专题2.3函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）（教师版）

专题2.3函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义

(2)结合具体函数，了解奇偶性和对称性的概念和几何意义

(3)了解周期性的概念和几何意义高考真题统计考点2024年2025年2026年函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性新课标I卷：第6题，5分新课标Ⅱ卷：第8题，5分全国一卷：第5题，5分全国二卷：第10题，6分天津卷：第3题，5分全国一卷：第19题，17分全国二卷：第8题，5分上海卷（秋考）：第5题，4分上海卷（秋考）：第21题，18分北京卷：第5题，5分命题规律分析1、函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性函数的性质是历年高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查函数的单调性问题，以及求函数的最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，侧重考查函数新定义，试题综合性强，考查难度较大。考点1考点1函数的性质知识点1函数的单调性1．求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.知识点2函数的最值的求法1．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2．复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.知识点3函数的奇偶性及其应用1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.2．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.3．常见奇偶性函数模型(1)奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．(2)偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数.知识点4函数的周期性与对称性的常用结论1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【题型1确定函数的单调性（区间）】【例1】（2026·山西·模拟预测）函数y=|x−3|的单调递减区间为（

）A．−∞,+∞ B．3,+∞ C．【答案】C【解题思路】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间.【解答过程】函数y=|x−3|=−x+3,x≤3x−3,x>3，则该函数在(−∞所以函数y=|x−3|的单调递减区间为(−∞故选：C.【变式1-1】（25-26高一上·青海·期中）函数y=x2−5x+4A．52,+∞ B．−∞,1 【答案】B【解题思路】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案.【解答过程】由题意知函数y=x2−5x+4满足x2−5x+4≥0即函数定义域为−∞令t=x2−5x+4，则t=则t=x2−5x+4在−又y=t在0,+故y=x2−5x+4故选：B.【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设fx=x，gxA．fx+gxB．fx+gxC．fx−gxD．fx−gx【答案】A【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可.【解答过程】因为函数fx=x，gx=−1x在区间令hx=fx则hx当0<x1<x2<1时，0<x当1<x1<x2时，x故选：A.【变式1-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数fx=x−23−x，则函数fxA．−∞,2.5和3,+∞C．2,2.5和3,+∞ D．【答案】A【解题思路】讨论x的取值范围，化简fx【解答过程】由于函数fx当x≤3时，f(x)=(x−2)(3−x)=−x由于f(x)=−x2+5x−6图象的对称轴为x=当x>3时，f(x)=(x−2)(x−3)=x由于f(x)=x2−5x+6图象的对称轴为x=故函数fx=x−23−x的单调增区间是故选：A.【题型2根据函数的单调性求参数】【例2】（2026·广东茂名·一模）已知函数fx=x2−6x+5在区间a,+A．−∞,1 B．−∞,3 C．【答案】D【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.【解答过程】由x2−6x+5≥0，可得x≤1或即函数f(x)的定义域为(−∞又因为t=x2−6x+5在[5,+y=t在[0,+由复合函数的单调性可知fx=xa≥5.故选：D.【变式2-1】（2026·山西·二模）若函数f(x)=x+ax在(0,2]上单调递减，则实数A．(0,2] B．(0,4] C．[2,+∞) 【答案】C【解题思路】根据对勾函数的单调性，即可求解.【解答过程】当a=0时，f(x)=x当a<0时，y=x,y=a当a>0时，f(x)=x+ax在故f(x)=x+ax在故选：C.【变式2-2】（2026·甘肃白银·三模）“k>0”是“函数fx=x+k在0,+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】利用给定单调性求出k的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答过程】函数f(x)=|由函数f(x)在0,+∞上单调递增，得(0,+∞)⊆[−k,+∞)，则−k≤0，因此k≥0所以“k>0”是“函数fx=x+k故选：A.【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）若fx=ax+1，x<1lnx+2a，x≥1是R上的增函数，则实数aA．1,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞【答案】B【解题思路】分类讨论x<1及x≥1的fx的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到a【解答过程】当x<1时，若fx=ax+1为单调递增函数，则当x≥1时，fx若fx是R上的增函数，需有a+1≤2a，解得a≥1故选：B．【题型3求函数的最值】【例3】（2026·江西南昌·二模）已知函数f(x)=a−x,x<0x+4x,x>0A．−∞,2 B．2,+∞ C．−【答案】D【解题思路】结合函数单调性及基本不等式求解即可.【解答过程】当x>0时，fx=x+4当x<0时，fx=a−x在−∞,0上单调递减，此时因为fx在定义域内有最小值，所以a≥4故实数a的取值范围为4,+∞故选：D．【变式3-1】（2026·湖南·模拟预测）已知函数fx，则“∀x∈0,+∞，fx≥2”是“fA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解题思路】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断.【解答过程】先判断充分性：若函数fx在0,+则“∀x∈0,+∞，fx≥2”成立，但“所以“∀x∈0,+∞，fx≥2”不是“再判断必要性：“fx在0,+∞上的最小值为2”时，可得“∀x∈0,+所以“∀x∈0,+∞，fx≥2”是“综上：“∀x∈0,+∞，fx≥2”是“故选：B.【变式3-2】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数fx=2x+mx+1在区间0,1上的最大值为1，则实数A．0 B．1 C．2 D．0或1【答案】A【解题思路】先分离变量f(x)=2x+m【解答过程】函数f(x)=2x+m当m=2时，fx=2，不满足函数fx当m>2时，函数f(x)=2x+mx+1在区间所以最大值为f(0)=m=1，不符合题意；当m<2时，函数f(x)=2x+mx+1在区间所以最大值为f(1)=2+m2=1综上所述，实数m=0故选：A.【变式3-3】（25-26高一上·河北张家口·期末）函数fx=xx+2在区间2,4上的最大值、最小值分别为（A．35，12 B．2C．23，13 D．3【答案】B【解题思路】根据分式型函数的单调性进行求解即可.【解答过程】fx=x所以fx故选：B.【题型4函数单调性的应用：比较大小、解不等式】【例4】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数fx的定义域为R，且它的图象关于x=−2对称，当x1<x2<−2时，fx1−fx2x1−xA．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<b<a【答案】D【解题思路】根据题意，得到函数fx在(−∞,−2)上单调递增，再由fx的图象关于x=−2对称，求得b=f−4【解答过程】由函数fx的定义域为R，当x1<可得函数fx在(−又由函数fx的图象关于x=−2对称，可得b=f0=f则有f−6<f−4故选：D.【变式4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在R上的函数fx满足∀x1,x2∈R，xA．1,2 B．−∞,1 C．2,+∞【答案】A【解题思路】由题确定函数fx的单调性，通过x>1和x<1【解答过程】由题知函数fx在R当x>1时，不等式x−1⋅fx−f4−x<0可化为当x<1时，不等式可化为fx>f(4−x)，即综上，不等式x−1fx−f4−x故选：A.【变式4-2】（25-26高一·江苏·寒假作业）已知定义在R上的函数fx满足：f−x+fx=0，fA．f8<f5.5C．f8>f−3【答案】A【解题思路】根据题意，可得函数fx是周期为4的函数，化简可得f8=f0，【解答过程】由题意，f−x+fx又f2−x=fx，所以f用x+2替换其中的x，可得f4+x=−f2+x所以函数fx的周期为4所以f8=f2×4+0f5.5=f1×4+1.5=f1.5又函数fx在−1,1内单调递增，所以即f−3故选：A.【变式4-3】（2026·河北石家庄·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈0, +∞且x1≠xA．−∞, C．−2025, 2025 【答案】B【解题思路】对x2fx【解答过程】由x2fx1−x1则gx在0,+又因为fx为定义在R上的奇函数，g−x=f−x−x=g而不等式fx又因为f2025=2025，所以所以不等式的解集为−2025, 故选：B.【题型5函数的奇偶性及应用】【例5】（2026·山东潍坊·三模）已知a>1，函数fx=aa+x−3a2−xA．13 B．24 C．80 D．240【答案】D【解题思路】根据奇函数的性质求出a的值，进而求解即可．【解答过程】由fx则f−x又函数fx为R上的奇函数，则f即aa⋅a整理得a所以aa−3a2=0，即a所以fx=3故选：D.【变式5-1】（2026·四川成都·三模）已知奇函数fx满足fx+2=−fx，当x∈0,1时，fA．0 B．1 C．3 D．5【答案】B【解题思路】首先根据fx+2=−fx可求出fx的周期，再结合f0=0可求出【解答过程】因为函数fx满足f所以fx+4=−fx+2由题意知奇函数fx的自变量x可取0，所以f又因为当x∈0,1时，fx=4x所以当x∈0,1时，f所以f101.5=f故选：B.【变式5-2】（2026·天津北辰·三模）函数f(x)=xcos2xA． B．C． D．【答案】A【解题思路】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得fx为奇函数，再结合f(1)<0【解答过程】由函数f(x)=xcos2x且满足f−x所以函数fx又由f(1)=cos故选：A.【变式5-3】（2026·安徽安庆·三模）定义在R上的偶函数fx，当x≥0时，fx=ex，则满足f1−2x<fA．−1,2 B．−2,1 C．−1,2 D．−2,1【答案】A【解题思路】先利用偶函数性质求出函数在R上的分段表达式并明确其在0,+∞上单调递增，再由单调性将f1−2x<f3转化为【解答过程】当x<0时，−x>0，f−x又fx是定义在R上的偶函数，所以f所以fx因为f1−2x<f3，所以1−2x所以满足f1−2x<f3的x故选：A.【题型6函数的周期性及应用】【例6】（2026·福建南平·二模）已知fx是定义在R上且周期为4的奇函数，当−2<x<0时，fx=exA．-2 B．−12 C．1【答案】B【解题思路】根据函数fx【解答过程】已知fx是定义在R上且周期为4的奇函数，所以有f令x=−2，得f2由于fx是奇函数，有fx=−f−x，所以f2当−2<x<0时，fx=ex，由于因此f2故选：B.【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知y=fx是定义在R上周期为4的奇函数，则f2=（

A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解题思路】根据周期性和奇偶性求解.【解答过程】因为y=fx周期为4，所以f(x+4)=f(x)令x=−2，得到f(2)=f(−2)又因为y=fx是定义在R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)令x=2，即f(−2)=−f(2)，所以f(2)=−f(2)，即2f(2)=0，即f(2)=0.故选：B．【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx−2是奇函数，f2x−1是偶函数，则fA．−2 B．0 C．1 D．2【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值.【解答过程】函数f(x)的定义域为R，由f(2x−1)是偶函数，得f(−2x−1)=f(2x−1)，即f(−x−1)=f(x−1)，则f(−x−2)=f(x)，由f(x−2)是奇函数，得f(−x−2)=−f(x−2)，因此f(x)=−f(x−2)，则f(x+2)=−f(x)=f(x−2)，因此f(x+4)=f(x)，函数f(x)是一个周期为4的函数，且f(−2)=0，所以f(2026)=f(4×507−2)=f(−2)=0.故选：B.【变式6-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在R上的函数fx的图象关于x=32对称，且fx+fx+3=fA．0 B．1 C．-1 D．-2【答案】B【解题思路】利用函数的周期性求解.【解答过程】由fx+fx+3两式相减：fx+6=fx2031=338×6+3，原式：fx令x=0：f(0)+f(3)=f(3)⟹f(0)=0，fx关于x=32所以f3=f0=0，因为f7=ff4f2f5f3一个周期：f1一个周期和：1+1+0−1−1+0=0，2026=6×337+4，i=12026故选：B.【题型7函数的对称性】【例7】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线y=x−alog21−2x关于直线A．−2 B．2 C．0 D．1【答案】C【解题思路】先求出函数定义域，再根据对称性得出b=1，再代入解析式得出a=1，最后代回验证即可.【解答过程】令fx=y=x−alog21−2x，由1−2由曲线关于直线x=b对称，得定义域关于直线x=b对称，则b=0+2此时必有f−1=f3，即−1−a此时f2−x因此函数fx的图象关于直线x=1对称，即a=1，b=1满足题意，故a−b=0故选：C.【变式7-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在R上的函数fx，gx的图象分别关于点1,2，1,3对称，则下列点一定是函数hxA．1,5 B．1,52 C．1,1 【答案】A【解题思路】由题意得，hx+h2−x【解答过程】由题意得，fx+f2−x则hx则hx=fx故选：A.【变式7-2】（2026·湖北宜昌·二模）已知函数fx=(x−a)3lnx+bxA．2 B．0 C．−1 D．−2【答案】C【解题思路】求出函数fx的定义域，利用对称性的特征可得b=−2，再利用f2−x=fx求解【解答过程】函数fx=x−a3ln由函数fx的图象关于直线x=1对称，得fx的定义域关于则xx+b>0的解集只能为−∞由f2−x=fx故x−a3ln则x−a=x+a−2，解得a=1，故a+b=−1.故选：C.【变式7-3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数fx, gx的定义域均为R，f4−x+fx=2，gx的图象关于直线A．−9 B．−4 C．1 D．4【答案】A【解题思路】先由fx=g4+x+3及f4−x+fx=2可得【解答过程】因为fx=g4+x又因为f4−x+fx即g4+x+g8−x=−4，所以gx又因为gx的图象关于直线x=4对称，所以g8−x所以g4+x+gx所以g8+x=gx，所以8所以g19+g25=g2×8+3又因为g4=1, 所以g24=g2×8+8故选：A.【题型8函数性质的综合应用】【例8】（2026·山东聊城·三模）已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx=gx−1−1，gx=f2−xA．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解题思路】联立两个函数关系式消去g(x)，推导得出f(x)的对称轴，结合偶函数性质推出函数周期，利用周期性和对称性求出f(1)，再代入关系式求出g(1)，最终计算目标值.【解答过程】由f(x)=g(x−1)−1得g(x)=f(x+1)+1.又因g(x)=f(2−x)+1，则有f(x+1)+1=f(2−x)+1，即f(x+1)=f(2−x)，故函数f(x)的图象关于直线x=3又f(x)是偶函数，其图象关于直线x=0对称.故f(x)的一个周期为T=2×3由f(20)=3得f(20)=f(3×6+2)=f(2)=3.在f(x+1)=f(2−x)中令x=0，得f(1)=f(2)=3.由g(x)=f(2−x)+1得g(1)=f(1)+1=4.因此f(1)+g(1)=3+4=7.故选：D.【变式8-1】（2026·湖南·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，f2x+2的图象关于x=−12对称，f−1A．0 B．−3 C．3 D．4【答案】C【解题思路】由奇函数定义可得f−x=−fx，由对称性性质可得ft+2=−f【解答过程】因为fx是定义在R所以fx因为f2x+2的图象关于x=−f2x+2令t=2x可得，ft+2所以ft+4=−ft+2所以f985故选：C.【变式8-2】（2026·四川成都·三模）已知y=fx+1是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈1,2时，fx=log2x，设a=f12A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a【答案】D【解题思路】根据题意，得到函数fx的图象关于直线x=1对称，进而推得函数fx也是周期等于2的函数，化简得到【解答过程】因为y=fx+1是定义在R上的偶函数，可得f所以函数fx的图象关于直线x=1对称，则有f再由y=fx+1是定义在R可得函数fx所以a=f1又因为x∈1, 2时，f故选：D.【变式8-3】（2026·吉林·三模）已知函数fx的定义域为R，f2x+1为偶函数，f1A．fx为奇函数 B．fC．fx的最小正周期为4 D．fx在【答案】B【解题思路】通过对f2x+1和f12【解答过程】因为f2x+1为偶函数，所以f将x替换为x2，则有f(1−x)=f(1+x)因为f12−2x将x替换为x2，则有f(再将x替换为x−12，则有将x替换为−x，则有f(−x)=−f(1+x)③，结合①③得f(−x)=−f(1−x)④，结合②④得f(−x)=f(x)，因此f(x)为偶函数，选项A错误，B正确；因为f(x)=−f(1−x)，结合偶函数，将x替换为x+1得f(x+1)=−f(−x)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x+1)=−−f(x)=f(x)，即2为对于D选项，如f(x)=−cos但不满足fx在1,2故选：B.【题型9抽象函数的性质】【例9】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数fx满足：f2x+f2x+2=4，且A．1 B．2 C．−2 D．【答案】C【解题思路】用x代换x+2，可得f2x+2+f2x+4=4，联立方程组，求得fx+4=±fx，结合函数fx为偶函数，且fxf【解答过程】由f2x+f2x+2=4联立方程组f2x+f2又由函数fx为偶函数，且fxfx+1所以fx+4=fx，可得函数f因为f2<0，f1与f令x=−1，可得f2−1+则f2025故选：C.【变式9-1】（2026·河南·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意x,y，都有fx+fy=fA．2 B．1 C．0 D．−1【答案】C【解题思路】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解.【解答过程】令y=−x，则fx因为fx是定义在R所以fx+f−x故选：C.【变式9-2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fy=fxA．f23=6C．fx为奇函数 D．fx在区间【答案】C【解题思路】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.【解答过程】令x=y=13，则所以2f23f13所以2f2令x=23，即2f23由题意，函数fx的定义域为(−令y=−2x，则fx−2xf令−x代换x,y，则f−x−xf−x所以2f−2x=f−x，令−x代换x由将2f−2x=f−x可得f−xfx所以f(x)为奇函数，故C正确；令x=y=1，则f2f1+f1故选：C.【变式9-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−A．函数fx的一个对称中心为2,1 B．C．函数fx为周期函数，且一个周期为4 D．【答案】C【解题思路】对于A，由G(x)为奇函数，则G(−x)=−G(x)，再将Gx=f2+3x−1代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得f(2)=1，再由F(x)为偶函数可得f(1+x)−f(1−x)=2x，令x=1可求出f(0)；对于C，由fx的图象关于点(2,1)【解答过程】对于A，因为Gx所以G(−x)=−G(x)，即f(2−3x)−1=−[f(2+3x)−1]，所以f(2−3x)+f(2+3x)=2，所以f(2−x)+f(2+x)=2，所以函数fx的图象关于点(2,1)对于B，在f(2−x)+f(2+x)=2中，令x=0，得2f(2)=2，得f(2)=1，因为函数Fx=f1+x所以f1−x所以f(1+x)−f(1−x)=2x，令x=1，则f(2)−f(0)=2，所以1−f(0)=2，得f(0)=−1，所以B正确，对于C，因为函数fx的图象关于点(2,1)对称，f(0)=−1所以f(4)=3，所以f(0)≠f(4)，所以4不是fx对于D，在f(2−x)+f(2+x)=2中令x=1，则f(1)+f(3)=2，令x=2，则f(0)+f(4)=2，因为f(0)=−1，所以f(4)=3，因为f(2)=1，所以f1故选：C.【题型10函数新定义】【例10】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z上的函数fx满足对任意x,y∈Z均有fx+y=fxf2−y+f2−xfy，则称fx为“S−2函数”.已知fA．−22 B．0 C．2【答案】A【解题思路】由新定义赋值得fx的图象关于直线x=2对称，进一步赋值得fx为奇函数，fx【解答过程】令x=y=0，则f0=f0令y=2，则fx+2所以fx的图象关于直线x=2令y=−x，则f0因为f2+x=0不恒成立，所以fx所以fx+4=f−x所以fx是周期为8的周期函数，令x=1,y=1，则f解得f1=±22，又所以f0故选：A.【变式10-1】（2026·上海闵行·一模）如果“若p，则q”和“若q，则p”中有且仅有一个真命题，称p与q具有“U－关系”．已知函数y=f(x)的定义域为R，p:y=f(x)为偶函数，则p与下列选项中的q具有“U－关系”的为（）A．q：对任意x∈R都有−f(x)≥f(x)B．q：对任意x∈R都有f(−x)≥f(x)C．q：对任意x∈R都有f(−x)=D．q：对任意x∈R都有f(−x)=f(|x|)【答案】C【解题思路】由p:y=f(x)为偶函数，得f(−x)=f(x)，结合“U－关系”的定义可得出答案．【解答过程】由p:y=f(x)为偶函数，得f(−x)=f(x)对于选项A：“p⇒q”为假命题，“q⇒p”也为假命题，故A错误；对于选项B∶由f(−x)=f(x)得f(−x)≥f(x)成立，故“p⇒q”为真命题，而由f(−x)≥f(x)对任意x∈R恒成立，将x替换为−x，得f(x)≥f(−x)对任意x∈R恒成立，从而f(−x)=f(x)成立，所以“q⇒p”也为真命题，故B错误；对于选项C：当f(x)=−1时，f(−x)=−1，f(−x)=1，此时f(−x)=|f(x)|不成立，只有f(x)非负的情况下f(−x)=f(x)才会成立，即“而由q：f(−x)=|f(x)|，用−x替换x得f(x)=|f(−x)|，又因f(−x)=|f(x)|≥0，故|f(−x)|=f(−x)，所以f(x)=f(−x)成立，所以“q⇒p”为真命题，故C正确；对于选项D：“p⇒q”为真命题，由于由f(−x)=f(|x|)，用−x替换x得f(x)=f(|−x|)=f(|x|)，故f(−x)=f(x)，所以“q⇒p”也为真命题，故D错误；故选：C．【变式10-2】（2026·上海·三模）设s,t∈R，对于定义域为D的函数y=fx与y=gx，hx=sfx+tgx，若函数y=hx是区间D(1)设D=2,+∞，fx=x2，gx=x，若y=fx(2)设s>0，D=0,1，fx=x，gx=−32x．若y=fx与(3)设D=R，若对任意s、t，函数y=fx与y=gx在R上都满足“性质Ms,t”．求证：存在不全为零的实数A、【答案】(1)t≥−4；(2)−∞(3)证明见解析【解题思路】（1）先求出hx（2）依据单调性定义可得2s+3tx1x2≥0在（3）利用性质Ms,t对任意s、t成立，先取1,0和0,1知fx与gx均单调，假设不存在不全为零的实数A、B使得函数y=Afx+Bgx为常值函数，则存在两点使fx与g【解答过程】（1）因为fx=x2，gx故hx=x因为hx为开口向上的抛物线，对称轴为x=−t2，故−（2）由题设有hx=sx−3t设任意x1,x则hx因为x1,x2∈0,1，而hx为0,1故2sx1x2+3t≥0在0,1而0<x1x2<1，s>0，故3t≥0或2s+3t≤0（3）若函数y=fx为常值函数，取A,B同理，若函数y=gx是常值函数，取A,B因此，以下考虑函数y=fx与y=g分别取s,t=1,0和0,1，可以得到函数y=fx不妨设函数y=fx与y=gx都是增函数（否则，若函数y=fx为减函数，将−fx替换为fx因此存在x1<x2，使得令gx2−g首先证明：对任意x3>x反证法：假设存在x3>x1使得gx不妨设n>m，取s=−m+n2，t=1，对于函数则hxhx因此hx2<hx1同理可以证明对任意x3≤x因此，对任意x∈R，g所以hx取A,B=−m,1，则A、B不全为零，且【变式10-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数fx满足对任意x1，x2∈R，当x(1)若fx为“绝对值严格增函数”，试判断f(2)求证：fx=ax为“绝对值严格增函数”是(3)若“绝对值严格增函数”fx的值域为m,1且在0,﹢∞上为严格增函数，试讨论【答案】(1)不可能(2)证明见解析(3)当m∈0,1时，fx为偶函数；当m=−1时，【解题思路】第（1）问可用反证法，取0与周期的整数倍作比较即可.第（2）问先由定义得到fx=ax为“绝对值严格增函数”等价于a>1，再将gx>hx第（3）问先利用定义与连续性证明对任意x≥0都有f−x=fx，再结合值域与fx在0,+∞上的单调性分类讨论：当【解答过程】（1）不可能.假设fx具有周期性，设T>0是它的一个周期，则对任意正整数n，都有f由于0<nT，而fx为“绝对值严格增函数”，所以f因此fx(2)先证fx=a若a>1，当x1<x2时，有ax反之，若fx=ax为“绝对值严格增函数”，有fx=fx再证gx始终在hx图像上方等价于当x>1时，gx>hx令t=x−1，则t>0，且x=t+1，于是上式等价于lnt+进一步化简得lnt+若a>1，由lnt≥1−可得lnt+所以gx反之，若gx始终在hx图像上方，则lnt+取t=1，得0+2a−2+2a−1+4a−5>0，化简得综上，fx=ax为“绝对值严格增函数”是（3）设ux=fx,v当0≤x1<于是maxu固定x≥0，令x1=x,x2=x+t由连续性可得maxu故ux=vx，即对任意x≥0下面分类讨论.当m∈0,1时，fx的值域为m,1⊆[0,1)，故对任意x∈于是由f−x=fx可得当m<0时，由值域为[m,1]知fx又fx连续，所以存在x0∈ℝ，使得fx若x0≠0，则由0<故f0=0，且0是因为fx在0,+∞上为严格增函数，且f0=0，所以当若存在x2<0,f(x2)>0，则在x1与与0是fx的唯一零点矛盾,则x<0时，f(x)<0则f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数，值域关于原点对称，故m=−1.综上，当m∈0,1时，fx为偶函数；当m=−1时，一、单选题1．（2026·山东·模拟预测）已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)为奇函数，且f(0)=2，则f(2)=（

）A．-2 B．0 C．1 D．2【答案】A【解题思路】由f(x+1)为奇函数，得f(−x+1)=−f(x+1)，令x=1即可求解．【解答过程】由f(x+1)为奇函数，得f(−x+1)=−f(x+1)，令x=1，得f(−1+1)=−f(1+1)，得f(0)=−f(2)，由f(0)=2，得f(2)=−2．故选：A.2．（25-26高一上·重庆·期末）函数fx=ax2−a−1x−2A．−13,0 B．−13,+【答案】D【解题思路】根据给定条件，按a是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解.【解答过程】当a=0时，f(x)=x−2在(−∞,2]上单调递增，符合题意，则当a≠0时，由函数f(x)在(−∞,2]上是增函数，得a<0且a−12a所以实数a的取值范围是[−1故选：D.3．（2026·云南·模拟预测）函数fx=a2x,x>13−2x,x≤1是A．−∞,0 B．−∞,2 C．【答案】C【解题思路】分段函数是R上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值．【解答过程】因为fx是R当x>1时，a2x必须严格单调递减，故a2>0当x≤1时，3−2x，因为−2<0，故3−2x单调递减；分段点为x=1，f1=3−2=1，当x→1故3−2≥a2，解得综上，实数a的取值范围是0,2．故选：C.4．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=f(4−x)，且对任意x1，x2∈(−∞,2]，当xA．f(2)<f(−3)<f(4) B．f(2)<f(4)<f(−3)C．f(4)<f(2)<f(−3) D．f(4)<f(−3)<f(2)【答案】B【解题思路】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小.【解答过程】由f(x)=f(4−x)得函数f(x)的图象关于x=2对称，根据已知及单调性的定义，知f(x)在(−∞所以f(x)在[2,+∞∵f(−3)=f4−−3=f(7)∴f(2)<f(4)<f(−3)．故选：B.5．（2026·北京西城·二模）已知函数fx在R上单调递增，设gx=f−x−fA．奇函数，且在R上单调递增 B．偶函数，且在R上单调递增C．奇函数，且在R上单调递减 D．偶函数，且在R上单调递减【答案】C【解题思路】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可.【解答过程】因为g(x)=f(−x)−f(x)，其定义域为R，关于原点对称,所以g(−x)=f(x)−f(−x)=−f(−x)−f(x)所以g(x)是奇函数，排除选项B和D;因为f(x)在R上单调递增，则f(−x)在R上单调递减,那么−f(x)在R上单调递减,因为两个减函数的和是减函数，所以g(x)=f(−x)−f(x)=f(−x)+[−f(x)]在R上单调递减，综上，函数g(x)是奇函数，且在ℝ上单调递减，所以C正确.故选：C.6．（2026·山西大同·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，函数gx=x−1fx的图象关于点1,0对称，且满足i=1A．−4 B．−2 C．2 D．4【答案】D【解题思路】先根据gx的对称性得出fx=f2−x，结合奇偶性得出4是【解答过程】因为函数gx=x−1则gx=−g2−x当x≠1时，则fx且f1=f2−1，可知f又因为fx是定义在R上的奇函数，则f0=0可得f2−x=−f−x则f4+x=−f2+x，得ff2=f2+0所以f1所以i=126又因为i=126fi=2，即所以g−1故选：D.7．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在R上的函数fx满足：f−x+fx=0，f2−x=fA．f8<f5.5C．f8>f−3【答案】A【解题思路】根据题意，可得函数fx是周期为4的函数，化简可得f8=f0，【解答过程】由题意，f−x+fx又f2−x=fx，所以f用x+2替换其中的x，可得f4+x=−f2+x所以函数fx的周期为4所以f8=f2×4+0f5.5=f1×4+1.5=f1.5又函数fx在−1,1内单调递增，所以f即f−3故选：A.8．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在R上的函数fx和gx满足fx+1−gx+4=−1，gx+f1−xA．34 B．36 C．38 D．40【答案】C【解题思路】利用递推关系式及函数的奇偶性得出gx的周期，再由赋值法求g【解答过程】因为fx是偶函数，g所以gx+fx−1又fx+1−gx+4所以可得gx+gx+2即gx+4=gx，所以函数g由gx+f1−x=3，令x=1，可得由gx+gx+2=4，令x=1，可得由fx+1−gx+4=−1，令由gx+f1−x=3，令x=2，可得由gx+gx+2=4，令故一个周期中g1所以i=118故选：C.二、多选题9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数f(x)满足f(1)=−10，f(x)f(y)=10f(x+y)+10f(x−y)，则（

）A．f(0)=20 B．f(2)=10 C．f(x)为偶函数 【答案】ACD【解题思路】对于A：令x=1,y=0后计算即可判断；对于B：令x=1,y=1后计算即可判断；对于C：令y=x和y=−x，后计算即可判断；对于D：令y=1，−f(x)=f(x+1)+f(x−1)，用x替换为x+1，化简后得fx−1【解答过程】对于A：令x=1,y=0，则f1又f1=−10，所以对于B：令x=1,y=1，则f1即−102=10f2对于C：令y=x，则f(x)f(x)=10f(2x)+10f(0)，令y=−x，则f(x)f(−x)=10f(0)+10f(2x)，所以fx=f−x对于D：令y=1，则f(x)f(1)=10f(x+1)+10f(x−1)，即−f(x)=f(x+1)+f(x−1)，将上式中的x替换为x+1，得−f(x+1)=f(x+2)+f(x)，上述两式消去fx+1，得f即f(x)=f(x+3)，D正确.故选：ACD.10．（2026·陕西西安·三模）已知定义在R上的奇函数fx满足对任意实数x，都有fx+2=f−x，且当x∈0,1A．fxB．fC．fx在1,2D．fx的图象关于直线x=1【答案】ABD【解题思路】对于A选项，因为fx是奇函数，由fx+2=f−x判断函数周期；对于B选项，由fx的周期为4，分别求解f1，【解答过程】因为fx是奇函数，所以f−x=−fx．因为fx+2所以fx+4=fx+2因为x∈0,1时，fx=2x，所以f因为fx是定义在R所以f0=0．因为fx的周期为4，所以f4=0所以f2026=f4×506+2因为fx+2=f−x，所以f所以fx的图象关于直线x=1当x∈1,2时，2−x∈0,1，因为x∈0,1时，fx=2x因为fx的图象关于直线x=1对称，所以fx=f故选：ABD.11．（2026·河南濮阳·一模）已知函数f(x)的定义域为R，且fx+yfx−y=fA．f(x)为偶函数 B．f(0)=0C．f(2+x)=−f(2−x) D．i=1【答案】BCD【解题思路】令x=y=0判断B；令x=0以及y=−x得出fx为奇函数判断A；根据fx的对称性可得出周期性，结合对称性和周期性可判断C；利用周期性和对称性求出函数值【解答过程】令x=y=0，则f(0)f(0)=f2(0)−f2令x=0，则fy则fyf−y+fy令y=−x，则f0f2x若fy=0，则f−y故fx因为f(3x−1)为偶函数，所以fx的对称轴为x=−1，则f因为fx为奇函数，所以f−x−2=−f则fx+2=−fx+4，故fx=f则f(2+x)=f(2+x−4)=f(x−2)=−f(2−x)，故C正确；因为fx=−fx+2，所以f因为fx=fx+4i=1=506×2+0−2+0故选：BCD.三、填空题12．（2026·河南·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，若fx+2=−fx，f【答案】3【解题思路】先得到fx的一个周期为4，所以f2025=f1，又f3【解答过程】fx+2=−fx，则f所以fx的一个周期为4，所以f又fx+2=−fx中，令x=1故f1=3，则故答案为：3.13．（2026·全国·模拟预测）已知函数f(x)是定义域为R的奇函数.设g(x)=f(x−1)+1，若f(x)在(0,+∞)的最小值为2，则g(x)在(−∞【答案】−1【解题思路】根据奇函数图象的对称性，判断在对称区间内的最值情况，根据图象的平移法则，求出平移后函数在给定区间上的最值.【解答过程】因为f(x)是定义域为R的奇函数，由f(x)在(0,+∞)的最小值为2，得f(x)在(−∞因为g(x)=f(x−1)+1，所以g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后得到，故g(x)在(−∞,1)的最大值为故答案为：−1.14．（2026·青海·模拟预测）已知f(x)是定义在(m−5,4m)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0,4m)，当x1≠x2时，x22【答案】(−3,0)∪(2,5)【解题思路】根据题意求出m，接着由题设得到fx1x12+1<fx2x22【解答过程】因为fx是定义在(m−5,4m)上的偶函数，所以m−5+4m=0，解得m=1x1,x2∈[0,4又因为x22+1所以x22+1令gx=fxx2+1因为fx为(−4,4)上的偶函数，所以gx为所以gx在[0,4)上单调递增，在(−4,0)又因为g1=f12即gx−1>g1，则x−1>1解得2<x<5或−3<x<0，所以不等式的解集为−3,0∪故答案为：(−3,0)∪(2,5).四、解答题15．（2026·四川绵阳·一模）设函数fx(1)若m=2，