第二章§2.12函数模型的应用

§2.12函数模型的应用考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.1.三种函数模型的性质函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0，+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随α值的变化而各有不同2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)=kx+b(k，b为常数，k≠指数函数模型f(x)=bax+c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(×)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.(×)(3)已知a>1，在(0，+∞)上，随着x的增大，y=ax的增长速度会超过并远远大于y=xa和y=logax的增长速度.(√)(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(×)2.下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最慢的是()A.y=2025x B.y=log2025xC.y=x2025 D.y=2025x答案B解析根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长速度差异，可知对数函数增长速度最慢.3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x0.240.5112.023.988.02y-2.0-1.001.02.03.0在下列四个函数模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函数关系的是()A.y=a+bx B.y=a+bxC.y=a+logbx D.y=a+b答案C解析作出散点图如图所示，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y=a+logbx反映x，y函数关系.4.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计费方法如表.每户每月用水量水价不超过12m34元/m3超过12m3但不超过18m36元/m3超过18m38元/m3若某户居民上月缴纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为m3.

答案15解析设用户的用水量为xm3，缴纳的水费为y元，当0≤x≤12时，y=4x∈[0，48]，当12<x≤18时，y=48+6(x-12)=6x-24∈(48，84]，故若某户居民上月缴纳的水费为66元，则用水量在(12，18]内，令6x-24=66，解得x=15，故该户居民上月用水量为15m3.(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.(3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.题型一用函数图象刻画变化过程命题点1函数的增长差异例1设f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，+∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是()A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢答案B解析画出函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x的图象，如图所示，结合图象，可得三个函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x中，当x∈(4，+∞)时，函数g(x)=2x增长速度最快，h(x)=log2x增长速度最慢.所以选项B正确.命题点2用函数图象刻画变化过程例2(多选)某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y(单位：元)与打车里程数x(单位：km)的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是()A.当打车距离为8km时，乘客选择乙方案省钱B.当打车距离为10km时，乘客选择甲、乙方案均可C.当打车距离为3km以上时，每1km增加的费用甲方案比乙方案多D.甲方案3km内(含3km)付费5元，行程大于3km每增加1km费用增加0.7元答案BC解析对于A，当打车距离为3<x<10时，甲方案对应的函数图象在乙方案对应的函数图象的下方，即甲方案对应的函数值小于乙方案对应的函数值，故当打车距离为8km时，乘客选择甲方案省钱，故A错误；对于B，当打车距离为10km时，由图可知，甲、乙方案的费用均为12元，因此乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，当打车距离为3km以上时，甲方案每1km增加的费用为12−510−3=1乙方案每1km增加的费用为12−710−3=57(元)，故每1km增加的费用甲方案比乙方案多，故对于D，由图可知，甲方案3km内(含3km)付费5元，行程大于3km每增加1km费用增加1元，故D错误.思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.跟踪训练1甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车快.若每人离开甲地的距离s与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是()A.甲是(1)，乙是(2) B.甲是(1)，乙是(4)C.甲是(3)，乙是(2) D.甲是(3)，乙是(4)答案B解析由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲是(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙是(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程的图象中s随t的变化比乙后一半路程的图象中s随t的变化要快，所以甲是(1)，乙是(4).题型二已知函数模型的实际问题例3(2025·北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)()A.2 B.4 C.20 D.40答案B解析设当N取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1=klog2106=6klog210，T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)，T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)，因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2，所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.思维升华已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.跟踪训练2(2025·宜宾模拟)根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型y=N1+Ny0−1e−px，其中y(单位：万辆)为第x年年底新能源汽车的保有量，p为年增长率，N为饱和度，y0为初始值.若2023年年底该市新能源汽车的保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1300万辆，那么2033年年底该市新能源汽车的保有量约为(A.65万辆 B.64万辆C.63万辆 D.62万辆答案B解析根据题中所给模型，代入有关数据，则2033年年底该市新能源汽车的保有量为y=13001+130020因为ln0.30≈-1.2，所以e-1.2≈0.30，所以y=13001+64e−1.2≈所以2033年年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.题型三构造函数模型的实际问题例4汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9).阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1=0.8st2=0.2st3距离d0=30md1d2d3=v220(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？解(1)根据题意，d=d0+d1+d2+d3=30+0.8v+0.2v+v220k=30+v+v220k(0(2)根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30+v+v220k易知当v=0时，满足题意；当0<v≤33.3时，有120k<60v2-1v对任意的k∈由k∈[0.5，0.9]，得120k∈所以60v2-1v即v2+10v-600<0，解得-30<v<20，所以0<v<20.综上，0≤v<20.所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下.思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.跟踪训练3(人教B版必修第一册P131习题3-3BT2)某公司最近4年对某种产品投入的宣传费x万元与年销售量yt之间的关系如下表所示.x14916y168.6236.6304.6372.6(1)根据以上表格中的数据判断：y=ax+b与y=cx+d哪一个更适宜作为y与x的函数模型？(2)已知这种产品的年利润z万元与x，y的关系为z=2y-10x，则年宣传费x为多少时年利润最大？解(1)将(1，168.6)，(4，236.6)代入y=ax+b得168.6=a∴a∴y=683x+2189当x=9时，y=683×9+218915当x=16时，y=683×16+2189将(1，168.6)，(4，236.6)代入y=cx+d得168.6=c+∴y=68x+100.6，当x=9时，y=68×9+100.6=304.6，当x=16时，y=68×16+100.6=372.6.∴y=cx+d更适宜作为y与x的函数模型.(2)∵z=2y-10x，y=68x+100.6，∴z=2(68x+100.6)-10x=-10x+136x+201.2，当x=-1362×(−10)即x=115625时，年利润最大课时精练[分值：70分]一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.下列选项分别是四种生意预期的获利y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获利最大的函数模型是()A.y=10×1.05x B.y=20+x2C.y=30+lg(x+1) D.y=50x答案A解析因为指数函数y=1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数y=x2，对数型函数y=lg(x+1)，一次函数y=50x的增长速度快，所以从足够长远的角度看，使得公司获利最大的函数模型是y=10×1.05x.2.(2025·菏泽模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表.上市时间t50110250种植成本Q150108150根据表中数据，函数①Q=at+b，②Q=at2+bt+c，③Q=a·bt，④Q=alogbt中能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是()A.① B.② C.③ D.④答案B解析根据表中数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常数函数，也不是单调函数，而Q=at+b，Q=a·bt，Q=alogbt，当a≠0时，均为单调函数，这与所提供的数据不符，故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是②Q=at2+bt+c.3.学校宿舍与办公室相距am.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回宿舍.在这个过程中，这位同学行进的速度v(t)和行走的路程s(t)都是时间t的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的()A.①② B.③④ C.①④ D.③②答案A解析由题意得v(t)=a且s(t)=a由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.4.(2026·哈尔滨模拟)研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为lgE=λM+μ(其中λ，μ为常数).已知3级地震所释放的能量为2×109焦耳，4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为()(参考数据：lg2≈0.30，100.8≈6.3，10≈3.16)A.1.5×1013焦耳 B.3.2×1013焦耳C.5.8×1012焦耳 D.6.3×1012焦耳答案B解析因为lgE=λM+μ，由题意得lg(2×10所以lgE≈1.5M+4.8，则E≈101.5M+4.8.当M=5.8时，E≈101.5×5.8+4.8=1013.5=100.5×1013≈3.16×1013≈3.2×1013(焦耳).二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(人教A版必修第一册P150例5改编)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间，纵轴为每天的回报).根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是()A.投资3天以内(含3天)，采用方案一B.投资4天，不采用方案三C.投资8天，采用方案二D.投资12天，采用方案二答案ABC解析对于A，若投资3天以内(含3天)，因为每天的回报均是方案一的回报最多，故采用方案一，所以A正确；对于B，投资4天，方案三的总回报是最少的，故不采用方案三，所以B正确；对于C，投资8天，由图可得方案三每天的回报均少于方案二，计算可以得到方案一的总回报为40×8=320(元)；方案二的总回报为10+20+30+40+50+60+70+80=360(元)，故采用方案二，所以C正确；对于D，根据图象的变化可知，方案三从第10天开始回报远超过140元，可知方案三回报高很多，所以采用方案三，所以D错误.6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是()A.a=128B.R=14lnC.排气12分钟后浓度为16ppmD.排气32分钟后，人可以安全进入车库答案ACD解析设f(t)=aeRt，由题意得a解得a=128,R=−1此时f(t)=128(eR)t=27·所以f(12)=24=16(ppm)，C正确；当f(t)≤0.5时，27−t4≤0.5=2-1，得7-t4≤-1，所以t≥32，所以排气32三、填空题(每小题5分，共10分)7.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，那么不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，那么超过600元的部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为元.

答案1120解析设顾客选购物品的总金额为x元，获得的折扣优惠金额为y元，则当x∈[0，600]时，y=0，当x∈(600，1100]时，y=(x-600)×5%=0.05x-30，令y=30，得0.05x-30=30，解得x=1200>1100，不符合题意；当x∈(1100，+∞)时，y=500×5%+(x-1100)×10%=25+0.1x-110=0.1x-85，令y=30，得0.1x-85=30，解得x=1150，符合题意，所以他实际所付金额为1150-30=1120(元).8.(2026·沈阳期中)已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的54倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了天.(参考数据：lg2≈0.3答案17解析设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则经过x天荷叶覆盖水面的面积y=a·54x(x∈N由题意得2a·54x=a·5420，即241-2x两边取以10为底的对数得(41-2x)lg2=(20-x)lg5，所以(41-2x)×0.3=(20-x)×0.7，解得x=17，故当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了17天.四、解答题(共28分)9.(13分)(2026·上海期中)某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产x件，需另投入成本C(x)(万元)，当年产量不足80件时，C(x)=13x2+10x；当年产量不少于80件时，C(x)=51x+10000x-1(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(件)的函数解析式；(6分)(2)当年产量为多少时，该工厂在这一产品的生产销售中所获年利润最大？(7分)解(1)当0≤x<80时，L(x)=50x-13x2-10x-300=-13x2+40x当x≥80时，L(x)=50x-51x-10000x+1450-300=1150-x所以L(x)=−13x2+40(2)当0≤x<80时，L(x)=-13x2+40x-300=-13(x-60)2所以当x=60时，L(x)取得最大值900；当x≥80时，L(x)=1150-x+10000x≤1150-2当且仅当x=10000x，即x=100L(x)取得最大值950，所以当年产量为100件时，该工厂在这一产品的生产销售中所获年利润最大，最大年利润为950万元.10.(15分)(人教A版必修第一册P152例6)某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且