专题2.3求函数的值域（5类必考点分类集训）（教师版）

专题2.3求函数的值域TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】 2【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 8【考点3：根据值域求参数的值或者范围】 12【考点4：抽象函数的值域】 17【考点5：复合函数的值域】 21【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】1．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）下列函数中，值域不是的是（）A． B．（）C．（） D．【答案】ABC【分析】分别求出各函数的值域即可判断.【详解】因为，所以函数值域为，故A符合题意；因为时，，故B符合题意；因为时，函数的值域为集合，不是区间，故C符合题意；因为，所以函数的值域为，故D不符合题意.故选：ABC．2．（25-26高三·全国·一轮复习）填空：（1）已知，，求值域_____；（2）已知，，求值域_____；（3）已知求值域_____.【答案】【详解】（1）函数，在上单调递增，由，得，所以函数，的值域.（2）函数，，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值为，所以函数，的值域为.（3），当时，，由反比例函数的性质可知，当时，，则，有，即，.的值域为3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）求下列函数的值域：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）法一：利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，；法二：利用函数的单调性即可求解，（2）利用换元法可得，利用单调性求解即可.【详解】（1）设，则，所以，故在区间单调递增，所以，所以原函数值域为.法二：函数定义域为，函数与函数均在区间均单调递减，则在区间单调递减，当时，，所以，即原函数值域为.（2）设，则，所以因为在区间，单调递减，又，所以.所以原函数值域为.4．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可.【详解】（1），，所以，故函数的值域为．（2）令（），则，则（），结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4，所以函数的值域为.（3）∵，则，即原函数值域为，（4），因为,即函数值域为．5．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解；（2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为.（2）由函数，因为，可得，所以函数的值域为．6．（3.1.1函数及其表示方法（第1课时）课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)，(3)；(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即得.（2）根据不等式性质推理计算即得.（3）利用二次根式的意义求出值域.（4）利用二次函数的性质求出值域.【详解】（1）由，且，则，所以函数的值域为.（2）因为，则，可得，所以在的值域为.（3）函数的定义域为，由，得，所以的值域为.（4）函数图象的对称轴为，当时，，所以函数的值域为．7．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；(4)，．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可；（2）利用二次根式的意义求出值域；（3）利用二次函数的性质求出值域；（4）根据不等式性质运算求解即可．【详解】（1），且，则．所以函数的值域为．（2）函数的定义域为，由，得，所以的值域为．（3）函数图象的对称轴为，当时，，所以函数的值域为．（4）因为，则，可得，所以在的值域为．8．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用一次函数代入计算求解即可；（2）利用二次函数的单调性求解即可；（3）利用换元法结合二次函数的单调性求解即可；（4）利用分离变量法求解结合反比例函数的单调性求解即可；【详解】（1）因为，，所以值域为.（2）因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时最小值为2，所以函数的值域为.（3）因为，令，则，在上单调递减，在上单调递增，所以当时最小值为，所以函数的值域为.（4）的定义域是，由于，所以，所以值域为.【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】1．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的值域是______.【答案】【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域.【详解】因的定义域为，令，所以，整理得所以关于的方程有实数解，当时，原式为，解得，满足；当时，所以，整理得，解得，此时，且，∴综上，函数的值域为，2．（2026高三下·山东·竞赛）函数的值域为______________.【答案】【分析】法一：设，利用辅助角公式转化为求解；法二：由，转化为点到单位圆上一点连线的斜率求解.【详解】法一：设，则，由辅助角公式得，所以.解得.法二：函数，函数值等价于点到单位圆上一点连线的斜率，如图所示：设直线方程为：，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，故.3．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）函数的值域为_________【答案】【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得.【详解】因为函数，当时，，所以函数的值域为；当时，，由基本不等式,即，所以，因此，当且仅当时等号成立，所以函数的值域为.因此，函数的值域为.4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__.【答案】【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解.【详解】当时，函数，当且仅当，即时，等号成立，即函数的值域为.5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______.【答案】【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可.【详解】令，则可得，即，可得，当时，取得最大值，即.所以其值域为.6．（模型1具体特殊函数模型【练】--高三三轮冲刺），，则的值域为__________．【答案】【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域.【详解】由题意得，．令，则，则可化为．∵函数，在上均为增函数，∴在上为增函数，∵时，，时，，∴的值域为．故答案为：.7．（第05章综合问题百战谋略【提升版】）函数的值域为______．【答案】【分析】通过换元，令，将求函数的值域转化为求函数，的值域，再根据当时，的单调性求解即可.【详解】设，则，因为，所以．函数可化为，，因为当时是减函数，又，所以函数在上是减函数，于是，即，所以函数的值域是．故答案为：.8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______．【答案】4【分析】构造函数，通过配方，把问题转换成到直线和点的距离之和的倍，即可求解.【详解】构造函数，因为恒成立，所以，则函数可表示点到直线和点的距离之和的倍.构造抛物线，过点作直线的垂线，垂足为，交抛物线于两点，如图，此时直线的方程为：，即，联立方程得，易得交点分别为，于是当点重合于交点或时，取得最小值.从而的最小值为4．【考点3：根据值域求参数的值或者范围】1．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若函数的值域为，则的可能取值为（

）A． B． C． D．0【答案】BCD【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.【详解】①时，，值域为，满足题意；②时，若的值域为，则；综上，．故选：BCD2．（25-26高一上·重庆江北·期中）（多选）已知函数在定义域上的值域为，则实数n可以取值有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BCD【分析】求出原函数的对称轴，分析可知f（﹣1）＝3，f（1）＝﹣1，然后根据x≥1时，函数为增函数求得使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]的实数n的取值范围．【详解】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x≥1时，函数为增函数，∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．故选：BCD．3．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（）A． B．1 C．7 D．【答案】AC【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数.【详解】因为，所以，当时，有解，当不是0时，，即，因为函数的值域为，所以是方程的两个根，所以，，解得或，所以7或.故选：AC4．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________．【答案】【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解.【详解】因为当时，，此时，即，所以在时，的值域为，函数为，令，则在时为，且增大时减小，在时单调递增，所以单调递减，因此在上单调递增，此时：当时，，当时，，所以在时，的值域为，所以要使函数的值域为，则，解得：，则a的取值范围是5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________．【答案】1或【分析】变形给定等式并构造函数，将问题转化为两个函数值域的包含关系，并按分类求解即得.【详解】方程，记集合，,由任意的，都有满足方程，得，①当时，，，则，解得，由唯一，得，解得，符合题意，因此；②当时，，，则，解得，由唯一，得，解得，符合题意，因此，所以的取值为或.故答案为：或6．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】由函数的单调性分别求解出与的值域范围，结合题意，求解即可.【详解】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得，由，总，使成立，可知，解得；当时，函数在上单调递减，可得，同理可知，解得.综上，或.所以实数的取值范围是.7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值．【答案】【分析】去分母，并整理成关于的一元二次方程的形式，当时，根据一元二次方程有实数根的条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证时也符合题意，从而可得最终结果.【详解】将式子变形为；当时，；即；所以1，9是方程的两个根，代入得：；解得；将代入，当时，方程化为，有实数解，故在值域内，符合题意.综上，．8．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知函数．(1)当时，若，求的值；(2)若的值域为，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，令，当时，令求解；（2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上的取值范围包含，令，分和时求解；【详解】（1）当时，令，符合题意．当时，令，，解得不符合，舍去．综上．（2）当时，，所以要使值域为R，只需在上的上取值范围包含则当时，令，当时，可得，因为在上的上取值范围包含，所以，结合可得；当时，在上是增函数，所以，不满足在上的上取值范围包含，综上【考点4：抽象函数的值域】1．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域.【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为.由，对的取值范围各减2，得，即.故选：B2．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可.【详解】因为函数的值域是，所以，所以，所以，所以，故函数的值域是.故选：C.3．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.【详解】对于A，由可得，，故A错误；对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.4．（25-26高二下·广东茂名·期末）定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（

）A．R B． C． D．【答案】C【分析】利用赋值法结合条件可得，令，可得，得到在上的值域，进而即得.【详解】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，令，则，所以；令，，则，所以，由于，所以，则，即在上的值域为；所以函数在R上的值域为．故选：C.5．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因为函数的值域是，所以函数的值域是，令，则，由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，而，，，则，即函数的值域是.故选：B.6．（2026综合提优（3.1~3.2）高中数学必修第一册巅峰版）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的定义域为C．函数的值域为 D．函数的值域为【答案】D【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误.7．（巩固小卷3（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．是增函数【答案】D【分析】取，代入计算，即可判断A，取代入计算，即可判断B，取代入计算，结合基本不等即可判断C，举出反例，取，即可判断D.【详解】对于A，取，则由已知等式得到，即，又因为值域为，所有，故，故A正确；对于B，取，则，即，故B正确，对于C，令，则，即，注意到，所以，所以，当取得等号，故C正确；对于D，取，则，符合题意，但此时是减函数，故D错误．故选：D．8．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）若函数的定义域､值域分别为，函数，则（

）A．的定义域为 B．的定义域为C．的值域为 D．的值域为【答案】BD【分析】根据的范围可求的范围，则的定义域可知；根据的范围可知的值域.【详解】由，得，则的定义域为，由，得，则的值域为，故选：BD.【考点5：复合函数的值域】1．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设，则，值域.，所以A错误，B正确；集合之间不用连接，所以CD错误.2．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和无法确定 B．和无法确定C．和 D．和【答案】D【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数的定义域和值域都是，令，解得，所以函数的定义域为，由的值域得的值域为．故选：D.3．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别计算出在上的值域及在上的值域，则可得，计算即可得解.【详解】，由，则，当时，则，则，由任意的，均存在，使得，则有，即.故选：C.4．（25-26高二下·湖北·期中）（多选）已知函数，则（

）A． B．是函数的一个单调区间C． D．存在，满足【答案】ABD【分析】对A，代入计算化简即可；对B，是复合函数，先求出单调区间，再结合的单调区间分析即可；对C，根据单调性求出最值即可；对D，化简方程，构建新函数，分析是否存在满足题意.【详解】，则A正确；，则是单调递增函数，因为是函数的一个单调递增区间，由复合函数的单调性可知，是函数的一个单调递增区间，B正确；，C错误；因为，即只要判断是否成立即可，令，即D正确．5．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知函数（，，）的图象如图所示．(1)求的最小正周期及解析式；(2)，求的值域．【答案】(1)最小正周期，(2)【分析】（1）根据图象及特殊角三角函数，结合题意，可确定函数的解析式；（2）求得的解析式，结合二倍角公式，利用二次函数给定区间上的值域的求法可求得的值域.【详解】（1）由图可知的最大值为，最小值为，所以.由图象过，得.因为，且在的减区间上，所以.因为在距离原点最近的增区间上，所以.所以.所以的最小正周期为，解析式为；（2）.因为，所以当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为；所以的值域为．6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数．(1)若，求的值域；(2)若时，的最小值为，求函数的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解；（2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式.【详解】（1）若，则.因为，所以，所以，所以，所以若，则的值域为.（2）.令，.当时，在上单调递增，因为是增函数，所以在上单调递增.所以.当时，在上单调递减，因为是增函数，所以在上单调递减.所以.当时，在上单调递减，在上单调递增.因为是增函数，所以当时，取得最小值，即.综上，.7．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，函数.(1)求函数的值域；(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数的运算法则将函数变形为关于的二次函数后即可求值域；（2）把看作一个整体，函数为关于的二次函数（可用换元法），结合二次函数性质求得的最小值，然后解不等式即可.【详解】（1）.，即的值域为.（2）由题知：不等式对任意实数恒成立，.，令，.设，由二次函数的单调性可知：当时，取得最小值，即，，即，，即，解得，实数的取值范围为.8．（25-26高一下·广东广州·期中）设函数同时满足条件和对任意都有成立．(1)求的解析式；(2)求的定义域和值域；(3)若，求使得成立的整数的取值的集合．【答案】(1)；(2)定义域为，值域为．(3)．【分析】（1）由得到，再根据得到，得到解析式；（2）由函数特征得到不等式，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出定义域；（3），换元法，令，则，从而得到或，进而求出或或，得到取值集合.【详解】（1）由得，解得，故，又得，即，上式对任意都成立，故且，所以，故．（2）由解得，故定义域为；当时，，则，则，所以值域为．（3）若，则，所以时或，所以若，则或，所以或即，或即，综上，整数的取值集合为．一、单选题1．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，，则（

）A． B．0 C． D．【答案】C【详解】由于对数函数的定义域是，因此集合，因为，所以，故C正确.2．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则．因为，所以，所以，所以的值域为．3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】图像如图．设则．所以，，，设，则．所以在上单调递增．，．所以时，．4．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设，则，值域.，所以A错误，B正确；集合之间不用连接，所以CD错误.5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案.【详解】由题意得，解得，即的定义域为，令，则，所以，且，则原函数转化为，因为与在上均为单调递减函数，所以在上单调递减，所以的最大值为，的最小值为，所以的值域为，即原函数的值域为.6．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案.【详解】由题意，，,令函数，则，所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称，因函数在对称区间上的值域为，故．二、多选题7．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（

）A．的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数在的值域为D．函数的值域为【答案】ABC【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D.【详解】对于A，的定义域为，则在中，，解得，即的定义域为，A正确；对于B，函数，当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确；对于C，在上递减，，则函数在的值域为，C正确；对于D，函数，函数的值域为，D错误.8．（25-26高一上·山西·阶段检测）下列函数中，值域不是的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于A，由即可判断，对于B，由，再结