第二章§2.2函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间.2.函数的最值前提一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)=M(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)=M结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)满足f(-3)<f(2)，则f(x)在[-3，2]上单调递增.(×)(2)若函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(-2，3).(×)(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值.(√)(4)函数y=1x的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞).(×2.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是()A.y=-x+1 B.y=(x-1)2C.y=2-x D.y=|x|答案D解析对于A，y=-x+1在(0，+∞)上单调递减，A错误；对于B，函数y=(x-1)2在(0，+∞)上不单调，B错误；对于C，函数y=2-x=12x为R上的减函数，对于D，y=|x|=−x,x≤0,x,x>0,则y=|x|在(-∞，03.函数y=-1xA.-13 B.-C.-1 D.不存在答案A解析y=-1x+1在(-1，+∞)上单调递增，则y=-1x+1在区间[所以ymax=-12+1=-14.函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满足f(2x-1)>f

13的x的取值范围是答案1解析∵f(x)的定义域是[0，+∞)，∴2x-1≥0，即x≥12又∵f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，∴2x-1<13，即x<2则x的取值范围为121.熟记与函数单调性有关的常用结论(1)若∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则①f(x1)−f(x2)x1−x2>0(或(x1-x2)[f(x②f(x1)−f(x2)x1−x2<0(或(x1-x2)[f(x(2)y=x+1x的单调递增区间为(-∞，-1]和[1，+∞(3)在区间I上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.2.解题时谨防以下易误点(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域.(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.题型一确定函数的单调性命题点1函数单调性的判断例1(多选)下列说法中，正确的是()A.函数y=e-x-1x2在(-B.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]C.函数y=2−x2D.函数y=2x+2cosx是增函数答案ABD解析函数y=e-x与y=-1x2在(-∞，所以y=e-x-1x2在(-∞，0)上单调递减，故作出函数y=2|x+1|的图象，如图所示，由图象可知，函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]，故B正确；由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得y=2−x2+2x+3的单调递增区间为(-因为y'=2-2sinx≥0，所以y=2x+2cosx是R上的增函数，故D正确.命题点2利用定义证明函数的单调性例2(人教A版必修第一册P86习题3.2T8改编)(1)根据函数单调性的定义证明函数y=x+9x在区间[3，+∞(2)讨论函数y=x+9x在区间(0，+∞(3)写出函数y=x+kx(k>0)在区间(0，+∞(1)证明设y=f(x)=x+9x∀x1，x2∈[3，+∞)，且x1<x2，则f(x2)-f(x1)=x2+9x2-x1-9x1=x2-=(x2-x1)1−9x1x2=(x2-x因为3≤x1<x2，所以x2-x1>0，x1x2>9，所以f(x2)-f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)，所以y=x+9x在区间[3，+∞)上单调递增(2)解∀x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，由(1)知f(x2)-f(x1)=(x2-x1)·x1因为0<x1<x2，所以x2-x1>0，x1x2>0，当x1，x2∈(0，3)时，x1x2-9<0，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，此时函数f(x)单调递减，所以函数y=x+9x在区间(0，3由(1)知，y=x+9x在区间(3，+∞)上单调递增综上，函数y=x+9x在区间(0，3)上单调递减，在区间(3，+∞)上单调递增(3)解函数y=x+kx(k>0)在区间(0，k)上单调递减，在区间(k，+∞)上单调递增思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.跟踪训练1(多选)下列说法正确的是()A.函数f(x)=2x-x在(-∞，0)∪(0，+∞B.函数f(x)=x2+2xC.函数f(x)=x2−2xD.函数f(x)=13x3-x2+2x在(0，+∞答案BD解析对于A，函数f(x)=2x-x的定义域为{x|x≠0}，且f(x)为奇函数，在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)=2x-x在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递减，对于B，作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)在R上单调递增，B正确；对于C，函数f(x)的定义域为(-∞，-1]∪[3，+∞)，且函数y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1，所以函数f(x)=x2−2x−3的单调递减区间为(-∞，对于D，f(x)=13x3-x2+2x，则f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以f(x)是增函数，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，故D正确题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(2025·日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0；②对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)A.f(π)>f(-3)>f(-5)B.f(π)>f(-5)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-5)D.f(π)<f(-5)<f(-3)答案A解析因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0，所以函数f(x)是偶函数，对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有f(x因此函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，又因为函数f(x)是偶函数，所以f(-5)=f(5)，f(-3)=f(3)，因为π>3>5>0，所以f(π)>f(3)>f(5)，即f(π)>f(-3)>f(-5).命题点2求函数的最值例4函数y=1x−1-1+x(x≥3)的最小值为答案5解析设t=x-1，t≥2，则y=1x−1-1+x=t+1t(t又函数y=t+1t在[2，+∞所以当t=2，即x=3时，函数有最小值2+12=5求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.典例(多选)下列函数中，值域正确的是()A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6)B.函数y=2x+1C.函数y=2x-x−1的值域为D.函数y=x+1+x−1的值域为[2，+答案ACD解析对于A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).对于B，(分离常数法)y=2x+1x−3=2(x−3)+7x−3=2+7x故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞).对于C，(换元法)设t=x−1，则x=t2+1，且t≥0，∴y=2(t2+1)-t=2t−1由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158对于D，函数的定义域为[1，+∞)，∵y=x+1与y=x−1在[1，+∞)上均单调递增，∴y=x+1+x−1在[1∴当x=1时，ymin=2，即函数的值域为[2，+∞).命题点3解函数不等式例5“求方程12x+32x=1的解”有如下解题思路：设f(x)=12x+32x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)=1，所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，不等式8x6-(xA.(-∞，0)B.(1，+∞)C.(-∞，0)∪(1，+∞)D.−∞，−12答案D解析原式可化为8x6+2x2>(x+1)3+(x+1)，即(2x2)3+2x2>(x+1)3+(x+1)，令g(x)=x3+x，则g(x)在R上单调递增，则不等式转化为2x2>x+1，解得x<-12或x>1，所以原不等式的解集为−∞，−12∪(1命题点4求参数的值(范围)例6(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=−x2−2ax−A.(-∞，0] B.[-1，0]C.[-1，1] D.[0，+∞)答案B解析因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，则需满足−−2a2×(−1)≥0,即a的取值范围是[-1，0].思维升华(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.跟踪训练2(1)(2026·大连模拟)已知函数f(x)=mx−2x+1在区间(-∞A.(-2，2) B.(-2，+∞)C.(-∞，-2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞)答案C解析由题意得，f(x)=mx−2x+1=m(x∵函数f(x)=mx−2x+1在区间(-∞∴-m-2>0，解得m<-2，即m的取值范围是(-∞，-2).(2)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：∀x1，x2∈(0，+∞)(x1≠x2)，恒有x2f(x1)−x1f(x2)答案(0，2]解析设g(x)=f(x)x又x1，x2∈(0，+∞)，所以x2f(x1)−x1所以g(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，不等式f(x)-2x≤0(x>0)可化为f(x)x≤2，又g(2)所以不等式f(x)x≤2等价于g(x)≤g(2)，故0<所以不等式f(x)-2x≤0的解集为(0，2].课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2023·北京)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是()A.f(x)=-lnx B.f(x)=1C.f(x)=-1x D.f(x)=3|x答案C解析对于A，因为y=lnx在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=-lnx在(0，+∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y=2x在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=12x在(0，+∞)上单调递减，故对于C，因为y=1x在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)=-1x在(0，+∞)上单调递增，故对于D，因为f

12=312−1=312=3，f(1)=3|1-1|=30=1，f显然f(x)=3|x-1|在(0，+∞)上不单调，D错误.2.已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为函数y=2x，y=x在R上为增函数，则函数f(x)=2x+x在R上为增函数，则“f(x1)=f(x2)”可以推出“x1=x2”，“x1=x2”也可推出“f(x1)=f(x2)”，故“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的充要条件.3.函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是()A.(-∞，0) B.0，C.12，1 D.(1，+答案B解析f(x)=x(可以得到函数的单调递减区间是0，14.(2025·青海省部分学校联考)已知函数f(x)=a(x+1)+2A.3 B.4 C.12 答案A解析因为f(x)=a+2x+1在区间[0，1]上单调递减，所以f(0)=a+2=5，解得5.(2025·成都模拟)已知函数f(x)=x2−ax+7,x≤1,ax,x>1满足对任意实数x1≠x2，都有(x1-x2)[A.(0，4] B.[2，+∞)C.[2，4] D.(0，+∞)答案C解析由对任意实数x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，可知函数f(x)在R上单调递减，则有a>0,a2≥1,1−a+7≥a,解得2≤6.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f(A.y=f(x)+x是增函数B.y=f(x)+x是减函数C.y=f(x)是增函数D.y=f(x)是减函数答案A解析不妨令x1<x2，∴x1-x2<0，∵f(x1)−f(x2)x1−x2>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)=f(x)+x是增函数，A正确，B错误；又f(x)为常函数时，f(x1)−f(x2)x1二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.设函数f(x)为增函数，且f(x)≠0，则下列结论错误的是()A.y=1fB.y=|f(x)|为增函数C.y=-1fD.y=-f(x)为减函数答案ABC解析若f(x)=x(x≠0)，则y=1f(x)|=1x(y=|f(x)|=|x|(x≠0)，不是增函数，故B错误；y=-1f(x)=-1x(x对于D，函数f(x)为增函数，则对于定义域内的任意的x1，x2，设x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，对于y=-f(x)，则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0，则y=-f(x)为减函数，故D正确.8.(2026·昆明模拟)已知函数f(x)对于一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)f(y)，当x>0时，0<f(x)<1，f(1)=15A.f(0)=1B.若f(m)=25，则m=2C.f(x)>0恒成立D.f(x)是减函数答案ACD解析对于A，令x=1，y=0，则f(1)=f(1)f(0)，∵f(1)=15，∴f(0)=1，故A对于B，f(2)=f(1)f(1)=125，故B对于C，令y=-x，则f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1，当x<0时，-x>0，∴0<f(-x)<1，∴f(x)=1f(−∴f(x)>0恒成立，故C正确；对于D，设x2>x1，则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]，∵x2-x1>0，∴0<f(x2-x1)<1，即f(x2-x1)-1<0，又f(x1)>0，∴f(x2)-f(x1)<0，f(x)是减函数，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.若函数f(x)=4|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是.

答案(1，+∞)解析因为函数f(x)=4|x-a|+3在(-∞，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，又函数f(x)在区间[1，+∞)上不单调，所以a>1.10.已知函数f(x)=ln(x+1),x≥0,−2x2,x<0,则不等式f(x答案(-∞，-2)∪(1，+∞)解析函数f(x)=ln(显然y=ln(x+1)在[0，+∞)上单调递增，y=-2x2在(-∞，0)上单调递增，且ln(0+1)=-2×02=0，所以f(x)在R上单调递增，不等式f(x+2)<f(x2+2x)可化为x+2<x2+2x，即x2+x-2>0，解得x>1或x<-2，则原不等式的解集为(-∞，-2)∪(1，+∞).四、解答题(共28分)11.(13分)(2025·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=2x-ax，且f(2)=9(1)求实数a的值；(3分)(2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并用定义证明；(6分)(3)求函数f(x)在[2，3]上的最值.(4分)解(1)因为f(x)=2x-ax，且f(2)=9所以4-a2=92，解得(2)函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.证明如下：由(1)可得，f(x)=2x+1x任取x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2，则f(x2)-f(x1)=2x2+1x2=2(x2-x1)+1=2(x2-x1)+x1−x2x1x2==(x因为x1，x2∈(1，+∞)且x1<x2，所以x2-x1>0，2x1x2-1>0，x1x2>0，所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.(3)由(2)知，函数f(x)在[2，3]上单调递增，则当x=2时，f(x)有最小值f(2)=92当x=3时，f(x)有最大值f(3)=19312.(15分)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0.(1)求证：f

mn=f(m)-f((2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)-f(2x)>2.(9分)(1)证明f(m)=f

mn·n=f

mn即f

mn=f(m)-f(n(2)解任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则x2由(1)得f(x2)-f(x1)=f

x2即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，∵f(2)=1，∴2=f(2)+f(2)=f(4)，f(x+2)-f(2x)>2⇔f(x+2)>f(2x)+f(4)⇔f(x+2)>f(8x)，又f(x)在(0，+∞)上单调递增，∴x+2>8x,x>0,解得故不等式f(x+2)-f(2x)>2的解集为x0<[每小题5分，共10分]13.(2026·昆明模拟)已