直棱柱的外接球球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=h22+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r五、圆柱的外接球R=h22+r2(R是圆柱外接球的半径，h六、圆锥的外接球R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).题型一外接球命题点1定义法例1在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线AC将△ACD折起，使点D到达点P(P∉平面ABC)的位置，连接BP，形成四面体PABC.则在折起的过程中，四面体PABC的外接球的体积为()A.125π12 B.C.125π6 D.答案C解析如图，在原矩形ABCD中，因为AB=4，BC=3，所以DB=AC=5，设DB与AC交于点O，则O是Rt△ABC和Rt△DAC的外心，所以OA=OB=OC=OP=5所以O为四面体PABC的外接球的球心，且外接球半径R=5则在折起的过程中，四面体PABC的外接球的体积为V=43πR3=43×π×52命题点2补形法例2(1)(2025·宝鸡模拟)已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，BC=2，PA=23，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为(A.28π B.77π C.14π D.28答案D解析将三棱锥P-ABC补形成直三棱柱，如图，其中O'为△ABC外接圆的圆心，O为所得三棱柱外接球的球心，也即三棱锥P-ABC外接球的球心，则OO'⊥平面ABC，OO'=3则2·O'A=BCsin∠BAC=2所以O'A=2，则外接球的半径R=OA=OO'2所以三棱锥P-ABC的外接球的体积V=43πR3=28(2)已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，则球O的表面积是答案8π解析将三棱锥S-ABC放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示，则a则a2+b2+c2=8，因为球O的直径即为长方体的体对角线，则球O的半径为a2+所以球O的表面积是4π×(2)命题点3垂面法例3(2025·哈尔滨模拟)在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为26的正方形，则该四棱锥外接球的表面积为()A.5π B.10π C.28π D.56π答案D解析如图所示，连接AC，BD交于点O1，取AD的中点E，连接O1E，SE，由题意知，O1E⊥AD，SE⊥AD，O1为正方形ABCD外接圆的圆心，又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，O1E⊂平面ABCD，所以O1E⊥平面SAD，同理可得SE⊥平面ABCD，设等边△SAD的外接圆的圆心为O2，过O2作O1E的平行线，过O1作SE的平行线，2条直线交于点O，则OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAD，所以O为四棱锥S-ABCD外接球的球心，设外接球的半径为R，在等边△SAD中，由正弦定理得26sinπ3解得SO2=22又因为OO2=12AB=所以R=OS=SO22+所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为4πR2=4π×(14)2=56π.思维升华空间几何体外接球问题常见解法(1)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上.特殊几何体(正棱锥、直棱柱、正棱台等)的外接球的球心，常用定义法.(2)补形法：满足下列条件的可以补成长方体①(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.②三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②.③(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.(3)垂面法：找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.跟踪训练1(1)(2025·菏泽模拟)已知正三棱台的上、下底面边长分别为23，43，体积为423，则该正三棱台外接球的表面积为A.20π B.80πC.80π D.160答案C解析如图，正三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1=23，AB=4设正△A1B1C1，正△ABC的中心分别为O1，O2，S△A1B1C1=34×(23)2=33，S△ABC=则正三棱台的体积V=13×(33+33×123+123)·O解得O1O2=6，△A1B1C1的外接圆半径r1=23×32×23△ABC的外接圆半径r2=43×32×23=4，设外接球球心为O，外接球半径R，OO1=则OO2=|6-x|，因此R2=x2+22=(6-x)2+42，解得x=4，R2=20，所以该正三棱台外接球的表面积为4πR2=80π.(2)(2025·鹤壁模拟)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为3的等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的体积为.

答案5解析如图，设E是BC的中点，连接AE，DE，△BCD的外心为O1，△ABC的外心为O2，O是三棱锥外接球的球心，由于△ABC和△BCD都是边长为3的等边三角形，所以AE⊥BC，DE⊥BC，AE=DE=(3)且O1，O2分别在DE，AE靠近点E的三等分点处，则EO1=EO2=13DE=12，O1D=2根据二面角A-BC-D的大小为90°及球的性质可知，OO1⊥平面BCD，OO2⊥平面ABC，∠AED=90°，所以OO1⊥DE，OO2⊥AE，AE⊥DE，由于EO1=EO2，所以四边形OO1EO2是正方形，OO1=EO1=1设三棱锥外接球的半径为R，则R=OD=OO12+所以外接球的体积为43πR3=4π3×52题型二内切球与棱切球命题点1内切球例4(2025·南充模拟)如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若AD=BD=3，∠ABC=120°，则该圆台的内切球的表面积为()A.π B.2π C.4π D.8π答案D解析∠ABC=120°=2π3，AB=AD+BD故=2π3·AB=4π，=2π3·BD=2π，故圆台上底面半径r1=2π=1，下底面半径r2=2π=2，如图，取圆台的轴截面，则圆台的高h=AD2则该圆台的内切球的半径r=h2=故内切球表面积S=4πr2=8π.命题点2棱切球例5一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切，则该球的表面积为(A.43π B.4π C.42π D.3π答案B解析如图所示，因为正四棱锥底边边长为2，高为2所以OB=2，SB=2O到SB的距离为d=SO×OB同理O到SC，SD，SA的距离为1，易知O到AB，BC，CD，DA的距离也为1，所以O为球的球心，所以球的半径为1，所以球的表面积为4π.思维升华多面体内切球的球心与半径的确定(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.跟踪训练2(1)(2025·绵阳模拟)四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD=5，则该四棱锥的内切球的半径为(A.56 B.36 C.33答案C解析因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD=5，所以四棱锥P-ABCD为正四棱锥，设底面中心为O，则四棱锥的内切球球心在PO上，且PO=(5设内切球的半径为r，在△PBC中，PB=PC=5，BC=2，则cos∠BPC=5+5-42sin∠BPC=1-cos2所以S△PBC=12×5×5×45所以四棱锥的表面积为S=4×2+22=12，由V四棱锥P-ABCD=13S四边形ABCD·PO=13即13×22×3=13×12×r，∴r故该四棱锥的内切球的半径为33(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为23，高为4，若球O1与该正三棱柱的每条侧棱都相切，则球O1的表面积为；若在该正三棱柱里面放一个球O2，则球O2的最大体积为.答案16π4π解析若球O1与该正三棱柱的每条侧棱都相切，即O1到三条侧棱的距离相等，则球O1的半径即为底面△ABC的外接圆半径R，又2R=23sin60°=4，∴R∴球O1的表面积为4πR2=16π.设底面△ABC的内切圆半径为r，∴r=23×32×13∴与该正三棱柱三个侧面相切的球的半径r'=1<42=2∴与三个侧面相切的球即为该正三棱柱里体积最大的球O2，其体积为43πr'3=4π多球堆叠相切问题多球堆叠相切问题关键是连接各球的球心，通过研究球心连接成的几何体解题.典例(1)把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为.

答案6-2解析如图，点E为下层三个球中的一个球的球心，连接各球的球心，可得到棱长为4的正四面体，这个正四面体的外接球的球心O就是放入空隙的最大半径的小球的球心，连接OE，OE与球E的交点为K，正四面体的外接球半径R=6，即OE=6，故OK=6-2，所以所求的最大半径为6-2.(2)两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的三个面相切，球O2与过点C1的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为()A.3(2-3)π B.4(2-3)πC.6(2-3)π D.12(2-3)π答案D解析如图，设球O1和O2的半径分别为r1和r2，故O1A=3r1，O2C1=3r2，O1O2=r1+r2，AC1=23=3r1+3r2+r1+r2，则r1+r2=231+故两球表面积之和为4πr12+4πr22=4π(r12+r22=12(2-3)π当且仅当r课时精练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为()A.48π B.24π C.12π D.6π答案C解析如图所示，正三棱锥S-ABC，满足SA=SB=SC=2，且三个侧面两两垂直，可以把正三棱锥S-ABC放置在一个棱长为2的正方体内，可得正三棱锥S-ABC的外接球即为此正方体的外接球，设正三棱锥S-ABC的外接球的半径为R，则2R=22+22+22=23，即R=3，所以正三棱锥2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为()A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶1答案A解析易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，正四面体各面面积为S，则由正四面体的体积得V=13Sr×4=13S(R+r)⇒R=3r，所以正四面体的内切球和外接球的体积之比为43πr3∶43πR33.(2025·十堰模拟)已知某圆柱的轴截面是正方形，且上、下底面圆周上的所有点都在球O的表面上，则该圆柱的体积与球O的体积的比值是 ()A.223 B.528 C.答案D解析设该圆柱的底面圆的半径为r，高为h，则h=2r，设球O的半径为R，由题意知R=r2+h22=2r，则圆柱的体积V1=πr2·h=2πr3，球O的体积V2=43πR3=824.(2025·永州模拟)正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的高为()A.3 B.4 C.5 D.6答案D解析由题可知上、下底面正三角形的高分别为62-32由几何体的结构特征结合题意可知，内切球与上、下底面切点为上、下底面的中心，故如图1所示作截面，得到图2，设内切球半径为r，所以正三棱台的高为(3+35.(2025·景德镇模拟)已知三棱锥P-QRS的各条棱都与同一个球面相切，若PQ=4，PR=5，PS=6，QS=8，则△QRS的周长为()A.12 B.16 C.20 D.24答案D解析如图，设球与棱PQ，PR，PS的切点分别为A，B，C，则PA=PB=PC，设PA=PB=PC=x，因为PQ=4，PR=5，PS=6，则QA=4-x，RB=5-x，SC=6-x，又QS=QA+SC=(4-x)+(6-x)=8，解得x=1，则QR=QA+RB=(4-1)+(5-1)=7，RS=RB+SC=(5-1)+(6-1)=9，所以△QRS的周长为QR+RS+QS=7+9+8=24.6.(2026·双鸭山模拟)已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为()A.2821π27C.28π3 D.答案C解析如图，取BC的中点E，BD的中点F，因为BC⊥CD，所以F为△BCD的外心，连接AE，EF，设△ABC的外心为G，因为AB=BC=AC=2，即△ABC为等边三角形，所以点G在AE上，连接OG，OF，则OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，因为平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF，因为△ABC为等边三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，则AE∥OF，因为E，F分别为BC，BD的中点，所以EF∥CD，又BC⊥CD，所以EF⊥BC，同理可得EF⊥平面ABC，所以EF∥OG，故四边形OGEF是矩形.由BC⊥CD，可得BD=BC2故DF=2又OF=EG=13AE=13ABsin设球O的半径为R，则R2=OD2=OF2+DF2=7所以球O的表面积S=4πR2=28π3二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2025·黄冈模拟)将一个棱长为10cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是()A.底面半径为8cm，高为10cm的圆柱体B.底面直径为8cm，高为8cm的圆锥体C.半径为5cm的球体D.各棱长均为10cm的四面体答案BCD解析由于正方体的棱长为10cm，故圆柱(或圆锥)底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5cm，圆柱(或圆锥)的高最大不超过10cm，故A错误，B正确；正方体的内切球的半径为5cm，为正方体内最大的球，故C正确；正方体的面对角线的长度为102cm，故正四面体的棱长不超过102cm，故D正确.8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是()A.直三棱柱的侧面积是4+23B.直三棱柱的外接球表面积是8πC.直三棱柱的内置球的表面积最大为4πD.AE+EC1的最小值为22答案ABD解析对于A，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°=3，所以AC=3，所以直三棱柱的侧面积为2×(1+1+3)=4+23，对于B，由正弦定理可得底面△ABC的外接圆半径r1=32sin120°=1，易知直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心到底面ABC的距离为1所以外接球半径R=r12+12=2，所以外接球表面积为4π对于C，若内置球与上、下底面相切，则半径为1；若内置球与三个侧面相切，由截面图可知，