第一章§1.2常用逻辑用语

§1.2常用逻辑用语考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(√)(3)“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件.(×)(4)命题“∃x∈R，sin2x2+cos2x2=12”是真命题.(2.命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为()A.∃x∈R，x2-x+2<0B.∀x∈R，x2-x+2≤0C.∃x∈R，x2-x+2≤0D.∀x∈R，x2-x+2<0答案A解析命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为命题“∃x∈R，x2-x+2<0”.3.设x∈R，则“cosx=1”是“sinx=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当cosx=1时，x=2kπ(k∈Z)，此时sinx=0；当sinx=0时，x=kπ(k∈Z)，此时cosx=1或cosx=-1，所以“cosx=1”是“sinx=0”的充分不必要条件.4.设p：m-1≤x≤m+2，q：0≤x≤2.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是.

答案[0，1]解析p：m-1≤x≤m+2，q：0≤x≤2.若p是q的必要不充分条件，则m且两等号不能同时取到，解得0≤m≤1.1.谨记两个常用结论(1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.(2)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.2.理清一个关系“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.题型一充分、必要条件的判定例1(1)(2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由(a+b)·(a-b)=0，得a2-b2=0，即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|，当a=(1，1)，b=(-1，1)时，|a|=|b|，但a≠b且a≠-b，故充分性不成立；当a=-b或a=b时，(a+b)·(a-b)=0，故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.(2)(2025·临沂模拟)已知f(x)=tanx，则对任意实数a∈(-1，1)，b∈(-1，1)，“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为f(x)=tanx在(-1，1)上单调递增，且是奇函数，所以tana+tanb>0⇔tana>-tanb⇔tana>tan(-b)⇔a>-b⇔a+b>0，所以“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的充要条件.思维升华充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断.(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.跟踪训练1(多选)下列叙述中正确的是()A.“a>1”是“1a<1”B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D.若a，b，c∈R且a>0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0”答案ACD解析对于A，a>1⇒1a<1，当a<0时，1a<1，所以1a<1a所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故A对于B，当b=0时，若“a>c”成立，而ab2=0=cb2，充分性不成立，故B错误；对于C，令f(x)=x2+x+a，方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，则f(0)<0，则有a<0，所以“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确；对于D，当a>0时，由∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立可以推出Δ=b2-4ac≤0，而由b2-4ac≤0也可以推出ax2+bx+c≥0恒成立，故D正确.题型二充分、必要条件的应用例2(1)(2025·哈尔滨模拟)下列四个选项中，使x>y成立的一个充分不必要条件是()A.x2>y2 B.x|x|>y|y|C.lnx>lny D.ex>ey答案C解析当x=-2，y=-1时，满足x2>y2，但x<y；当x=-1，y=-2时，满足x>y，但x2<y2.故x2>y2是x>y的既不充分也不必要条件，A错误；令f(x)=x|x|，则f(x)的定义域为R，∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，∴f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2，f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)在R上为增函数.由x|x|>y|y|可得x>y，由x>y可得x|x|>y|y|，故x|x|>y|y|是x>y的充要条件，B错误；∵y=lnx在(0，+∞)上为增函数，lnx>lny，∴x>y>0；当0>x>y时，lnx，lny无意义，lnx>lny不成立，故lnx>lny是x>y的充分不必要条件，C正确；∵y=ex在R上为增函数，∴由ex>ey可得x>y，由x>y可得ex>ey，故ex>ey是x>y的充要条件，D错误.(2)(2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为()A.(-∞，-5]∪[3，+∞) B.(-∞，-5)∪(3，+∞)C.(-5，3) D.[-5，3]答案B解析因为p：(x-m)(x-m-3)>0，则x<m或x>m+3，q：x2-x-6≤0，即-2≤x≤3，又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+3<-2，即m>3或m<-5.故实数m的取值范围为(-∞，-5)∪(3，+∞).思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.跟踪训练2(1)已知p：-1<x<0，q：m-1<x<-3m.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是.

答案(-∞，0)解析因为p是q的充分不必要条件，所以{x|-1<x<0}是{x|m-1<x<-3m}的真子集，则m−1≤−1,−3所以实数m的取值范围是(-∞，0).(2)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是.

答案(-∞，1)(-∞，1]解析因为p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则(-∞，a](-∞，1]，因此a<1，即实数a的取值范围是(-∞，1).若p是q的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]，因此a≤1，即实数a的取值范围是(-∞，1].题型三全称量词与存在量词命题点1含量词的命题的否定例3(多选)下列说法正确的是()A.“菱形是正方形”是全称量词命题B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”D.“A=B”是“sinA=sinB”的必要不充分条件答案AB解析对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确；对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误；对于D，因为A=B时，sinA=sinB成立，而sinA=sinB时，A=B不一定成立，如A=π3，B=2π3，故“A=B”是“sinA=sinB”的充分不必要条件，故D命题点2含量词的命题的真假判断例4(多选)下列命题为假命题的是()A.∃x∈R，ln(x2+1)<0B.∀x>2，2x>x2C.∃α，β∈R，sin(α-β)=sinα-sinβD.∀x∈(0，π)，sinx>cosx答案ABD解析因为ln(x2+1)≥ln1=0，故A是假命题；当x=3时，23<32，故B是假命题；当α=β=0时，sin(α-β)=sinα-sinβ，故C是真命题；当x=π6时，sinx=12，cosx=32，sinx<cosx，故命题点3含量词的命题的应用例5已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是.

答案[0，4)解析由题意得不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立.①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；②当a≠0时，若不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立，则a>0,Δ=a综上，实数a的取值范围是[0，4).思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.跟踪训练3(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则()A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题答案B解析对于命题p，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于命题q，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题.(2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是()A.“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0”B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件C.若命题“∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0”为假命题，则实数a的取值范围是(-1，3)D.若命题“∀x∈R，2ax2+ax-38≤0”是真命题，则实数a答案AD解析对于A，“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0”，故A正确；对于B，log3(2x+1)>2，即log3(2x+1)>log39，则2x+1>9，解得x>4，因为x>4⇒x>3，且x>3x>4，所以“x>3”是“log3(2x+1)>2”的必要不充分条件，故B错误；对于C，命题是假命题，则命题的否定“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是真命题，即Δ=(a-1)2-4>0，解得a>3或a<-1，故C错误；对于D，因为“∀x∈R，2ax2+ax-38≤0”是真命题，即2ax2+ax-38≤0对∀x∈R恒成立.当a=0时，命题成立；当a≠0解得-3≤a<0，综上可得，-3≤a≤0，故D正确.课时精练[分值：85分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2021·天津)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<-6，故必要性不成立，所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.2.(2025·周口质检)命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为()A.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数B.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数C.存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数D.不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数答案B3.已知p：1x>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数mA.[0，+∞) B.[1，+∞)C.(-∞，0] D.(-∞，1]答案C解析由1x>1可得x(x-1)<0，解得0<x<1记A={x|0<x<1}，B={x|x>m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(-∞，0].4.(2023·北京)若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=-2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析∵xy≠0，∴xy+yx=-2等价于x2+y2=-2xy，即x2+y2+2xy即(x+y)2=0等价于x+y=0.∴“x+y=0”是“yx+xy=-2”5.(2026·宁波模拟)命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是()A.a≤-14 B.a≤C.a≥6 D.a≥8答案D解析若命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题，则命题的否定“∀x∈[-2，1]，x2-x-a≤0”为真命题，即a≥x2-x，x∈[-2，1]恒成立，对于函数y=x2-x=x−122-14，x∈当x=-2时，取得最大值y=6，所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，所以命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.6.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立；取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立；所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.7.若“∃x∈(0，π)，sin2x-ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为()A.(-∞，-2] B.(-∞，2]C.(-∞，-2) D.(-∞，2)答案A解析依题意知命题“∃x∈(0，π)，sin2x-ksinx<0”为假命题，则命题“∀x∈(0，π)，sin2x-ksinx≥0”为真命题，所以2sinxcosx≥ksinx，则k≤2cosx在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤-2，所以k的取值范围为(-∞，-2].8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：SnA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C解析方法一甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn=na1+n(n−1)2d，Snn=a1+n−12d=d2n+a1因此Sn反之，乙：Sn即Sn+1n+1-Snn=即nan+1则Sn=nan+1-t·n(n+1)，有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)，n≥2，两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn，即an+1-an=2t，对n=1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.方法二甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn=na1+n(n则Snn=a1+n−12d=d2n+因此Sn反之，乙：Sn设数列Snn的公差为则Sn+1n+1-Snn=D，Snn=S即Sn=nS1+n(n-1)D，当n≥2时，Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，上边两式相减得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，所以an=a1+2(n-1)D，当n=1时，上式成立，又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.下列既是存在量词命题又是真命题的是()A.∃x∈R，|x|<0B.∃x∈Z，cosπ2xC.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除D.每个平行四边形都是中心对称图形答案BC解析选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，即|x|≥0，所以A是假命题；选项B为存在量词命题，当x=2时，满足cosπ2·2=cos所以B既是存在量词命题又是真命题；选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.10.(2025·揭阳模拟)下列叙述中正确的为()A.命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2”B.∀x∈(0，+∞)，2x>log2xC.∀x∈R，4x2≥2x-1+3x2D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”答案ABC解析对于A，命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2”，A正确；对于B，当x>0时，函数y=2x的图象在直线y=x的上方，函数y=log2x的图象在直线y=x的下方，则2x>log2x，B正确；对于C，因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，所以4x2≥2x-1+3x2恒成立，C正确；对于D，例如a=b=0，能推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不能推出ab>0，故D错误.11.下列说法正确的为()A.设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的必要不充分条件B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(4，+∞)C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为[6，+∞)答案BD解析对于A，由函数y=x3为增函数可知，若a3=b3，则a=b，所以3a=3b；由函数y=3x为增函数可知，若3a=3b，则a=b，所以a3=b3.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，A错误；对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合B，所以a2>2，即a>4，B对于C，若命题是假命题，则“∀x∈R，mx2+mx+1≥0”是真命题，故m=0或m>0,Δ=m2−4m≤0,对于D，由p是q的充分条件，得p⇒q，即对于0<x≤1，4x+2x-m≤0恒成立，令t=2x，t∈(1，2]，则m≥t2+t对于t∈(1，2]恒成立，又t2+t=t+122-14∈(2，6]，则m≥三、填空题(每小题5分，共15分)12.命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是.

答案∃x>0，ex≥x+2解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题，则命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是“∃x>0，ex≥x+2”.13.(2025·湛江模拟)已知α：x<2m-1或x>-m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是.

答案m解析设集合A={x|x<2m-1或x>-m}，B={x|x<2或x≥4}，若α是β的必要条件，则B⊆A，当2m-1>-m，即m>13时，此时A=R，B⊆A当2m-1≤-m，即m≤13时，若B⊆A，此时2m综上所述，实数m的取值范围是mm14.(2026·郑