第二章§2.7对数与对数函数

§2.7对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.

以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.

2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1=0，logaa=1，alogaN=N(a>0，且a(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)=logaM+logaN；②logaMN=logaM-logaN③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)对数换底公式：logab=logcblogca(a>0，且a≠1；3.对数函数(1)概念：一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，+∞)值域R性质过定点(1，0)，即x=1时，y=0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0增函数减函数4.反函数指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M=N，则logaM=logaN.(×)(2)log35·log53=1.(√)(3)函数y=loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.(×)(4)函数y=log2x与y=log12x的图象关于x轴对称.(2.已知alog43=2，则3-a等于()A.19 B.9 C.116答案C解析因为alog43=2，则log43a=2，因此3a=42=16，所以3-a=13a=3.函数f(x)=ln(4−xA.(-∞，4) B.(3，4)C.(-∞，3)∪(3，4) D.(-∞，3)∪(3，+∞)答案C解析因为f(x)=ln(4−x所以要使函数有意义，则4−x>0,x−3≠0,解得x所以f(x)的定义域为(-∞，3)∪(3，4).4.若对数函数f(x)的图象经过点(2，1)，则它的反函数g(x)的解析式为.

答案g(x)=2x解析设f(x)=logax(a>0且a≠1)，函数图象过点(2，1)，即f(2)=loga2=1，即a=2，f(x)=log2x，它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.1.掌握三个对数函数图象的特点(1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交.(2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点1a，−1，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0，且a(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b.2.谨防两个易误点(1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.当底数a的范围不明确时，研究函数的单调性、最值时必须分0<a<1和a>1两种情况讨论.(2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.题型一对数式的运算例1(1)(多选)下列运算中正确的是()A.log37log35C.log222=-1 D.答案BCD解析对于A，log37log3对于B，ln(lne)=ln1=0，故B正确；对于C，log222=log212对于D，23−2log23=2322log(2)计算：2log32-log3169+log320-log375=.答案3解析由题意可得2log32-log3169+log320-log3=log34-log3169+log320-log35=log34×20169×53思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.跟踪训练1(1)(2025·扬州检测)计算：lg25+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2解原式=2lg5+23lg23+lg5·(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg5×lg2+(lg2)=2+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.(2)(人教B版必修第二册P18例4改编)已知log4a=log25b=3，则lg(ab)=.

答案23解析由log4a=log25b=3可得a=43，b=253，所以ab=43×253=(4×25)3=1003=(102)3=102题型二对数函数的图象及应用例2(1)(2025·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=logax+A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第二、四象限 D.第三、四象限答案D解析当x=0时，y=loga1a=-1当0<a<1时，函数图象经过第二、三、四象限；当a>1时，函数图象经过第一、三、四象限，所以函数y=logax+1(2)(多选)(2025·海口模拟)已知函数f(x)=|log3x|，0<a<b，且f(a)=f(b)，下列结论正确的是()A.0<a<1 B.1a>C.2a+b>3 D.a+2b>2答案ACD解析因为0<a<b，f(a)=f(b)，所以由函数f(x)=|log3x|的图象知0<a<1<b，所以A正确；由f(a)=f(b)，可得|log3a|=log即-log3a=log3b，所以ab=1，即b=1a，所以B因为0<a<1<b，且b=1a，所以2a+b=3b>3，所以因为0<a<1<b，且b=1a，所以a+2b=a+2因为函数y=x+2x(0<x<1所以函数y=x+2x(0<x<1)的值域是(3，+∞因此a+2a>3，即a+2b>3>22，所以D正确思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.跟踪训练2已知实数m>0且m≠1，函数y=logm(x+n)的大致图象如图所示，则()A.m>1，n>1B.m>1，0<n<1C.0<m<1，n>1D.0<m<1，0<n<1答案C解析由图象可知函数y=logm(x+n)是减函数，所以0<m<1；当x=0时，logm(x+n)=logmn<0，所以n>1.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2026·延庆模拟)设a=log32，b=log96，c=12A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.b>a>c答案D解析因为b=log96=log32(6)2=log36，且c又3<2<6，函数y=log3x在(0，+∞)上单调递增，则log33<log32<log36，所以c<a<b.命题点2解简单的对数方程或不等式例4(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=log2x-(x-1)2，则不等式f(x)<0的解集为.

答案(0，1)∪(2，+∞)解析由题意，不等式f(x)<0，即log2x-(x-1)2<0，等价于求log2x<(x-1)2在(0，+∞)上的解，令g(x)=log2x，h(x)=(x-1)2，则不等式为g(x)<h(x)，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，又g(1)=h(1)=0，g(2)=h(2)=1，由图可得不等式f(x)<0的解集为(0，1)∪(2，+∞).命题点3对数函数性质的综合应用例5(多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)=log2x+log2(4-x)，下列说法正确的是()A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0，2)上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=2对称D.f(x)的图象关于点(2，0)对称答案BC解析函数f(x)=log2x+log2(4-x)=log2(4x-x2)=log2[-(x-2)2+4](0<x<4)，当x=2时，4x-x2取到最大值4，故此时f(x)=log2x+log2(4-x)取到最大值log24=2，A错误；f(x)=log2(4x-x2)(0<x<4)可以看作是由函数y=log2u，u=-x2+4x(0<x<4)复合而成，而y=log2u是定义域上的增函数，u=-x2+4x(0<x<4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，B正确；因为函数f(4-x)=log2(4-x)+log2x=f(x)，故f(x)的图象关于直线x=2对称，C正确；因为f(4-x)+f(x)=2f(x)=0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误.思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.跟踪训练3(1)(2025·苏州期末)已知a=log103，b=log53，c=3234，则a，bA.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.c<b<a答案A解析a=log103<log1010=12b=log53>log55=12，b=log53<log55=1c=3234>320=1，故a(2)(多选)(2025·辽宁教研联盟模拟)关于函数f(x)=lg21−A.f(x)的定义域为(-1，1)B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于原点对称D.f(x)在(0，1)上单调递增答案ACD解析因为f(x)=lg21−x−1=lg1+x1−x，则1+所以f(x)的定义域为(-1，1)，故A正确；因为f(-x)=lg1−x1+x=-f(x)，所以f所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为y=21−x-1在(0，1)上单调递增，y=lgx在(0，+所以f(x)=lg21−x−1在(0，1)上单调递增，故课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则f

−A.13 B.33 C.3答案B解析因为函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=3x，所以f

−12=32.(2025·湘西期末)函数y=logA.12，+∞ C.12，1 D.[1，+答案C解析由题意得2解得12<x≤3.(2025·天津河西区模拟)设a=log0.30.4，b=log0.31.1，c=log0.40.3，则a，b，c的大小关系为()A.b<c<a B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c答案D解析易知0=log0.31<log0.30.4<log0.30.3=1，即0<a<1，而log0.31.1<log0.31=0，即b<0，又log0.40.3>log0.40.4=1，即c>1，所以b<a<c.4.(2025·成都模拟)已知f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M，且点M在直线xm+yn=1(m>0，n>0)上，则m+A.3+22 B.8C.42 D.4答案A解析对于函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)，f(2)=loga1+1=1，即点M(2，1)，由题意可得2m+1n=1(m>0，n所以m+n=(m+n)2m+1n≥3+22nm·当且仅当2nm=即m=2+2，n=2+1时，等号成立，故m+n的最小值为3+22.5.(2026·菏泽模拟)以下运算中正确的是()A.13−2-2ln(lneB.log23·log94=2C.若lg3=a，lg2=b，则log518=2D.1log49+答案C解析13−2-2ln(lnee)=9-2lne=9-2=7，故log23·log94=log23·log32=1，故B错误；log518=lg18lg5=lg(32×2)1−lg2=1log49+1log53=1log23+1log536.若不等式(x-1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为()A.(1，2] B.(1，2)C.(1，2] D.(2，2)答案B解析若0<a<1，此时x∈(1，2]，logax<0，而(x-1)2>0，故(x-1)2<logax无解；若a>1，此时x∈(1，2]，logax>0，而(x-1)2>0，令f(x)=logax，g(x)=(x-1)2，画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，若不等式(x-1)2<logax在x∈(1，2]内恒成立，则loga2>1，解得1<a<2，即实数a的取值范围是(1，2).二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2025·贵阳模拟)已知2x=3y=6，则实数x，y满足()A.(x-1)(y-1)=1 B.x+y>4C.1x+1y>1 D.答案ABD解析因为2x=3y=6，所以x=log26=1+log23，y=log36=1+log32，所以(x-1)(y-1)=log23×log32=1，A正确；x+y=2+log23+log32>2+2log23×1x+1y=log62+log63=1，由1x+1y=1，可得xy=x+y>4，D8.(2026·烟台模拟)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a)，下列说法中正确的是()A.若f(x)的定义域为R，则a的取值范围是(-4，0)B.若f(x)的值域为R，则a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞)C.若a=2，则f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)D.若f(x)在(-2，-1)上单调递减，则a的取值范围是−答案ABD解析选项A，x2+ax-a>0对任意x∈R恒成立，即Δ=a2+4a<0，解得-4<a<0，A正确；选项B，x2+ax-a≤0有解，因此Δ=a2+4a≥0，解得a≤-4或a≥0，B正确；选项C，当a=2时，f(x)=lg(x2+2x-2)，由x2+2x-2=(x+1)2-3>0得x<-1-3或x>-1+3，根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(-∞，-1-3)，C错误；选项D，f(x)在(-2，-1)上单调递减，则−a2≥−1,1−a−a三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)=8，则a=.

答案e解析f(ln2)f(ln4)=aln2aln4=aln2+ln4=a3ln2=aln23∴aln2=2，∴a=e.10.设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)，14≤x≤4，则f(x)的最大值为.答案12解析f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log24+log2x)(log22+log2x)=(2+log2x)(1+log2x)，令t=log2x，∵14≤x≤4，∴-2≤t≤2则g(t)=(2+t)(1+t)=t2+3t+2=t+32∴当t=2时，g(t)取得最大值12，即f(x)的最大值为12.四、解答题(共27分)11.(13分)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数.(1)求k的值；(6分)(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1).(7分)解(1)∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)，即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立，∴2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=log39−x+19x+1=log3∴k=-1.(2)由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=log39x+13x=log3(3x则不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等价于3x+3-x≥7·3x-1>0，由7·3x-1>0，解得x>-log37；由3x+3-x≥7·3x-1，得6·(3x)2-3x-1≤0，得0<3x≤12即x≤-log32，综上，不等式的解集为{x|-log37<x≤-log32}.12.(14分)(2026·南通模拟)已知函数f(x)=log21−x(1)判断并证明f(x)的奇偶性；(6分)(2)若对任意x∈−13，13，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2解(1)f(x)为奇函数，证明如下：由解析式易知1−x1+x>0⇒(x-1)(x+1)<0⇒-1<x<1，即函数的定义域为(-1而f(-x)=log21+x1−x=-log21−x1+x=-f(x(2)由m=1−x1+x=21+x-1在−1所以f(x)在−1故f(x)min=f

13要使任意x∈−13，13，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t只需t2+at-6≤-1在t∈[-2，2]上恒成立，即t2+at-5≤0在t∈[-2，2]上恒成立，由y=t2+at-5的图象开口向上，则4−2a−5≤0,4+2a−5≤综上，实数a的取值范围为−1[13题5分，14题6分，共11分]13.(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为()A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z