专题2.3函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）（试题版）

专题2.3函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义

(2)结合具体函数，了解奇偶性和对称性的概念和几何意义

(3)了解周期性的概念和几何意义高考真题统计考点2024年2025年2026年函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性新课标I卷：第6题，5分新课标Ⅱ卷：第8题，5分全国一卷：第5题，5分全国二卷：第10题，6分天津卷：第3题，5分全国一卷：第19题，17分全国二卷：第8题，5分上海卷（秋考）：第5题，4分上海卷（秋考）：第21题，18分北京卷：第5题，5分命题规律分析1、函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性函数的性质是历年高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查函数的单调性问题，以及求函数的最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，侧重考查函数新定义，试题综合性强，考查难度较大。考点1考点1函数的性质知识点1函数的单调性1．求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.知识点2函数的最值的求法1．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2．复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.知识点3函数的奇偶性及其应用1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.2．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.3．常见奇偶性函数模型(1)奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．(2)偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数.知识点4函数的周期性与对称性的常用结论1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【题型1确定函数的单调性（区间）】【例1】（2026·山西·模拟预测）函数y=|x−3|的单调递减区间为（

）A．−∞,+∞ B．3,+∞ C．【变式1-1】（25-26高一上·青海·期中）函数y=x2−5x+4A．52,+∞ B．−∞,1 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设fx=x，gxA．fx+gxB．fx+gxC．fx−gxD．fx−gx【变式1-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数fx=x−23−x，则函数fxA．−∞,2.5和3,+∞C．2,2.5和3,+∞ D．【题型2根据函数的单调性求参数】【例2】（2026·广东茂名·一模）已知函数fx=x2−6x+5在区间a,+A．−∞,1 B．−∞,3 C．【变式2-1】（2026·山西·二模）若函数f(x)=x+ax在(0,2]上单调递减，则实数A．(0,2] B．(0,4] C．[2,+∞) 【变式2-2】（2026·甘肃白银·三模）“k>0”是“函数fx=x+k在0,+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）若fx=ax+1，x<1lnx+2a，x≥1是R上的增函数，则实数aA．1,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞【题型3求函数的最值】【例3】（2026·江西南昌·二模）已知函数f(x)=a−x,x<0x+4x,x>0A．−∞,2 B．2,+∞ C．−【变式3-1】（2026·湖南·模拟预测）已知函数fx，则“∀x∈0,+∞，fx≥2”是“fA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式3-2】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数fx=2x+mx+1在区间0,1上的最大值为1，则实数A．0 B．1 C．2 D．0或1【变式3-3】（25-26高一上·河北张家口·期末）函数fx=xx+2在区间2,4上的最大值、最小值分别为（A．35，12 B．2C．23，13 D．3【题型4函数单调性的应用：比较大小、解不等式】【例4】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数fx的定义域为R，且它的图象关于x=−2对称，当x1<x2<−2时，fx1−fx2x1−xA．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<b<a【变式4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在R上的函数fx满足∀x1,x2∈R，xA．1,2 B．−∞,1 C．2,+∞【变式4-2】（25-26高一·江苏·寒假作业）已知定义在R上的函数fx满足：f−x+fx=0，fA．f8<f5.5C．f8>f−3【变式4-3】（2026·河北石家庄·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈0, +∞且x1≠xA．−∞, C．−2025, 2025 【题型5函数的奇偶性及应用】【例5】（2026·山东潍坊·三模）已知a>1，函数fx=aa+x−3a2−xA．13 B．24 C．80 D．240【变式5-1】（2026·四川成都·三模）已知奇函数fx满足fx+2=−fx，当x∈0,1时，fA．0 B．1 C．3 D．5【变式5-2】（2026·天津北辰·三模）函数f(x)=xcos2xA． B．C． D．【变式5-3】（2026·安徽安庆·三模）定义在R上的偶函数fx，当x≥0时，fx=ex，则满足f1−2x<fA．−1,2 B．−2,1 C．−1,2 D．−2,1【题型6函数的周期性及应用】【例6】（2026·福建南平·二模）已知fx是定义在R上且周期为4的奇函数，当−2<x<0时，fx=exA．-2 B．−12 C．1【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知y=fx是定义在R上周期为4的奇函数，则f2=（

A．−1 B．0 C．1 D．2【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx−2是奇函数，f2x−1是偶函数，则fA．−2 B．0 C．1 D．2【变式6-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在R上的函数fx的图象关于x=32对称，且fx+fx+3=fA．0 B．1 C．-1 D．-2【题型7函数的对称性】【例7】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线y=x−alog21−2x关于直线A．−2 B．2 C．0 D．1【变式7-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在R上的函数fx，gx的图象分别关于点1,2，1,3对称，则下列点一定是函数hxA．1,5 B．1,52 C．1,1 【变式7-2】（2026·湖北宜昌·二模）已知函数fx=(x−a)3lnx+bxA．2 B．0 C．−1 D．−2【变式7-3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数fx, gx的定义域均为R，f4−x+fx=2，gx的图象关于直线A．−9 B．−4 C．1 D．4【题型8函数性质的综合应用】【例8】（2026·山东聊城·三模）已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx=gx−1−1，gx=f2−xA．4 B．5 C．6 D．7【变式8-1】（2026·湖南·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，f2x+2的图象关于x=−12对称，f−1A．0 B．−3 C．3 D．4【变式8-2】（2026·四川成都·三模）已知y=fx+1是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈1,2时，fx=log2x，设a=f12A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a【变式8-3】（2026·吉林·三模）已知函数fx的定义域为R，f2x+1为偶函数，f1A．fx为奇函数 B．fC．fx的最小正周期为4 D．fx在【题型9抽象函数的性质】【例9】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数fx满足：f2x+f2x+2=4，且A．1 B．2 C．−2 D．【变式9-1】（2026·河南·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意x,y，都有fx+fy=fA．2 B．1 C．0 D．−1【变式9-2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fy=fxA．f23=6C．fx为奇函数 D．fx在区间【变式9-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−A．函数fx的一个对称中心为2,1 B．C．函数fx为周期函数，且一个周期为4 D．【题型10函数新定义】【例10】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z上的函数fx满足对任意x,y∈Z均有fx+y=fxf2−y+f2−xfy，则称fx为“S−2函数”.已知fA．−22 B．0 C．2【变式10-1】（2026·上海闵行·一模）如果“若p，则q”和“若q，则p”中有且仅有一个真命题，称p与q具有“U－关系”．已知函数y=f(x)的定义域为R，p:y=f(x)为偶函数，则p与下列选项中的q具有“U－关系”的为（）A．q：对任意x∈R都有−f(x)≥f(x)B．q：对任意x∈R都有f(−x)≥f(x)C．q：对任意x∈R都有f(−x)=D．q：对任意x∈R都有f(−x)=f(|x|)【变式10-2】（2026·上海·三模）设s,t∈R，对于定义域为D的函数y=fx与y=gx，hx=sfx+tgx，若函数y=hx是区间D(1)设D=2,+∞，fx=x2，gx=x，若y=fx(2)设s>0，D=0,1，fx=x，gx=−32x．若y=fx与(3)设D=R，若对任意s、t，函数y=fx与y=gx在R上都满足“性质Ms,t”．求证：存在不全为零的实数A、【变式10-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数fx满足对任意x1，x2∈R，当x(1)若fx为“绝对值严格增函数”，试判断f(2)求证：fx=ax为“绝对值严格增函数”是(3)若“绝对值严格增函数”fx的值域为m,1且在0,﹢∞上为严格增函数，试讨论一、单选题1．（2026·山东·模拟预测）已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)为奇函数，且f(0)=2，则f(2)=（

）A．-2 B．0 C．1 D．22．（25-26高一上·重庆·期末）函数fx=ax2−a−1x−2A．−13,0 B．−13,+3．（2026·云南·模拟预测）函数fx=a2x,x>13−2x,x≤1是A．−∞,0 B．−∞,2 C．4．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=f(4−x)，且对任意x1，x2∈(−∞,2]，当xA．f(2)<f(−3)<f(4) B．f(2)<f(4)<f(−3)C．f(4)<f(2)<f(−3) D．f(4)<f(−3)<f(2)5．（2026·北京西城·二模）已知函数fx在R上单调递增，设gx=f−x−fA．奇函数，且在R上单调递增 B．偶函数，且在R上单调递增C．奇函数，且在R上单调递减 D．偶函数，且在R上单调递减6．（2026·山西大同·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，函数gx=x−1fx的图象关于点1,0对称，且满足i=1A．−4 B．−2 C．2 D．47．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在R上的函数fx满足：f−x+fx=0，f2−x=fA．f8<f5.5C．f8>f−38．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在R上的函数fx和gx满足fx+1−gx+4=−1，gx+f1−xA．34 B．36 C．38 D．40二、多选题9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数f(x)满足f(1)=−10，f(x)f(y)=10f(x+y)+10f(x−y)，则（

）A．f(0)=20 B．f(2)=10 C．f(x)为偶函数 10．（2026·陕西西安·三模）已知定义在R上的奇函数fx满足对任意实数x，都有fx+2=f−x，且当x∈0,1A．fxB．fC．fx在1,2D．fx的图象关于直线x=111．（2026·河南濮阳·一模）已知函