第三章必刷大题6导数的综合问题

必刷大题6导数的综合问题[分值：60分]1.(13分)已知函数f(x)=xex-mx2.(1)求曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(4分)(2)若函数g(x)=f(x)-ex在x=0处取到极小值，求实数m的取值范围.(9分)解(1)由题意，f'(x)=(x+1)ex-2mx，则f'(0)=1，又f(0)=0，故所求切线方程为y=x.(2)由题意，g(x)=xex-mx2-ex，故g'(x)=xex-2mx=x(ex-2m).若m≤0，则ex-2m>0，故当x∈(-∞，0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，故当x=0时，函数g(x)取到极小值；若m>0，则令g'(x)=0，解得x=0或x=ln(2m)，要使函数g(x)在x=0处取到极小值，则需ln(2m)<0，即0<m<12此时当x∈(-∞，ln(2m))时，g'(x)>0，当x∈(ln(2m)，0)时，g'(x)<0，当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0，满足条件.综上，实数m的取值范围为−∞2.(15分)已知函数f(x)=a12x2−x+(x-2)ex(1)讨论函数f(x)的单调性；(8分)(2)若对∀x∈[2，+∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.(7分)解(1)因为f(x)=a12x2−x+(x-2)ex则f'(x)=a(x-1)+(x-2+1)ex=(x-1)(ex+a)，①当a≥0时，ex+a>0，由f'(x)>0可得x>1，由f'(x)<0可得x<1，所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；②当-e<a<0时，0<-a<e，则ln(-a)<1，由f'(x)>0可得x<ln(-a)或x>1，由f'(x)<0可得ln(-a)<x<1，所以函数f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增，在(ln(-a)，1)上单调递减；③当a=-e时，f'(x)=(x-1)(ex-e)≥0在x∈R上恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增；④当a<-e时，-a>e，则ln(-a)>1，由f'(x)>0可得x<1或x>ln(-a)，由f'(x)<0可得1<x<ln(-a)，所以函数f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增，在(1，ln(-a))上单调递减.(2)f(x)=ax(x−2)2+(x=(x-2)ex因为对任意的x≥2，有f(x)≥0，所以当x≥2时，ex+a2x≥0即a≥-2e令g(x)=-2exx，x则g'(x)=-2ex所以函数g(x)在[2，+∞)上单调递减，则g(x)max=g(2)=-e2，故a≥-e2，因此实数a的取值范围是[-e2，+∞).3.(15分)(2025·武汉模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函数；若f'(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间D上的凸函数.已知函数f(x)=xex+λln((1)若f(x)在[2，3]上为凹函数，求实数λ的取值范围；(6分)(2)已知F(x)=f(x-1)，且F(x)在(1，+∞)上存在零点，求实数λ的取值范围.(9分)解(1)令f'(x)=1−xex+λx+1则m'(x)=x−2ex依题意知，m'(x)≥0对任意的x∈[2，3]恒成立，则(x+1)2(x−2)ex≥令n(x)=(x+1)2(x−2)ex=则n'(x)=1ex(-x3+3x2+3x=x+1ex(-x2+4x-1故n(x)在[2，3]上单调递增，故n(x)min=n(2)=0≥λ，则实数λ的取值范围为(-∞，0].(2)依题意得，F(x)=f(x-1)=x−1ex−1+λ若λ≥0，当x>1时，x−1ex−1>0，ln所以F(x)>0，F(x)在(1，+∞)上无零点，舍去；若λ<0，则F'(x)=λex−1−x2+2xxex−1，令g(x则g'(x)=λex-1-2(x-1)<0，则g(x)在(1，+∞)上单调递减，且g(1)=λ+1，①若λ+1>0，即-1<λ<0，此时g(2)=λe<0，则存在m∈(1，2)，使得g(m)=0，即F'(m)=0，故F(x)在(1，m)上单调递增，在(m，+∞)上单调递减，所以F(m)>F(1)=0，当x>m时，F(x)=x−1ex−1+λlnx<x−1x+λlnx=1-1x+λln令1+λlnx<0，解得x>e−因为e−1λ且F(e−1λ所以存在唯一x1∈m，e−1λ，使得F(②若λ+1≤0，即λ≤-1，此时g(x)<0，F(x)在(1，+∞)上单调递减，又F(1)=0，所以F(x)<0，不符合题意，舍去.综上所述，实数λ的取值范围为(-1，0).4.(17分)已知f(x)=ex−e−x2，g(x)=(1)当a=1时，求函数y=g(x)在[0，+∞)上的最小值；(5分)(2)若函数y=g(x)为增函数，求实数a的取值范围；(5分)(3)若当x>0时，f(x)>x，证明：112+1+122+2+…+1n2(1)解当a=1时，g(x)=ex−e则g'(x)=12(ex+e-x)-1因为ex+e-x≥2ex·当且仅当ex=e-x，即x=0时取等号，所以g'(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，则g(x)在[0，+∞)上单调递增，所以函数y=g(x)在[0，+∞)上的最小值为g(0)=0.(2)解因为g(x)=ex−e则g'(x)=ex+e因为函数y=g(x)为增函数，则g'(x)=ex+e−x由(1)知ex+e-x≥2ex·当且仅当ex=e-x，即x=0时取等号，所以a≤1，即a的取值范围为(-∞，1].(3)证明因为当x>0时，f(x)>x，即ex−e−x2>x，即ex令ex=t>1，则t-1t>2lnt令t=1+1n，n∈N则1+1n-11+所以1n1+1n>lnn+1所以112