第三章§3.5函数中的构造问题

§3.5函数中的构造问题重点解读函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题的形式出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.题型一利用f(x)进行抽象函数构造命题点1构造和差型函数例1(多选)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，则下列结论正确的是()A.f(2)-ln2>f(1)B.f(4)-f(2)>ln2C.f(2)+ln2>f(e)+1D.f(e2)-f(e)>1答案ABD解析构造函数g(x)=f(x)-lnx，x>0，则g'(x)=f'(x)-1x=x因为xf'(x)-1>0，所以g'(x)>0，故g(x)是增函数.由g(2)>g(1)得f(2)-ln2>f(1)-ln1，即f(2)-ln2>f(1)，故A正确；由g(4)>g(2)得f(4)-ln4>f(2)-ln2，即f(4)-f(2)>ln4-ln2=ln2，故B正确；由g(e)>g(2)得f(e)-lne>f(2)-ln2，即f(e)+ln2>f(2)+1，故C错误；由g(e2)>g(e)得f(e2)-lne2>f(e)-lne，即f(e2)-2>f(e)-1，即f(e2)-f(e)>1，故D正确.思维升华此类问题一般将不等式的两端转化为相同形式，然后利用单调性求解.命题点2利用f(x)与xn构造例2已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x∈(0，+∞)时，xf'(x)<f(x)，则不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为()A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(2，3)C.(-3，0)∪(2，7) D.(-∞，-3)∪(2，7)答案D解析由题意，令g(x)=f(则g'(x)=xf当x∈(0，+∞)时，xf'(x)<f(x)，则g'(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减.又f(x)为(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，则g(-x)=f(−x)−x=−f(所以g(x)为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，由5f(2-x)+(x-2)f(5)<0，得5f(2-x)<(2-x)f(5)，易知x≠2，当2-x>0，即x<2时，不等式可化为f(2−x)2−x<f(5)5，即g(2-由g(x)在(0，+∞)上单调递减，得2-x>5，解得x<-3，故x<-3；当2-x<0，即x>2时，不等式可化为f(2−x)2−x>f(5)5，即g(2-x)>g(由g(x)在(-∞，0)上单调递增，得2-x>-5，解得x<7，故2<x<7，综上所述，不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为(-∞，-3)∪(2，7).思维升华(1)出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).(2)出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(命题点3利用f(x)与enx构造例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f'(x)-2，则()A.f(2026)-ef(2025)<2(e-1)B.f(2026)-ef(2025)>2(e-1)C.f(2026)-ef(2025)>2(e+1)D.f(2026)-ef(2025)<2(e+1)答案B解析令g(x)=f(则g'(x)=f'因为f(x)<f'(x)-2，即f'(x)-f(x)-2>0，则g'(x)>0，因此函数g(x)是增函数，于是得g(2026)>g(2025)，即f(2026)+2e2026所以f(2026)+2>e[f(2025)+2]，即f(2026)-ef(2025)>2(e-1).思维升华(1)出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).(2)出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(命题点4利用f(x)与sinx，cosx构造函数例4(多选)定义在0，π2上的函数f(x)，已知f'(x)是它的导函数，且恒有cosx·f'(x)+sinx·f(x)<0成立，g(x)=A.gπ3<gB.gπ4>gC.f

π6>3D.2f

π6>3答案ACD解析g(x)=f(x)cosx则g'(x)=cosx·因为cosx·f'(x)+sinx·f(x)<0，所以g'(x)<0，则g(x)=f(x)所以gπ3<gπ5，gπ4<gπ6，故又gπ3<gπ6，所以fπ即fπ312<fπ632，故f由gπ4<gπ得fπ4cosπ4<f所以2f

π6>3f

π4思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)=f(x)sinx，F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx；F(x)=f(F'(x)=f'F(x)=f(x)cosx，F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx；F(x)=f(F'(x)=f'跟踪训练1(1)(2025·毕节模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，f'(x)是f(x)的导函数，f(1)=0，当x<0时，xf'(x)+3f(x)>0，则不等式f(x)<0的解集为()A.(-∞，-1)∪(0，1) B.(-1，0)∪(0，1)C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(1，+∞)答案D解析令g(x)=x3f(x)，则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]，由题意知当x<0时，g'(x)>0，故g(x)在(-∞，0)上单调递增，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以g(-x)=(-x)3f(-x)=x3f(x)=g(x)，所以g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，又因为f(1)=0，所以f(-1)=-f(1)=0，所以g(1)=g(-1)=0，所以当x∈(-∞，-1)时，g(x)=x3f(x)<0，则f(x)>0；当x∈(-1，0)时，g(x)=x3f(x)>0，则f(x)<0；当x∈(0，1)时，g(x)=x3f(x)>0，则f(x)>0；当x∈(1，+∞)时，g(x)=x3f(x)<0，则f(x)<0.则不等式f(x)<0的解集为(-1，0)∪(1，+∞).(2)(2025·重庆期末)函数f(x)的定义域为R，且f(x)<f'(x)+1，f(0)=3，则不等式f(x)>2ex+1的解集为()A.(-∞，0) B.(0，+∞)C.(-∞，1) D.(1，+∞)答案B解析设g(x)=f(对g(x)求导，则g'(x)=f'(x因为f(x)<f'(x)+1，即f'(x)-f(x)+1>0，而ex>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立，所以函数g(x)是R上的增函数.又f(0)=3，则g(0)=f(0)−1e0不等式f(x)>2ex+1可变形为f(x)-1>2ex，即f(x)−1ex>2，即g(x)>因为g(x)是R上的增函数，所以x>0，即不等式f(x)>2ex+1的解集为(0，+∞).题型二构造具体函数例5(1)已知a=ln109，b=19，c=A.a<c<b B.a<b<cC.c<a<b D.b<c<a答案B解析令f(x)=lnx-x+1(x>0)，所以f'(x)=1x-1=1−当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)=0，所以f(x)≤0，当且仅当x=1时取等号，则当x=109时，f

109=ln109即ln109<19，所以a<因为lnx-x+1≤0，故lnex-1-ex-1+1≤0，即ex-1≥x，当且仅当x=1时等号成立，故e−89=e19−1>综上可知a<b<c.(2)已知a=e0.05，b=ln1.05+1，c=2021A.b>a>c B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c答案D解析令f(x)=ex-x-1(x>0)，则f'(x)=ex-1>e0-1=0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)>f(0)=e0-0-1=0，则f(0.05)=e0.05-0.05-1=e0.05-1.05>0，故e0.05>1.05，f(ln1.05)=1.05-ln1.05-1>0，故1.05>ln1.05+1，故e0.05>ln1.05+1>1>2021，即a>b>c思维升华通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不等式：sinx<x<tanx0<x<π2，ln(x+1)<x(x>0)，lnx≤x-1≤x2-x(x>0)，ex≥x+1，ex≥ex>x(跟踪训练2(1)(2026·泰安模拟)已知a=14，b=4e-1，c=ln5-2lnA.a<c<b B.c<a<bC.b<c<a D.a<b<c答案B解析设f(x)=ex-x-1，则f'(x)=ex-1，当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，所以e14>14+1，即b=4e-1>设g(x)=lnx-x+1，则g'(x)=1x-1=1−xx，当x∈(0，1)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)=0，即lnx≤x-1，当且仅当x=1时，等号成立，所以ln54<54-1=14，即c=ln5-2ln2<1所以c<a<b.(2)(2026·重庆模拟)已知x=ln32-3，y=ln53-103，zA.x>y>z B.x>z>yC.z>y>x D.z>x>y答案C解析令f(t)=lnt-2t，t>0则f'(t)=1t-12t则当t∈(0，2)时，f'(t)>0，当t∈(2，+∞)时，f'(t)<0，即f(t)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，又x=ln32-3=f

32，y=ln53-103=f

53，z由32<53<2，故f(2)>f

53>f

32，即泰勒展开式1.泰勒公式如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对∀x∈(a，b)，有f(x)=f(x0)+f'(x0)1！(x-x0)+f″(x0)2！(x-x0)2+…+f(其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，Rn(x)是余项，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.2.麦克劳林公式f(x)=f(0)+f'(0)1！x+f″(0)2！x2+…+f(n麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是高阶无穷小量)(1)ex=1+x+x22！+…+xnn！+(2)sinx=x-x33！+x55！-…+(-1)n-1x2n−1(2(3)cosx=1-x22！+x44！-x66！+…+(-1)nx2(4)ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)n-1xnn+o(xn)，x(5)11−x=1+x+x2+…+xn+o(x(6)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2！x2+…+α(α−1)…(α−n+1)n！x4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)(1)对数型超越放缩：x−1x≤lnx≤x-1(x(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤11−x(x<1典例(1)设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b答案C解析因为e0.1≈1+0.1+0.122=1.105，所以0.1e0.1≈0.1105<b=19≈0.1111，所以因为c=-ln0.9=ln109=ln19+1≈19-1922+1综上所述，c<a<b.(2)(2021·全国乙卷)设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，则()A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<a<b答案B解析方法一由泰勒公式，可知ln(1+x)≈x-12x2+13x3，(1+x)12-1≈12x-18x则a=2ln1.01=2ln(1+0.01)≈2×0.01−12×0.b=ln1.02=ln(1+0.02)≈0.02-12×0.022+13×0.023≈0.019c=1.04-1=(1+0.04)12-1≈12×0.04-18×0.042+116×0.04由此可知b<c<a.方法二b-c=ln1.02-1.04+1，设f(x)=ln(x+1)-1+2x+1则b-c=f(0.02)，f'(x)=1x+1=1+2x−(x+1)1+2x·(x+1)，当x≥0时，x+1=(x+1)2≥1+2x，故当x≥0时，f'(x)=1+2x−(x+1)1+2x·(x+1)≤0a-c=2ln1.01-1.04+1，设g(x)=2ln(x+1)-1+4x+1，则a-c=g(0.01)，g'(x)=2x+1-421+4x=2[1+4x−(x+1)](x+1)1+4x，当0≤x<2时，4x+1≥(x+1)2=x+1，故当0≤x<2时，g'(x)≥0，所以g(x)在[0课时精练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.设a=ln22，b=ln323，c=1e，则a，A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b答案B解析设f(x)=lnxx，x则f'(x)=1−lnx令f'(x)>0得0<x<e，所以函数f(x)在(0，e)上单调递增.因为3<2<e，所以f(3)<f(2)<f(e)，即ln33<ln22<1e，即ln323<ln22<12.已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sinx-f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)>2f

π6sinA.0，π3 B.0，π6 C.答案B解析令函数g(x)=f(x)sinx，x∈则g'(x)=f'(因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2f

π6sinx⇔f(即g(x)>gπ6，解得0<x<π所以原不等式的解集为0，π3.已知a=0.1，b=ln1.1，c=ln1.2-0.1，则()A.b>c>a B.c>a>bC.a>c>b D.a>b>c答案D解析令函数f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，求导得f'(x)=11+x-1，当x>0时，f'(x)<0，则函数f(x)在(0，+所以f(x)<f(0)=0，即当x>0时，ln(1+x)<x，则ln1.1<0.1，即b<a，又f(0.2)<f(0.1)，即ln1.2-0.2<ln1.1-0.1，则ln1.2-0.1<ln1.1，即c<b，所以a>b>c.4.设f'(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，f(x)-f'(x)-2ex<0(e为自然对数的底数)，且f(2)=-4e2，则不等式f(x)>-2xex的解集为()A.(2，+∞)B.(-∞，-2)C.(-∞，-2)∪(2，+∞)D.(-2，0)∪(2，+∞)答案A解析设g(x)=f(x)ex+2x，则g'(x)∵f(x)-f'(x)-2ex<0，∴f'(x)-f(x)+2ex>0，即g'(x)>0，∴函数g(x)是R上的增函数，又f(2)=-4e2，∴g(2)=f(2)e2+4=由f(x)>-2xex，可得f(x)ex+2x>0，即g(x)又函数g(x)是R上的增函数，∴x>2，即不等式的解集为(2，+∞).5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f'(x)，且当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0，则不等式(x-2026)2f(x-2026)-f(-1)<0的解集为()A.(-∞，2025)B.(2025，2027)C.(-∞，2025)∪(2027，+∞)D.(2027，+∞)答案C解析令F(x)=x2f(x)，则F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]，因为当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0，所以当x<0时，F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0，即F(x)在(-∞，0)上单调递增，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以F(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，且在(0，+∞)单调递减，所以F(x-2026)=(x-2026)2f(x-2026)，F(-1)=(-1)2f(-1)=f(-1)，即不等式(x-2026)2f(x-2026)-f(-1)<0等价为F(x-2026)<F(-1)，所以|x-2026|>1，解得x<2025或x>2027，所以不等式(x-2026)2f(x-2026)-f(-1)<0的解集为(-∞，2025)∪(2027，+∞).6.计算器计算ex，lnx，sinx，cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+f'(x0)1！(x-x0)+f″(x0)2！(x−x0)2+f(3)(x0)3！(x−x0)3+…，其中A.0.82 B.0.84C.0.86 D.0.88答案B解析根据题意，f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f″(x)=-sinx，f(3)(x)=-cosx，…，取x0=0，可得f(x)=f(0)+f'(0)1！x+f″(0)2！x2+则f(x)=sinx=0+1×x+0×x2+(-1)×13！x3+0×x4+1×15！x5=x-16x3+1120x5+令x=1，代入上式可得f(1)=sin1=1-16+1120+…=101120+所以sin1≈0.84.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)+f'(x)>0，则下列说法正确的是()A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0)C.2f(ln2)<ef(1) D.2f(ln2)>ef(1)答案BC解析令g(x)=exf(x)，所以g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A错误，B正确；又g(ln2)<g(1)，所以eln2f(ln2)<ef(1)，即2f(ln2)<ef(1)，故C正确，D错误.8.若f(x)满足xf'(x)-f(x)>x2sinx，△ABC的内角A为钝角，则下列选项正确的是()A.cosC·f(sinB)<sinB·f(cosC)B.cosC·f(sinB)>sinB·f(cosC)C.cosB·f(sinC)<sinC·f(cosB)D.cosB·f(sinC)>sinC·f(cosB)答案AC解析xf'(x)-f(x)>x2sinx，当x∈0，πsinx>0，所以xf'(x)−令F(x)=f(x)x，则F'(x)=xf'所以F(x)在0，π2因为在△ABC中，角A为钝角，所以0<B+C<π2，即0<B<π2-C<所以0<